Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Здесь мы встречаемся со вторым уязвимым пунктом в очерченном выше построении математической области чисел. По вопросу о непрерывности древность оставила нам две важных проделанных ею работы: а) глубокий анализ математического вопроса о том, как можно фиксировать в континууме какое-либо отдельное место и б) вскрытяе.философских парадоксов, кроющихся в интуитивной сун1ности непрерывного.
а) Чистая геометрия греков, поднявшаяся над неточностью чувственно данного, применила идею существования не только к натуральным числам, но и к точкам пространства. Открытие на примере )/2, отношения между стороной и диагональю квадрата, иррациональности показало,что дроби вовсе не являются единственнымн возможными мерами величин 3 1. няяяь. 65 отношений между отрезками, вовсе ие являются единственными „веще- 1,. ственнымн числами".
В „Диалогах" Платона . чувствуется то глубокое впечатление, которое произвело это открытие на зарождавшееся научное сознание того времени. Общие основания найденного явления независимо от специальных геометрических построений, доставлявших вначале частные случаи иррациональности, вроде ф' 2, были открыты Эздоксом. 1.
Вместо оказавшегося несостоятельным принципа соизмеримости он выставил следующую аксиому: если даНы два произвольные отрезка а и Ь, то всегда можно столько раз (например и раз) присоединить а к самому себе, чтобы сумма отрезков па стала большей, чем Ь. Это означает, что все отрезки суть величины одного и того же порядка, что в континууме не существует нп актуально бесконечно большого, ни актуально .бесконечно малого.
2. Чем же характеризуется какое-либо отношение отрезков? Эвдокс отвечает так: два отношения величин отрезков а: Ь, а': Ь' равны между собою в том случае, если произвольные натуральные числа т и и, удовлетворяющие условиям, написанным в первой строке нижеследующих неравенств, всегда удовлетворяют также условиям, выставленным яо второй строке: ~па)тЬ (11 )па= тЬ /па(тЬ [па') тЬ' (па' = тЬ' !па'(тЬ Таким образом каждое вещественное число а характеризуется тем сечением, которое оно производит в области рациональных чисел, т.
е. т разделением всей совокупности дробей — на три класса, таких, что дроби класса (1) все меньше а, класса (1!) равны а, а класса (1Д) больше, чем а. Средний класс при этом либо пуст, либо же содержит одну единственную дробь. Первая аксиома гарантирует от того, чтобы дза различных отрезка могли находиться в одном отношении к некоторому определенному принятому за единицу отрезку. На этом же фундаменте было воздвигнуто и учение о пропорциях Эвклида, а Архимед обосновал на нем свой общий метод исчерпания. Лишь в Х1Х в.
современная математика довела эту проблему до конца. Для Эвдокса вещественные числа задаются как отношения двух данных отрезков; а какие сугцествуют отношения отрезков — этому нас учат уже аксиомы геометрии. Но в эвклидозой системе геометрии невозможно (пользуясь линейкой и циркулем) построить отрезок, находящийся в отношении )l 2 к другому, данному нам в качестве единицы отрезку и тем самый разрешающий делосскую задачу об удвоении куба, или же отрезок к, равный длине окружности с диаметром 1. Тем не менее мы, исходя из идеи непрерывности, убеждены, что такие отрезки существуют: ведь при непрерывном увеличении ребра куба от 1 до 2 его объем непрерывно возрастает от 1 до 8 и поэтому должен пройти через промежуточное значение 2.
Точно так же мы можем приближаться снизу и сверху с любой степенью точности к отрезку и, вписывая и описывая методами эвклидовой геометрии вокруг окружности правильные 6 ь 12ъ 24-,... угольники. Таким образом мы можем обернуть положение вещей и ска- 66 вать: каждое произвольно вада нное сечение в области рапи»» нальных чисел, т. е. любое, каким угодно образом осуществленное распределение всех рациональных чисел на три класса (1), (11), (Ш), определяет собою некоторое вещественное число.
[При этом должны быть соблюдены только следую»цие условия: ни класс (1), ни класс (!П) не пусты; в классе (!!) содержится салюе большее одна дробь, в (1) не существует наибольшей, а в (!!1) — наименьшей дроби; всякое число класса (1) меньше всех дробей классов (11) и (!11), всякое число класса (Ш) больше чисел классов (!) и (П)). Согласно Дедекинду (,Непрерывность и иррациональные числа", 1872), мы не имеем никакого основания.принять за вещественные числа только часть этих сечений. Поэтому мы постулируем в геометрии как аксиому (акснома Дедекинда) существование таких отрезков, которые находятся к некоторому принятому за единицу отрезку в арифметически определенном посредством сечения отношении.
Так как согласно Эвдоксу отношение произвольного отрезка к отрезку 1 в свою очередь опрелеляет некоторое сечение, то аксиома Дедекинда гарантирует нам полноту геометрических элементов, т. е. при сохранении в силе всех аксиом геометрии, включая аксиому Эвдокса, система точек неспособна ни к какому дальнейшему'расширению (Гиль- берт). В втой логической полноте. системы находит свое отражение данная в созерцании сплошность ().йс)»еп!оз18йе11) точек пространств». Благодаря введению дедекиндова понятия числа анализ становится независимыл» от геометрии, только теперь он оказывается пригодным для изучения непрерывности и предоставляет геометрии средства для доказательства опирающихся на принцип непрерывности теорем, вроде, например, следующей: непрерывная линия, соединяющая какую-либо точку, расположенную внутри круга, с точкой, расположенной вне его, пересекает окружность.
На то обстоятельство, что такого рода теоремы лишены у Эвклида надлежащего обоснования, обратил 'внимание еще Лейбниц в связи с первым же встречающимся у Эвклида построением равностороннего треуголышка АВС по точкам А и В. При этом построении из точки А, как из центра, описывае»ся окружность, проходящая через точку В, а из точки  — окружность, проходящая через точку А; однако у Эвклида не доказывается, что эти окружности имеют общую точку С.
Равноценным с понятием сечения средством для определения вещественного числа является бесконечная последовательность содержащихся одни в других рациональных интервалов а„7»„(и=1, 2, 3,...), длины которых 7»„— а„пр»» неограниченном возрастании индекса и стремятся к 0 (ср. пример с г). Так как с логической точки зрения дробь не сложнее, чем натуральное число (ведь она определяется двумя натуральными числами, числителем и знаменателем), то мы можем подвести итог историческому развитию проблемы а) в следующих выражениях: Предметом теории чисел являются отдельные натуральные числа, предметом учения о непрерывности— возможные множества (или бесконечные последовательн ости) натуральны х ч и сел.
б) Сущность непрерывного отчетливо охарактеризована в одном пошедшем до нас отрывке из А»»аксагора: „В малом не существует наименьшего, но всегда имеется еще меньшее. Ибо то, что существует, 67 не может перестать существовать от деления, как бы далеко ни было продолжено последнее". Непрерывное не может состоять из дискретных элементов, которые „отделены друг от друга и как бы отрублены друг от друга ударами топора". Пространство бесконечно не только в том смысле, что в нем нигде не имеется конца, оно кроме того в любом своем месте бесконечно, так сказать, вовнутрь, н точка в нем может быть определена лишь путем бесконечного и от раза к разу все точнее фиксирующего ее процесса деления.
Это представление противоречит покоящемуся, законченному в себе для интуиции бытию пространства. Это свойство присуще как непрерывному пространству, так и непрерывной градации качеств вещей внешнего мира: действительная вещь никогда ие может быть дана нам совершенно адэкватно, ее „внутренний горизонт" раскрывается перед нами в простирающемся в бесконечность процессе все новых опытов, она, как это подчеркивает Гуссерль, представляет собою предельную идею в кантовском смысле слова. Поэтому невозможно считать действительные вещи замкнутым н законченным в себе сущим.
Таким образом проблема континуума приводит к теоретнко-познавательному идеализму. Так, среди других философов Лейбниц указывает, что именно стремление отыскать выход из „лабиринта непрерывного' впервые привело его к представлению о пространстве и времени как порядках существования явлений. „Из того, что математическое тело не может быть разложено на первые основные моменты, непосредственно вытекает„ что оно не представляет собой совершенно ничего реального и является лишь произведением разума, выражающим только возможность частей, но ни в коем случае не нечто действительное".
(Переписка между 1!ейбницем и де-Вольдером, РЫ1. Вспг. изд., бегИагб1, П, стр. 268.) В противовес такой трактовке сущности непрерывного Лейбниц, дающий явлениям, по-иному, чям Кант, метафизическую основу в некоем мире абсолютных субстанций, выставляет идею монады: „В идеальном или континууме целое предшествует частяч... Части здесь даны лишь потенциально, но в действителыяых (т.
е. субстанциональных) вещах простое предшествует сложному и части ланы актуально и раньше целого. Эти вамечашш разрешают трудности, связанные с понятием непрерывного, трудности, возникающие только тогда, когда непрерывное рассматривают как нечто реальное, обладающее действительными частями само по себе, до какого-либо производимого нами деления, и когда материю принимают за субстанцию" (Письмо к Ремонду; Р!т1!. ЯсШ., Ш, стр. 622).
Невозможность толкования непрерывного как некоего застывшего бытии наилучшим образом сформулирована в известном парадоксе Зенона о состязании в беге между Ахиллесом и черзпахой. Разумеется, ~о указание (прн помощи котооого, как теперь, полагают, разрешается этот парадокс), что последовательные частные суммы ряда 1 1 1 2 2э 2Я -+ †+ в" ! именно, 1 — -„-, не увеличиваются сверх всяких границ, а стремятся к 1, представляет собою важное, относящееся к данному вопросу и разьясня- 68 ющее его замечание. Однако, если отрезок длины 1 действительно состоит нз бесконечно многих как бы „отрубленных" целых отрезков длины 1 1 2' 4 '8' , —, —,..., то утверждение, что Ахиллес может в конце концов пробежать всех их, противоречит сущности бесконечного, „незавершаемого".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
