Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

В свою очередь непротиворечивость эвклидовой гсои е т р и и может быть совершенно независимо от веры в истинность ее и входящие в ее состав основные понятия, данные нам только в нашей пространственной интуиции, доказана на арифметической модели. Действительно, аналитическая геометрия, в основу которой целесообразнее всего положить понятие вектора, показала, что эвклидова геометрия есть лишь особенный способ изложения ли н ей но й алгебры, теории линейных уравнений. При этом „метрические" понжтия, следующие за „аффинными", устанавливаются при помощи некоторой положительно дефинитной квадратичной формы, именно, метрической фундаментальной формы. Впрочем, для получения геометрии трехмерного пространства нашей интуиции число переменных (или „неизвестных") должно быть нормировано до трех. Учение о числах и геометрия в силу этого их соответствия так тесно срастаются, что мы в настоящее время постоянно пользуемся в чистом анализе геометрическими терминами.

При наличии какого-либо 1ротнаоречия в геометрии должно было бы обнаружиться также протигоречле и в арифметике. Мы видим в этом сведение и упрощение проблемы, ибо числа являются вольным творением духа и потому как бы прозрачны для духа в совершенно иной степени, чем пространственные объекты и отношения. Из примеров совершенно отчетливо видно, что метод моделей нс имеет целью познание истины относительно использованных в модели предметов и отношений, он тольяо сводит непротиворечивость одной системы аксиом Я (например геометрической) к непротиворечивости другой системы 6 (например арифметической). Это достигается тем, что основные понятия системы Я так определяются на основании основных понятий системы 6, что аксиомы а( оказываются логическими следствиями аксиом 6. При этом беспокоиться относительно реального значения основных понятий в 6 н в 6 совершенно нечего, присвоение выведенным из 1Л понятиям тех названиИ, которые носят основные понятия в 6, совершенно произвольно.

Благодаря остроумному построению подходящих арифметич:ских моделей Гильберту удалось глубоко проникнуть в сущносгь логических взаимоотношений отдельных частей геометрической системы аксиом. 3. Метод моделей позволяет только свести непротиворечивость одной системы аксиом к непротиворечивости другой. Однако в конце концов для какой-либо одной системы аксиом доказательство должно быть абсолютным. Для всей математики н для физики подобной системой является система аксиом арифметики. Но для этой цели в нашем распоряжении имеется только метод непосредственного доказательства, который должен, исходя из правил дедуктивного умоэакл|очения, показать, что мы некогда не можем притти к двум противоречивым высказываниям.

Предпосылкой для проведения этого доказательства служит предположение, что эти правила логической игры перечислены п олностью (ср. й 3), так чтобы их можно было применять к предложениям, совершенно отвлекаясь от смысла последних, подобно тому как прнменяюгся правила шахматной игры к фигурам. Лишь в самые послед- 52 ние годы Гильберт приступил к попытке установить подобным способом непротиворечивость арифметических аксиом. (Если бы был открыт какой- либо новый и явным образом обязательный вид логического умозаключения и вместе с тем была бы расширена система правил игры, то следовало бы ожидать, что приведенное согласно методу непосредственного доказательства доказательство непротиворечивости потеряло бы свою силу. Метод моделей не зависит от „правил игры".) Можно привести хотя бы следующую аналогию из области шахмат: требуется доказать, что в разыгранной согласно правилам игры партии, как бы она ни протекала, никогда не встретится такое положение, при котором на доске будет стоять десять королев одного цвета.

Здесь можно воспользоваться „методом непосредственного доказательства". Из правил игры видно, что холы не могут увеличивать суммы числа королев н числа пешек одного цвета; так как, в нячале оно равно 9, то оно всегда остается ~9. Первый наш метод представляет собою тривиальный частный случай прямого метода. Однако благодаря своей простоте он заслуживал отдельного упоминания. Кроме непротиворечивости и независимости, от аксиом, долженствующих служить фундаментом какой-либо науки, требуют еще полноты.

Что это означает? То ли, что для всякого относящегося к данной области общего суждения а должен быть разрешим путем умозаключений и на основе этих аксиом вопрос: „истинно ли а или а"? Но тогда непротиворечивость аксиом гарантировала бы, что никогда не могут быть получены о б а эти ответа: а и я, а полнота их, — что обязательно был бы получен один из них. Понимаемая в таком смысле полнота системы могла бы быть обеспечена только в том случае, если бы был указан такой точный метод проведения доказательств, относительно которого можно было бы в свою очередь доказать, что он приводит к разрешению всякой специфической проблемы.

Тем самым математика была бы трявиализирована. Однако до сих пор не было найдено подобного „философского камня", да он и не будет найден. Математика вовсе не состоит в том, чтобы развивать по всем направлениям логические выводы из данных предпосылок; нет, ее проблемы ставятся интуицией, жизнью научного духа, и эти проблемы нельзя разрешать по установленной схеме, вроде арифметических школьных задач.

Дедуктивный путь, ведущий к их разрешению, не предуказан, его требуется открыть, и в помощь при этом нам служат обращения к мгновенно прозревающей многообразные связи интуиции, к аналогии, к опыту. Как уже упоминалось выше в 9 З„не существует ни одного дескриптивного признака для предложений, доказуемых из данных предпосылок,— мы неизбежно должны пользоваться построением. 'Практически невозможно поступать подобно тому ученому Свифта, которого Гулливер посетил на острове Бальнибарби — именно, вывести в систематическом порядке, например согласно количеству требуемых умозаключений, все возможные выводы и затем отбросить „неинтересные"; точно так же и великие произведения мировой литературы возникли вовсе не в результате того, что из 25 букв алфавита были составлены всевозможные „сочетания с повторениями" с количеством букв, не превышающим 10'а, а 53 затем были выбраны из них и сохранены наиболее глубокомысленные п прекрасные.

Если произвести какую-нибудь непрерывную деформацию пространства (или как бы заполняющего его массу пластелина) и понимать затем под прямыми, плоскостями и конгруентными фигурами те, которые возникли при этой деформации из действительных прямых, действительных плоскостей, фактически конгруентных фигур, то очевидно, что все теоремы геометрии будут справедливы и для этих вновь введенных понятий. Таким образом невозможно отличить логически систему тех линий, которые получились из прямых в результате подобной деформации пространства, от системы прямых линий. Это приводит нас к имеющей фундаментальное значение для теории познания идее изоморфизма. Представим себе систему Е, объектов (вроде, например, точек, прямых, плоскостей геометрии) и некоторые соответствующие отношения Я, Я', ...

(основные отношения). Представим себе далее, что в какой-либо другой системе Е существуют такие отношения, которые хотя и обладают совершенно другим смыслом, но поставлены в соответствие отношениям Я, Я', ... первой области посредством одинакового с ними наименования. Если возможно закономерным образом установить такое однозначное соответствие элементов системы Е, элементам системы Е„при котором тем элементам' из Е„между коими существуют отношения )с или )с', „будут соответствовать те элементы из Ем между коими существуют однсименные с )с, ... отношения в Е„то обе области вещей и з о и о р ф н ы. Установленное нами соответствие есть ивом орфное отображение Е, на Е,. Можно сказать, что изоморфные области вещей обладают одинаковой структурой. Каждому истинному предложению, относящемуся к Е, (смысл которого может быть понят только из смысла отношений )с, )с, ... в области Е,), соответствует сформулированное в тех же самых выражениях предложение относительно Е„ и обратно; нельзя утверждать относительно предметов из Е, ничего такого, что не было бы справедливо вместе с тем н в Е .

Так, например, посредством метода координат Декарта пространство изоморфно отображается на область операций линейной алгебры. Предшествующие рассуждения приводят нас ко взгляду на систему аксиом как на чистую логическую форму возможных наук. Реальное содержание какая-нибудь интерпретация приобретает тогда, когда названиям основных понятий приписывается определенное значение, в силу чего и аксиомы становятся истинными предложениями.

Может показаться целесообразным называть систему аксиом полной в том случае, если в силу требования справедливости аксиом оказывается однозначно определенным смысл входящих в их состав основных понятий. Но этот идеал недостижим, нбо очевидно, что всякая, имеющая реальное содержание интерпретация, получающаяся из данной в результате изоморфного отображения, сама является в свою очередь таким же изоморфным отображением.

Характеристики

Список файлов книги