Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Это понятие принадлежит к числу тех „экстенсивных целых", которые Гуссерль характеризует тем, что „они допускают такое раздробление на части, при котором части эти по самому существу своему того же самого низшего рода, который определяется и неразделенным целым" (Ьофзспе Уп1егзнспцпдеп, 2-е изд.; П, стр. 267). Схему деления одномерного континуума лучше всего уясним себе на примере отрезка конечной длины. В результате деления пополам, он распадается на две части, левую (0) и правую (1), затем каждая из этих частей в результате деления пополам опять-таки распадается на две части, левую и правую и т. д. Этот процесс можно 'описать чисто комбинаторным образом, 7й Л Л 0001 10 1! Л Л Л Л и в атом случае он дает,чистую арифметическую форму ограниченного одномерного континуума.
Однако следует отличать от этого действительное осуществление этого процесса в случае конкретно предлежащего континуума, каким является пространственный отрезок. Этот процесс осуществляется при помощи последовательного деления, соответствующего указанной арифметической схеме, но прн котором, однако, обе части вовсе не должны быть всякий раз одинаковой длины и даже вообще нет необходимости в наличии для данного континуума понятия о мере; необходимо только, чтобы мелкость частей в конце концов оказалась ниже любого возможного порога точности. В результате этого процесса, который !п сопсге!о может быть доведен всегда только до некоторой оп,еделенной стадии, в континууме устанавливается некоторая система координат, позволяющая охарактеризовать отдельные его части абстрактно-арифметическим путем, при помощи двоичных дробей.
Далее, так как в действительном континууме невозможно установить никаких точных границ, то следует иметь в виду, что этот служащий для деления „остов" ни на одной стадии не является уже точно зафиксированным, напротив, точки, служившие разделительными пунктами на более ранних стадиях процесса, все более н более уточняются при его продолжении. Две любые смежные части ч-той стадии деления мы объединяем в „частичный интзрвал т-того порядка". Эти частич- ,Г ные пн.ервзлы ч-того порядка образуют между собою 0 такую систему вв.имных пересечекий, что для любого заданного приближенно, однако с достаточно большой точностью, числа можно наверняка указать тот интервал ч-того порядка, в котором оно заключается.
Таким образом отдельное вещественное число определястся как бесконечная последовательность частичных интервалов все возрастающих порядков, каждый из которых заключается внутри ему предшествующего. Два вещественных числа а, 'р совпадают, если и-ный интервал последовательности а и п-ный интервал последо.
ательности р целиком или частично перекрываются для любого значения и; эти числа различны, если существует такое порядковое число и, прн котором два таких интервала лежат раздельно друг от друга. Поскольку закон !егйшп поп да!пг неприменим к такого рода предложениям, то, согласно Броуеру, мы не имеем здесь перед собой полной альтернативы. Это прекрасно согласуется со свойствамн континуума, данно~ о нам в нашей интуиции, ибо в нем раздельность двух мест переходит при их сближении в неотличнмость, так сказать, постепенно, через целый ряд расплывчатых промежуточных стадий. В континууме по Броуеру существуют только непрерывные функции.
Континуум нельая составить из отдельных час~ей. Так, я могу выделить нз континуума вещественных чисел подконтинуум положительных чисел, использовав при построении интервалов и их последовательностей только положительные двоичные дроби; но ошибочно представление, будто весь континуум состоит из положительных, отрицательных и совпадающих с 0 чисел — состои г из них в том смысле, что каждое число должно принадлежать к одному нз этих континуумов.
Здесь находит себе более точное выражение та старая истина, которую Аристотель (яяр! атойяя 79яррйв) выразил следующим образом; „движущееся движется, не производя счета" илн (Физика, гл. Ъ'Ш): „когда непрерывную линию делят пополам, то одну точку принимают за две, ее делают и началом одной половины и концом другой; однако, когда производят деление таким образом, то ни линия, ни движение ие остаются непрерывными... В непрерывном хотя и заключается бесконечно много половин, но только в возможности, а не в действительности".
Ср. цитированные выше места о непрерывности из переписки Лейбпица. Вновь обретает силу тот принцип, что „нельзя Разделить то, что не является само по себе разделенным" (Гассенди). В изложении Броуера математика приобретает максимальную интуитивную ясность. Он сумел развить начальные части анализа таким естественным образом, что связь математики с интуицией оказалась гораздо более тесной, чем прежде. Однако нельзя отрицать того, что отказ от применения элементарных принцяпов классической логики при переходе к высшим и более общим теориям приводит в конце концов к невыносимой громоздкости. И математик со скорбью смотрит на то, как словно туман .расплывается большая часть его сложенной, как ему думалось, из каменных плит постройки.
ЛИТЕРАТУРА; В го пж е г, 1и!ЕВ1ошяпве еп !огшв!!вше, Ашв!егйяш 1912; по-вигл. в Вп!!. Агпег. Мвбь 8ос. 20 (1913). \Ч е у 1, 0Ьег где пепе Свгппй!аясп1сг!яе йег Ма!Ьешв1йс Мя!Ь. Лейвспг. 10,(192!). (См. след. статью в настоящем сборнике. П р им. перев.) О, Вес!сег, Ве!!гвяе вщ рйапошепо!ойиспеп Веягдпйгвпя йег Гвеоше!г!е ппй !Ьгег Рйуяййайясйеп Лпжепйппйеп, Нпввег!в Зя)ИЬпсЬ раг РЫ!ояорше 6, особенно стр.
398 — 436, 459 — 477. 10. СимВОлическАя мАтемАтикА. Неужели не остатось никакой возможности изоежать столь радикальных последствий? Решиться иа такую жертву вдвойне тяжело в силу того исторического факта, что в пределах самого теоретнко-множественного анализа, несмотря на самые смелые и многообразные комбинации, удалось при помощи чрезвычайно тонких методов достигнуть совершеннейшей строгости в заключениях и общеизвестного единодушия в оценке достоверности полученных результатов. Гильберт берется при помощи аксноматического метода сохранить за матемапп<ой все ее достояние. Разумеется, и он также убеякден, что сфера действия содержательного мышления не превосходит пределов, указанных Броуером, что оно не в состоянии производить трансфиннтных математических умозаключений, и что трансфинитные высказывания математики нельзя обосновать как содержательные, само собою понятные истины.
Гильберт стремится установить не и с т и н у старого анализа, а его н епротиворечивость. Лвя этой цели он фор мал изнрует математику заодно с логикой, превращая их в упразляемуво некоторыми определенными правилами игру в знаки. (При этом знаки вовсе не представляются символами чего-либо; символы последнего рода Гильберт называет „коммуникативными знаками" (М!!!ЕПппдвхе!сйеп) и для них он применяет 10 немею<не буквы.) Математические формулы, состоящие из этих знаков, не всегда имеют обладаюпгий реальным содержанием смысл: наряду с обладающими смыслом предложениями встречаются также и „идеальные высказывания", которые вводятся для того, чтобы искусственным образом восстановить всеобщую значимость тех простых законов логики, которые, согласно Броуеру, теряют свою силу при переходе к бесконечному.
Так, например, и в алгебраической теории чисел вводятся идеальные числа, для того чтобы достигнуть всеобщей применимости элементарных законов делимости. Существует четыре различных рода знаков, отличающиеся между собой соответственно применяемым к ним правилам игры, подобно тому, например, как отличаются друг от друга пешки и кони в шахматах. Это: постоянные (как, например, 1), переменные (символы пустых мест, х,у) одно- и многоместные о пер аци и, и интеграции ').
Важнейшими одноместными операциями являются: — (отрицание), о (переход от одного натурального числа к другому, непосредственно следующему за ним), Л (г".а, читай: а есть натуральное число); важнейшими же двухместными являются — э-, = и е. Все эти символы мы рассматриваем как операции. Символ 2 в это операция, порождающая из а высказывание „а есть число; символ = это операция, порождающая из и и 6 высказывание „а равно В". Последовательно рассуждая, можно в таком случае, чтобы сформулировать правила игры в общем виде, эти символы писать и пер е д членами, к которым применяются упомянутые операции.
Интеграпии — это Е„и П„; у этих символов всегда имеется состоящий из одной или нескольких переменных индекс. Если поставить перед какой-нибудь формулой символ интеграции с индексом х, то переменная уже не люжет быть более заменяема и оказывается „связанной" во всех местах получающейся при этом формулы. В ходе развития математики постоянно могут вводиться новые символы. Термин ф о р и у л а определяется рекуррентным образом: „а) всякая постоянная или переменная сама по себе представляет формулу, Ь) мы получим из одной или двух (или нескольких) уже наличных формул новую формулу, если напишем какой-либо одно- или двух- или многоместный символ операции или интеграции и поместим позади него соответствующие формулы".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
