Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Поэтому мне представляется неоспориыым, что п е рви чными являются порядковые числа. Это полностью подтверждает и современное исследование основ математики, разрушившее догматическую теорию множеств. Другой спорный пункт — это вопрос о том, являются лп числа самостоятельными идеальными предметами, или же теория чисел имеет дело лишь с конкретными знаками чисел, „форма которых всегда может быть нами узнана совершенно точно, независимо ни от места и времени, ни от специфических условий установления знака, ни, наконец, от ничтожных различий в их начертании" (Гильберт).

Так, например, Гельмгольц пишет (УйЫеп ппб Меззеп, стр. 359): „Я рассматриваю арифметику или учение о чистых числах как некоторый базируюшийся на чисто психологических фактах метод, который учит нас последовательному применению некоторой, неограниченной по протяжению и могущей быть неограниченным образом утончаемой системы знаков. Именно, арифметика исследует, какие различные комбинации этих знаков (правила действия) приводят к одинаковым результатам". Вполне последовательное проведение этой точки зрения, недоступное для направленной против нее критики Фреге (бшпбяезе1хе бег Аг1(пше1Гх, 1893), осуществлено было в новейшее время Гильбертом (ср.

э 10); здесь уже речь идет не о „возможности", и Гильберт нигде не выходит за пределы действительно 1п сопсге1о заданных знаков. В качестве подходящего знака Гиль- берт предлагает воспользоваться следующими друг за другом черточками („ единицами" ). Если я, например, слышу последовательность звуков, то при каждом звуке я провожу черточку и ставлю такие черточки одну позади другой: /Я. Во второй раз я поступаю таким же самым образом. Если бы я мог непосредственно устанавливать равенство или различие „форм" обоих состоящих из черточек знаков, то вместе с тем было бы возможно сравнение чисел. Представление посредством черточек имеет здесь назначение привести, при сохранении числа, заданное нам к такой „нормальной форме", чтобы различие формы свидетельствовало без дальнейших околичностей о числовом различии.

(Вообще говоря, структурное отличие некоторого непосредственно данного целого, отношение которого к его принятым за единицу частям выражено в числовом предложении,' от другого целого не означает еще числового различия: пример: ',, 'и Л . Говорят об акте собирания, как об основе 62 определения количества. Мне представляется, что при применении символического процесса счета к состоящему из структурно связанных единиц целому вовсе не требуется, уничтожая связь, существующую между этими единицами, абстрагировать понятие голой „совокупности", как не приходится и „собирать" отдельные данные сами по себе элементы, как, например, следующие одни за другими звуки, в некоторую совокупность. Высказывание „раздалось столько-то //// звуков" вполне понятно само по себе, и совершенно лишнее заниматься поискамн какого-то субъекта „совокупности услышанных звуков".) Однако непосредственное распознавание равенства или различия двух состоящих из следующих одни за другимн черточек знаков возможно только для самых небольших количеств.

Вообще говоря, следует во второй раз снова использовать поставленные в первом случае черточки, зачеркивая, например, поочередно одну из них за другой; для этого требуется, чтобы нанесенные в первый раз черточки были сохранены. Но с принципиальной стороны для обоснования такого суждения, как,сейчас было слышно больше звуков, чем в первый раз", пользование знаками не необходимо, если звуки первой серии (обладающие, например, убывающей высотой звука) могут быть в о с п р о и з в е д е н ы в их временной последовательности при выслушивании второй последовательности звуков. Знаки становятся необходимыми только тогда, когда сравнение разбивается на два определения чисел („в первый раз было слышно 4, а теперь 5 звуков, 5 больше 4"), и вследствие этого часть умственных операций (5 больше 4) переносится на остающиеся неизменными удобные для сохранения и передачи другим знаки.

Таким образом не сравнение чисел, а определение чисел носит существенно сигнативный (связанный по существу с употреблением знаков) характер. Не принимая в соображение какого- нибудь знака, понять выражение „раздалось 4 звука" невозможно. Если уж говорить о числах как о понятиях или же идеальных предметах, то онн во всяком случае не обладают никаким самостоятельным существованием, и бытие их исчерпывается функциональной ролью, а также значением существующих между ними отношений большего и меньшего. (Разумеется, они не являются понятиями в смысле аристотелевой теории абстракции.) Употребление нескольких цифр и системы разрядов (последовательно разработанных индусами для записи) дает возможность быстро решать вопрос о взаимоотношении величин гораздо бдльших чисел, чем это позволяют простые, состоящие только из следующих одни за другими единиц, числовые знаки.

Первый способ практически удобнее второго, но принципиальными преимуществами он не обладает. Основное число системы чисел, которым у нас является десять, в различных культурах различно. Индусская, и прежде всего будистская, литература изобилует примерами того, как, пользуясь системой разрядов, т. е. комбинируя действия сложения, умножения и возведения в степень, можно однозначным образом обозначить огромные числа.

Несмотря на весь разгул фантазии, в этом заключается нечто поистине величественное, разум впервые ощущает в себе достаточно силы для того, чтобы при помощи символа выйти за пределы данного в созерцании. У греков нечто аналогичное мы встречаем лишь в бЗ позднейшее время, в адресованном Гелону письме Архимеда „Псаммит" („О количестве песчинок")'). Здесь также ощущается ралость не перед постепенно раскрывающейся бесконечностью, а перед возможностью рационального преодоления беспредельного.

Что касается до отношения числа к пространству и временин и, то, мне думается, что время, как форма чистого соли~пня, представляет собою существенную, а не случайную предпосылку тех операций разума, на которых основывается смысл числовых предложений. Этого нельзя сказать, в противоположность мнению некоторых философов (например Гоббса), о пространстве, хотя неизменные знаки определенной пространственной формы и представляют собой наилучшее средство для отделения числа от сосчнтываемых предметов, для сохранения и передачи числа, а также и наилучшее средство для надежного обращения с числами.

Кант раньше других обратил внимание на связь понятия числа н времени, но, разумеется, было бы ошибочным понимать арифметику как учение о времени в том же самом смысле, в каком геометрия есть учение о пространстве. Для двух конкретно заданных числовых знаков т и л можно показать, что обозначает высказывание и+ и = и+ лг', не „порождая" никаких других чисел. Монгно также показать, что это высказывание верно для любого конкретного случая.

Нечто новое возникает, однако, когда я размещаю действительно существующие знакичисел в пяду всех возм о ж н ы х чисел, возникающем в некотором процессе его порождения согласно тому принципу, что из каждого данного числа путем присоединения к нему единицы может быть порождено новое ближайшее следующее за иим число. Здесь сущее проицируется на фон воз мож н ого, на фон разворачивающегося в бесконечность, хотя и могущего быть упорядоченным по некоторому определенному способу многообразия возможностей.

Это та самая точка зрения, на которую мы стали в начале зтого параграфа при математическом обосновании арнфметйки на основе принципа полной индукции. Мы опираемся на него, когда говорим, например, о биллионе = 10" бумажных марок. Действительно, при помощи определения посредством полной индукции мы получаем из начального арифметического процесса, превращавшего и в л+1, действие умножения на 10, а затем 12-кратным его применением мы, исходя из 1, получаем число 10'а.

Числовые символы 10 и 12 прп атом можно записать, пользуясь черточками, для числа же 10ш это невозможно, и тем не менее мы позволяем себе „выдумать" такое число. Таким образом уже на примере числа мы встречаемся со следующими принципами конструктивного познания: 1. Результат известных признаваемых всегда выполнимыми интеллектуальных операций над данным, в том случае, если он однозначно определяется зтим таиным, выставляется в качестве некоторого прйзнака, присушего ланному самому по себе (даже если операции, обосновывающие его смысл, не были в действительности произведены). 2. Посредством зн:дрепия знаков мы производим разделение суждений, и часть операций благодаря их перенесению на знаки становится '] Имеется русский перевод, изд. ГТТИ, 1963.

Прим. перса, 64 независимой от данного и его дальнейшего существования. Благодаря этому становится возможным свободное оперирование понятиями, и идеи оказываются относительно самостоятельными по отношению к действительности. 3. В своем актуальном состоянии они не извлекаются каждое в отдельности, а пронцируются на фон разворачивающегося в бесконечность, могущего быть упорядоченным по некоторому определенному способу многообразия возможностей. Однако совершается прыжок в потустороннее, когда разворачивающаяся в бесконечное:ь и закономерно возникшая последовательность чисел превращается в замкнутую совокупность существующих самих по себе предметов. Только тогда становится опасным определение чисел, ках идеальных объектов. Вера в абсолютное коренится глубоко в нашей груди, поэтому пет ничего удивительного в том, что математика с полной наивностью проделала этот прыжок. Тот, кто видит смысл в таком апеллирующем ко всей бесконечной целокупности чисел определении, как, например, следующее: „и есть число четное или нечетное, смотря по тому, существует ити нет такое число х, для которого л=2х" (совершенно иной характер носит вышеприведенное определение четного и нечетного посредствои полной индукции), тот стоит уже на другом берегу: для него система чисел превратилась в царство абсолютных сущносяей, которое „не от мирз сего", и отражение которого лишь по каплям проникает в наше созерцающее сознание.

Именно вокруг этой концепции в наше время снова разгорелась ожесточенная борьба в области основ математики; она симптоматична для всякого познания и в сфере математики она раньше, чем в других областях, приведет к совершенно ясным результатам. ЛнтзглтРРА: 11ег1ек!пд, Згяя Мпд ппй ячяя яойев яйе Хя111еп? 2-е ияд., Вгаппясйяяе1я 1893, Н пя я е г1, Р891ояорще дег Аг!цппе1йя Ня!1е 1891. 7. ИРРАциОнАльнОсть и БескОнечнО малое В совершенно иной форме, чем в ряду целых чисе 1, встает перед нямн бесконечное в случае бесконечно делимой н е п р е р ы в н о с т н, в частности — континуума времени и пространства.

Характеристики

Список файлов книги