Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Опираясь на заданный нам в интуиции процесс образования натуральных чисел, мы придерживаемся твердо взгляда, что понятие натурального числа объемноопределенно, точно так же обстоит дело в таком случае и с понятием рационального числа. Но, конечно, не объемиоопределенны понятия „предмет", „свойство натуральных чисел" и подобные нм понятия. Хорошо было бы, не довольствуясь вышеприведенными соображениями, постичь этот факт в непосредственной интуиции. 2. Конствхкция Относящиеся к вещественным числам экзистенциальные предложения и„можем мы прибавить, общие высказывания о них (которые могут быть представлены в форме отрицательных экзистенциальных суждений) получают, как мы виделн, смысл только тогда, когда мы сводим не имеющее определенных границ н объема понятие „свойство рациональных чисел" к объемноопределенному понятию „х-свойства".

Но как должно происходить это сведение? Ответ на этот вопрос дает рассмотрение конструктивного метода математики. Я уже упомянул выше, что все свойства н отношения (свойства можно принимать всегда за отношения; это — отношения, только с о д н о й неизвестной) получаются чисто логическим путем из немногих первоначальных отношений. Построение их производится при помощи немногих л о г и ч е с к и х к о истру кти вн ых принцип ов, содержащихся в словах „не", „и", „или", „существуег" и указывающих, как пз одного или двух уже построенных отношений выводится новое. Эти конструктивные принципы играют в области о|ношений роль, подобную роли четырех действий в области 05 рациональных чисел, дающих возможность при помощи повторения их в любом числе и в любой комбинации построить из ччсла 1 все рациональные числа.

Конструктивные принципы управляют порол<пением свойств и отношений, онн определяют генетическим образом объемноопределенное понятие х-свойства и х-отношения. Но злым роком современного ана-, лиза было то обстоятельство, что он включал и употреблял в числе своих конструктивных принципов еще н следующий: если А есть неко- -.орое свойство свойств, то с помощью его создается свойство 6, принадлежащее рациональному числу х тогда и только тогда, когда при помощи конструктивных принципов (в частности и этого самого прннципа1) можно образовать свойство рода А, принадлежащее числу х. Очевидно, однако, что в качестве конструктивного принципа подобное правило не имеет никакого смысла, ошибка порочного круга здесь становится буквально осязательной.

с1тобы определеннее очертить обрисованную нами в общих чертах картину, я вкратце охарактеризую остальные, свободные от порочного круга дефиниторные принципы. 1. Отождествление нескольких неизвестных: так, из ДГ(х,у)< „лесть племяннику" получается: <ь<(х, х)< „х есть племянник самого себя". 2. Отрицание: нз Л<(х, у) получается Л< (х, у): „х не есть племянник у". 3. Соединение двух отношений через „и", при этом должно быть указано, как следует отождествлять между собой неизвестные обоих отношений, например из М(х, у) и У(х, у)<,х есть отец у" получается троичное отношение М(х, у) ° 1<(у, х)< „х есть племянник у ну отецл'.

4. Соединение двух отношений через „и л н". 5. Замещение неизвестной каким-либо данным предметом: так, из г".(и, и'): „натуральное число л' следует за л" получается, например, свойство Е(5, л') с одной неизвестной л'. „и' следует за 5". 6. Замещение неизвестной выражением „существует": так, из отношения г (л, и') получается свойство Г(ь, л') с неизвестной и': „существует число, за которым следует л'" (свойство, присущее всем числам, кроме 1). Во всех областях математики, как в этом легко убедиться, новообразование свойств и отношений происходит при помощи комбинированного применения этих принципов.

Но нх становятся недостаточно, как только выступает теория множеств. Дело в том, что теория множеств рассматривает отношения и свойства в свою очередь как предметы, между которыми могут существовать новые отношения, она создает множества, множества множеств и т. д. Отношения могут в этом случае выступать в качестве аргументов в других отношениях точно так, как и первоначальные предметы. Это получается при помощи следующего приема. Высказывание вроде такого: „роза красна", не подводится более под схему „х красно", но под гораздо более общую схему „х обладает свойством 6", из которого наше высказывание получается замещением х = роза, 6 = красный.

Слова „обладает свойством" обозначают определенное отношение е, которое может существовать между произвольным предметом х и произвольным свойством 6. Например, когда мы выше сказали: свойство 6рациональных чисел будет рода А, если оно присуще числу 1, то мы образовали отношение а(х, 6) межлу неопределенным числом х и неопреде- 96 , енным свойством 6 и, согласно принципу 5, заместили в нем х определенным числом 1.

Если при построении анализа мы принимаем за исходный пункт натуральные числа, то надлежит поступать следующим обравом. Мы имеем одну единственную основную категорию предметов, именно, натуральные числа, затем единичные, двоичные, троичные,... отношения между плми. Все эти отношения мы назовем отношениями 1-го типа; категория, к которой принадлежит такое отношение, вполне характеризуется количеством неизвестных, входящих в это последнее. Отношения 2-го типа суть отношения, неизвестными которых являются отчасти произвольные натуральные числа, отчасти же произвольные отношения 1-го типа. Категория, к которой принадлежит какое-нибудь отношение 2-го типа, определяется количеством неизвестных отношения и теми категориями предметов, к которым относится каждое из этих неизвестных. Отношения 3-го типа в это отношения, в которые входят неизвестные отношения 2-го типа, и т. д.

Всякой категории й отношений соответствует отношение а(х, х',...; Х), которое означает, что х, х',... стоят друг к другу в отношении Х. При этом Х есть здесь неизвестное отношение категории Ж, а неизвестные х, х',... относятся к тем же категориям предметов, что и неизвестные отношений Х категории Й. В качестве исходного пункта мы пользуемся этими отношениями е, а также отношением 1-го типа тч.

Построение производится при этом с помощью данных выше принципов. Из этих принципов принципы 1 — 4 можно применять без всякого ограничения, Что касается принципа 5-го, то когда при его помощи происходит замещение какого-нибудь неизвест ного отношения в отношении высшего типа, то его надо применять так, чтобы используемое для вамещения отношение получалось со своей стороны при помощи конструктивных принципов. Этот принцип может быть применяеь1 еще в более расширенном и очень важном виде. Можно рассматривать пятеричное, например, отношение 1с (и,о ~х, у, з!), как зависящее от неизвестных х, у, з двоичное отношение между и, о, после того как мы выделили из неизвестных группу ,независимых" к, у, г.

(Здесь кроется в моей теории корень понятия функции.) И это зависящее от х, у, г двоичное отношение может быть использовано для замещения какого-либо неизвестного двоичного отношения. Наконец, принцип 5-й — замещение выражением „существует" — мы вправе применять только к числовым аргументам, но ни в коем случае не к аргументам, являющимся отношениями какого-либо типа, нбо в этом случае мы придем к бессмыслице. Но введение а было бы совершенно бесполезно, если бы мы не присоединили к расширенному принципу 5-му, столь действительному для отношений, играющих роль аргументов, еще принципа итерации.

Для пояснения его я приведу простой пример. Пусть Я(т, п~Л) будет отношением между двумя произвольными числами яг, и и произвольным же двоичным числовым отношением Х. Из )с=а, я получу отношение 7са той же самой категории, если в 1с(гп, а~Х) я замещу неизвестное Х самим )с, которое здесь следует (согласно разделению неизвестных вертикальной чертой) рассматривать как зависящее от Х двоичное отношение между двумя произвольными числами щ и и. В гс,(ги, я~ Х) я снова могу подставить вместо неизвестного Х понимаемое, как указано выше, Я и получу таким образом некоторое отноэ г.па, 97 шение )с„и т.

д. И вот теперь я образую такое отношение )с(я; т, л ~ Л)„ из которого получаются Йп Ям Я„... заменой неопределенного числа й поочередно числами 1, 2, 3,... Образование понятий и проведение доказательств по образцу дедекиндовой теории цепей страдают недостатком указанного нами порочного круга; мы не в состоянии поэтому свести определение на основе полной индукции к чему-то более изначальноиу.

Ряд натуральных чисел и со. держащаяся в нем интуиция итерации составляет последнее основание математического мышления. В нашем принципе итерации находит свое выражение его (ряда) принципиальное значение для построения всего здания математики. Отношения, которые могут быть получены произвольным повторением и комбинированием установленных выше конструктивных принципов, в частности подобные отношения 1-го типа между натуральными числами, я называю дефинитными или х-отношениями.

Это — то объемно- определенное ограничение понятия отношения, к которому мы стремились. В области этого генетически ограниченного круга имеет ясный смысл вопрос „существует ли х-отношение того или иного рода? . Дефинитным свойствам рациональных чисел (поскольку они саин обладают свойством сечения) соответствуют вещественные числа. Только прн таком взгляде на понятие, определяющем и ограничивающем его объем, приобретают смысл вопросы существования относительно вещественных чисел. Это ограничение понятия преобразовывает текущий поток конгинуума в совокупность отдельных точек.

Континуум разбивается на изолирояанные элементы, и взаямопроникнозелиз и сплетение всех его частей заменяется определенными, опираощзиися на отношение, больша-меньше", отношениями между этими изолированными элементами. Поэтому я и говорю об атом истической концепции континуума. Такова именно была н точка зрения общепрзз «анного в настоящее время обоснования анализа.

Характеристики

Список файлов книги