Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В фннитно-логической формуле буквы („высказывательиые переменны"), которые можно заменять любыми предложениями (суждениями, не имеющими пустыс мест), соединяются этими четырьмя знаками —,бг, ~/, -». П р и м е р: Ь»(а -»Ь). Существует общее правило, при помощи которого может быть установлена формальная истинность подобной формулы.
Для этого следует придать входящим в формулу буквам опио из значений „истинного или „ложного" Р во всех возможных их комбинациях и затем определять значение всей формулы в цеаом для каждой комбинации в отдельности, пользуясь следующей табличкой для определения значений различных комбинаций: асхЬ (Количество подлежащих испытанию комбинаций в том случае, например, когда в формуле имеется 5 различных переменных предложений, равно 2з.) Если в каждом случае значением формулы явится йт, то она формально истинна. Это правило, о котором можно сказать, что оно базируется на законе противоречия и 1егйпш поп с(алаш (исключен. ного третьего), в будуназыватькратко,фннитным правилом".
ад П р в м е р: Ь ч-(и — ~ Ь). йг рх гт Ж" $ На этой ступени можно таким образом по определенной схеме, пользуясь комбинационным методом, непосрелствснно решить, является лн данное утверждение логическим слелствием некоторых других положений или нет, в том случае', если предпосылка и утверждение построены из суждений а, Ь,... (смысл которых совершенно безразличен) при по-' мощи четырех действий —, -+-, Й, ~/. Дело коренным образом изменяется, как только на сцену выступают „существует" н „все" (вм сте с которыми в формулах появляются также пустые места).
Операции Е, и П„трсбуют некоторого построения: некоторые формально справедливые основные формулы мы выставляем в качестве логических аксиом, а затем устанавливаем пра вяло, при помощи которого из одних форма"ьно справедливых суждений возникают новые формально справедливые сужления. Это — то самое правило логики, которое применяется во всех теоретических науках, а именно, силлогизм. Силлогизм гласит: если у тебя имеются суждение й и суждение л — «Э, в котором слева от знака — ~ находится первое суждение, то ты можешь утверждать истинность суждения 3.
Все структуры суждений, полученные из аксиом путем повторного применения этого правила, носят аналитический характер, прлчеи невозможно дать описательную характеристику всему бесконечному многообразшо отдельных структур независимо от способа конструктивного поро,кдення их, И з этого вытекает необходимость постепенного, идущего шаг ва шагом, доказательства. Поэтому моягно, придавая несколько иной смысл крылатому выражению И. Фриза, говорить об „изначальной неясности разума".
Мы не обладаем истиной, мы завоевываем ее путем активного действия. Галилей (Р1а!око, Орете сошр1е1е, г1гепге, 1842~56, т. 1, стр. 116) высказывает довольно распространенное в то время убеждение,. когда он усматривает в этом различие человеческого познания от божеского. „Тогда как Он познает посредством одного лишь узрения, мы переходим от одного умозаключения к другому путем постепенных рассуждений. Так, например, мы начинаем свое познание свой:тв окружности, которых имеется бесконечно много, с простейшего свойства, которое мы принимаем за определение окружности, н затем пуз ем умозаключений пере- 46 ходим от этого последчего ко второму свойству, от второго — к третьему, затем к четвертому и т.
д. Напротив, божественный разум в олпом лишь узрении сущности окружности познает мгновенно н безо всяких рассуждений все бесконечное множество его свойств" (однако ннтен. с и в но, с точки арсния объективной достоверности каждой приобретенной истины, человеческий разум не уступает божественному). Для операций „существгет" и „все" — 2:„и τ— мы презгде всего можем выставить две следующие аксиомы, в которых на место а (х) может быть поставлена любая схена суждения с одним пустым местом х, а на место с — какой-либо определенный предмет соответствующей категории: 1. П„а(х)-+.а(с); П. а(с)-ьЕ а(х).
Этн аксиомы позволяют нам только выводить частные следствия из предложениИ, носящих всеобщий характер, но онн еще не указывают, каким обрззом можно умозаключить от каких-либо сужленнй к всеобщим высказываниям. Для „существует" дело обсгонт как раз наоборот. КласснческиИ школьный пример умозаключения: (а) все люди смертны, (3) Кай человек, следовательно, (7) Кай смертен — располагается у нас в виде ряда ступеней.
Допустим, что буквы Л и 5 обоз>ючают свойства быть ч ловеком и быть смертным, а буква с — Кая. Тогда П, (Л(х) — ь 5(х)) (а) в соедннегщи с акскомой (1) дает: П„(Л(х)- Я(х))- (Л(с)- Цс)), н по правилу умозаключения получается высказывание: Л(с) -+ б(с). Из (р):Л(с) и предшествующего суждения путем вторичного применения правила умозаключегпи находша: (7) 5(с). Так же как в (а) символ — ь может соединиться с выражением „вге" во всеобщее гипотетическое предложение, но сам по себе он не заключает идеи всеобщности.
Разумеется, справедливость общего вывода вида П„(а(х) -ьб(х)) может опираться на различные основания, Если этн основания суть только логические аксиомы, то символ — ~. выражает чисто логическое следствие, но основания этн могут заключаться также в каком-нибудь объективном законе сущности, в какой-нибудь действуюпгей согласно закону природы рея тьггой связи или же в какой-нибудь эмпирической закономерности. Я полагаю, чго это~о замечания достаточно для выяснения вопроса о взаимозависимости отношсния причины и следствия с отношением основания и вывода. Символ -~-, однако, остается при этом нейтральным. 47 Финитные логические аксиомы перечислены у Аккермана („Ма1Ьепг явппа!еп", 93, 1924, стр. 4) '). Разумеется, они построены так, что формальная справедливость ид может быть установлена при помощи „фнннтного правила".
Но можно и обратно показать (что, однако, требует уже специально математического и не сов:ем легкого доказательствз), что все формально справедливые согласно „финитному правилу" логические формулы, содержащие только символы †, -ь, бг, ~/, могут быть получены из этих немногих аксиом при помощи подстановок и повторного применения правил силлогизма. Поэтому список аксиом является полным. Наоборот, группа трансфинитных аксиом, из которых мы до сих пор знаем только две аксиомы (1) и (1!), нуждается еще в пополневпи. При помощи правила умозаключения нз логических аксиом можно получать новые, производные п,я ила доказательства. Действительно, каждое формально справедливое суждение вида Я вЂ” ь6 (где 9( и 6 сконструированы при помощи логических символов из высказывательных иерем,нных †неопределенн суждений а, Ь, ...) путем применения силлогизма приводит к следующему правилу: если у тебя имеется суждение типа Я, то ты на основании его можешь гыставить суждение типа Ф.
Наоборот, правило силлогизма представлено среди логических форм слелуюшей формулой: а -+((а -ьЬ) -ь Ь). Однако обойтись' одними лишь формулами нельзя, ибо построение есть активное действие, и практически употребительное правило умозаключения безусловно необходимо. В этом заклгочается правильное ядро учения о нормативном характере логики. Кантовское различение аналитических и синтетических с у ж д е н и й („ Критика чистого разума", введение) сформулировано столь туманно, что сравнение с четким понятием формальной истинности в математической логике„базирующимся в конечном счете на логических аксиомах, попросту невозможно. Напротив, определение Гуссерля (Ьой!всЬе ()п1егзпсЬппдеп, т. П, 2-е нгв!. изд., стр. 254) с ним совпадает.
Гуссерль пишет: „Аналитические законы — это безусловно всеобщие положения, не содержащие никаких понятий, кроме формальных. Аналитическим законам противостоят их спецификации, возникающие в результате введения реальных (яасЬЬа!1!д) понятий и эвентуально устанавливающих индивидуальное существование идей. Подобно тому как спецификации законов порождают, вообще говоря, необходимости, так н спецификации аналитических законов порождают аналитические необходимости". Литввхтувл О. В о о!е, Мв1Ьешв1!св1 апв!уыя о1 !ой!с, !847; Ая яптеяййа1!оп о1 1Ье 1аяв о1 1ЬопаЫ, 1854. Е. $спгоаег, Чсг!евипйеп ввег яйе А!йепгв бег Ьоя!К, !890/9!.
1(язве!! впа %Ь!1е Ьев а, Рппс!р!в Мвйешв1!ся, СатЬгЫйе !9!О/!3. Кпвве 1, Еяпйпгипй 1п <$!е шяйегпвй!ясЬе РЫ1ояор1пе, нем. пер., 1923. Нд1с$ ег, П!е Мв1Ьешв1!вспе Ме1поде, Вегйп 1924. ') См.также Н1!Ьегг ппа АсКе вша па, Опяваз!!8еаегшеогецвсЬеп $.ой!К, 1928. Прим. перев. 8 4. Акен о мат ич яс ки й мвтод Аксиоматический метод состоит попросту в том, чтобы собрать полностью те основные понятия и основные условия, из которых могут быть дефиниторным или же дедуктивным путем выведены все без исключения понятия и предложения данной науки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
