Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Если это осуществимо, то Гуссерль называет соответствующую область вещей д е ф и н и т н о й. Так, например, обстоит дело с учением о пространстве. Разумеется, из геометрических аксиом невозможно вывести закон притяжения. Поэтому необходимо бы и выше точно определить, что именно можно считать специфическим для какой-либо данной области вещей суждением.

Точно так же невозможно установить, пользуясь аксиомамн геометрии, расположен ли 11юрих дальше от Гамбурга, чем Париж; хотя в этом вопросе речь идет о геометрическом отношении, но об отношении между индивидуально указанными определенными местами в пространстве. Таким образом, говоря точно, дедуктивным путем из аксиом могут быть выведены специфические общие истинные с у ж д е н и я. „На этом, следовательно, покоится все великое искусство убеждения. Оно ааключает в себе два следующих основных принципа. Первый требует определения всех употребляемых обозначений, второй — доказательства всего посредством замены в нашем разуме определяемых выражений нх определениями", так пишет Паскаль в одном трактате об езргй пбош41г1ппе (духе геометрии; заимствовано из К. Вогпйапаеп, Разса1, Вазе1 1920).

Однако зто легче сказать, чем выполнить. В „Началах' Эвклида егпе совершенно не дается полного разрешения проблемы аксиоматнзации геометрии. Эвклид начинает с ороь определений, но с нашей точки зрения только часть из них действительно является определениями, важнейшие же из них скорее суть описания, указйиия на нечто данное нам только в интуиции. Правда, поступить иным образом с такими основными понятиями геометрии, как „точка", „между" и т. д.

невозможно, но очевидно, что для дедуктивного построения геометрии подобные описания совершенно непригодны. Далее у Эвклида следуют под названием о1ттиата некоторые геометрические аксиомы и прежде всего аксиома параллельности, гласящая: если дана плоскость Е, на которой лежат прямая 8 и расположенная вне втой прямой точка р, то все прямые, проходящие через точку р, за исключением лишь одной прямой, пересекают пг. Наконец, устанавливается несколько общих аксиом о величинах: хвшв1 атчмю. В изложении геометрии они участвуют постольку, поскольку в дальнейшем молчаливо допускается, что им удовлетворяют некоторые геометрические отношения, как конгруентность, равенство поверхностей. За ними таким образом таится еще множество других невыявленных чисто геометрических аксиом.

В следующих книгах „Начал" список аксиом пополняется по мере необходимости. В силу интуитивной очевидности геометрических принципов и неестественности чистого логически-дедуктивного метода стоило больших трудов полностью выявить все геометрические аксиомы. Во второй половине века стимулом этой работы служила открытая еще в 1830 г. Больяи и Лобачевским „неэвклидова геометрия". Скрытые наиболее глубоко аксиомы расположения были найдены в 1880 г. в г. вчв 49 Пашем.

В конце Х!Х в. цель была достигнута окончательно, и созданная система аксиом получила классическое выражение в „Основаниях геометрии" Гнльберта. Гильберт разбивает аксиомы на пять групп: аксиомы связи („лежнт на"), расположения („между"), конгруентности, параллельности и непрерывности. Аксиоматический метод древних, которым кроме Эвклида владел с удивительным мастерством также Архимед, послужил образцом для основателей современной механики. Он служит руководящим началом в учении Галилея о равномерном и равномерно ускоренном движении (Р1зсогз! е б1шоз1гаа1оп1, 3-й и 4-й день) и еще более отчетливо проступает в гюйгенсовом изложении законов маятника в Ного1оп1пш озс111а1ог1шп. В новейшее время среди нематематических наук полностью осуществлена была программа аксиоматизации в статике твердых тел, в учении о пространстве и времени специальной теории относительности и в некоторых других отраслях физики.

Система аксиом отнюдь не определяется однозначным образом той областью вещей, к которой она применяется; в выборе основных понятий и условий всегда сохраняется известный произвол. Вопрос о том, может ли быть здесь противопоставлено нечто по самому существу своему изначальное чему-то по существу производному, лежит вне компетенции математика').

Выбранное первоначально определение понятия о каком-нибудь геометрическом отношении может быть с полным правом заменено любым другим критерием, являющимся, в силу свойств геометрии, необходимым н достаточным для наличия этого отношения. Система аксиом должна при всех обстоятельствах быть н е прот и вор е ч и в о й, т. е.

должна существовать уверенность в том, что путем логических умозаключений пз аксиом никогда не могут быть получены, с одной стороны, высказывание а, а с другой (посредством иного доказательства) противоположное высказывание а. Разумеется, если аксиомы истинным образом отображают какую. нибудь область вещей, то не может быть сомнения в их непротиворечивости. Но далеко не всегда дело разрешается так просто, как мы бы этого хотели; научная теория не может быть точным отображением данного,так, как оно нам дано, — ойа почти всегда представляет собою смелое построение. Поэтому испытание непротиворечивости — важный критерий; и средства для его применения находятся в руках у математиков.

Желательной, хотя и не необходимой, является также н е з а в ис и мост ь отдельных аксиом какой-либо системы. В системе аксиом не долягно заключаться лишних составных частей, в ней не должно быть предложений, доказуемых на основании других аксиом. Вопрос о независимости аксиом теснейшим образом связан с вопросом о непротиворечивости их, ибо то обстоятельство, что предложение а не зависит от некоторых определенных аксиом, сводится к тому, что предложение а им не противоречит. '1 Иногда так и бывает. Например, среди отношений родства отношение детей к своим родителям н брак являются изначальными по с а м оку с в о ему с у щ е с т в у. 50 Зависимость какого-нибудь предложения а от других высказываний г1 какой-либо системы аксиом является установленной, поскольку а 1и сопсге1о доказано на основании этих высказываний.

Для установленйя же независимости нужно показать, что ни одна сколь угодно далеко проведенная комоинация умозаключений не приведет к предложению а. Для достижения этой цели мы располагаем тремя методами; согласно сказанному выше каждый из нпх служит также и для доказательства непротиворечивости системы аксиом. 1. Первый метод покоится на следующем принципе: если в а входит новое изначальное помятие, не определеннное на основании понятий, входящих в 6, то а нельзя вывести ив Я. Пример: судно имеет 80 л» в длину и 20 м в ширину, — сколько лет капитану? Применение этой простой идеи приводит к цели только в самых тривиальных случаях. 2. Построение модели. Устанавливаются такие предметы и отношения, которые удовлетворяют при соответствующим образом подобранном их наименовании совокупности высказываний 6, и вместе с тем для которых а несправедливо.

Этот метод до сих пор имел наибольший успех. Наиболее известным примером служит аксиома параллельности. Она еще в древности представлялась не столь очевидной, как прочие геометрические аксиомы. Для того чтобы получить уверенность в ней, ее в течение многих столетий пытались доказать на основании других аксиом. Таким образом движущим мотивом здесь являлось сомнение в ее действительной справедливости и стремление к преодолению этого сомнения. То обстоятельство, что все усилия всякий раз оказывались безуспешными, могло служить индуктивным аргументом в пользу независимости аксиомы параллельности, подобно тому как неудача всех попыток построить регре1ццш шо1н!е являлась индуктивным аргументом в пользу закона сохранения энергии.

Творцы неэвклидовой геометрии извлекли тоже только следствия нз предпосылки, противоположной аксиоме параллельности и утверждавшей, что через точку плоскости, лежащую вне данной прямой, можно провести целый пучок не пересекающих данную прямую прямых; при этом они констатировали, что в той о бласти, которую им удалось исследовать, свободное применение прочих аксиом эвклидовой геометрии не порождает никакого противоречия. Но уверенности в том, что оно никогда не встретится, у них не было. Только Клейну удалось найаи эвклидову модель для неэвклидовой геометрии; оказалось, что сами предметы эвклидовой геометрии, при соответствующем их наименовании, отклоняющемся от обычного, удовлетворяют неэвклидовым аксиомам.

Представим себе шар К в эвклидовом пространстве. Словарь, при помощи которого осуществляется перевод на неэвклидов язык, состоит из немногих (приведенных нами в кавычках) слов: под „т о ч к о й" всегда понимается точка, лежащая внутри К; выражения, что какие-либо „точки" лежат на „прям ой" или, „плоскости", что „точка" лежит „между" двумя другими, сохраняют свой обыкновенный смысл; „движением" называется такое коллинеарное отображение, которое переводит шар в самого себя, „конгру'ситными" называются фигуры, получающиесн одна из другой при „движении". Для тех, кто признает истинность, а значит и непротиворечивость эвкли- Ф 51 дозой геометрии, является доказанной непротиворечивость, а значит и мыслимость неэвклидовой геометрии.

Характеристики

Список файлов книги