Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Нет смысла вводить для каждой области величин свои специальные дроби. Поскольку законы дробей совершенно не зависят от свойств области величин, гораздо целесообразнее определять дроби чисто арифметически '). А это удается благодзря применениювышеизложеиныхрассуждений к области величин самих натуральных чисел. То обстоятельство, что отношение вида 5Х=Зу при заданном х не всегда может быть в этой области рззрешено относительно у, не играет при'выработке теории никакой роли.

В результате мы приходим к следующей фориулировке: „два нат туральных числа т, и определяют дробь —. Когда говорят, что из двух т натуральных чисел х и у второе в — раза больше первого, то это лишь и ') Мы здесь поднимаемся над той точкой зрения, которой придерживались греки до времен Эвклида и еше долгое время спустя.

Подчинение учевяя о величинах понятию числа, применение чистой алгебры в качестве инструмента геометрия, повидимому, возникли в индусской культуре,— у арабов оба эти течения сливаются воедино. 58 служит выражением равенства псе=ну'. Это — творческое в смысле 9 2 и иэ определение. Две дроби —, —,. равны, если два любых'числа, находя- шихся друг к другу в отношении тх=ау, всегда удовлетворяют также и отношению иьх=п"'у, н обратно. Правила действия над натуральными числами позволяют заменить этот трансфинитный критерий, требующий, по буквальному своему смыслу, испытания всех возможных чисел х, у, конечным критерием и ° пь = и ° и". Здесь налицо частный случай определения посредством абстракции.' т и" равенство дробей — и —.

может быть определено непосредственно чеи иэ рез (К), если только предварительно убедились, что это отношение представляет собою отношение эквивалентности. Введение дробей в качестве „идеальных элементов" может быть с чисто арифметической точки зрения— независимо от их практического применения — обосновано еще тем, что при надлежащем распространении на дроби действий над натуральными числами, сохраняют свою силу важнейшие арифметические аксиомы, а кроме того становится обратимым действие умножения, т.

е. оказывается возможным деление, осуществимое в арифметике натуральных чисел лишь в исключительных случаях. Если руководясь теми же самыми идеями, мы захотим сделать обратимым также и сложение, то мы перейдем от дробей к рациональным числам (включая 0 и отрицательные числа). (Правда, прн этом мы вынуждены принести тяжелую жертву: возможность деленна не сохраняется для делителя 0.) Здесь нигде не встречаются логические неясности или философские трудности. Гораздо более серьезные трудности уготовляет наша исходная система — система натуральных чисел и иррациональное, переход от рациональных чисел к континууму чисел вещественнйх.

Но если только удается достигнуть этой стадии, то на дальнейшем пути к комплексным и гиперкомплексным числам не встречается уже никаких преград. Для введения комплексных чисел нужно лишь указать, как определяется каждое такое число и как с ними действовать. Комплексные числа определяются своими двумя компонентами, и мы можем просто сказать, что под комплексным числом понимается каждая пара вещественных чисел (а, р) (Гамильтон, 1837).

Мы не будем излагать здесь ехрНхйе правил действий над этими числами. Согласно этим правилам роль единицы в комплексной области играет (1,0)=е, ибо произведение ее на любое комплексное число (а, р) приводит к тому же самому числу (а, р). Число (0,1) представляет собою мнимую единицу 1, которая удовлетворяет равенству 1 ° 1= — е. Истинной причиной установления таких правил является то, что благодаря им удается перенести на комплексные числа, т. е. на пары вещественных чисел формальные ваконы арифметики. От репутации чего-то мистического, которой долгое время пользовались мнимые величины '), не осталось и следа.

') Гю й ген с, например, в 1674 г. по поводу одной комплексной формулы писал: .11уа Чпс19не свозе ое сасне !а-деоапв, чн1 исаа ев1 1псошргепепа1Ые" 59 От комплексных чисел можно затем перейти к гиперкомплексным м ч и ел ам с 3-мя н более компонентами. Однако можно доказать, что, как бы ни были в их области определены действия сложения и умножения, все же невозможно сохранить в силе все законы арифметики. Поэтому комплексные числа служат как бы естественным пределом для расширения понятия числа.

Однако системы гиперкомплексных чисел имеют в математике большое значение; таковы, например, состоящие'из четырех комПонентов кватерн ионы, не удовлетворяющие лишь одному закону арифметики, именно — переместительному закону умножения, и являющиеся очень удобным вспомогательным средством для исследования вращения в пространстве твердо~о тела.

Вместо генетического построения области чисел можно также обосновать арифметику на некоторой системе аксиом; Генезисом чисел прн этом приходится воспользоваться только для сведения непротиворечивости этой системы к непротиворечивости аксиом натуральных чисел.

Арифметические аксиомы распадаются на две группы: на алгебраические аксиомы и на аксиомы величины. Алгебраическая группа трактует о действиях сложения и умножения. Она заключает в себе формальные законы арифметики (вроде а+Ь=Ь+а) и постулирует существование 0 и 1, обладающих следующими свойствами: а+0=0+а=а, 1 ° а=а1=а, а также обратимость действий сложения и умножения (за исключением деления на О). Аксиомы величины (теряющие свою силу в области.комплексных чисел) имеют дело с отношением а)Ь (а больше Ь) (ср. таблицу в „Основаниях геометрии' Гильберта). ЛИТЕРАТУРА; Н а п й е 1, ТЬеог!е бег йогпр!ехеп 2зшеп, 1 рз. 18б7.

Н11Ь е г1, Оп!па!аясгт бег Оеоше!г!е. Но )с) е г, Гйе Апйппе1йх !п з!гепйег Вен!вид!!ля, 1рх. !914. б. НАтуРАльные числА „Целое число создал господь бог, все остальное дело трудов человеческих" — так гласит часто цитируемое выражение Кронекера. В области (здесь таится что-то для яас непонятное; см.

Ь е(Ьп!з, Мз(Ь. БсЬг!Кеп, изд. ОегЬагб(, П, стр. 15). Даже Коши в 1821 г. обладал еще весьма неясными представлениями о действиях над комплексными величинами. Впрочем, отрицательные числа представляли в свое время также немалую головоломку. К л а в и й (1612 г.), например о правиле .минус на минус дает плюс' писал: .беЫ1!!аз Ьшпап! !пяеп!! асспзапбз (чЫе1пг), Чноб сзреге поп ро1ез1, Чио рас1о Ы чегшп еззе розм1" (здесь проявляется слабость человеческого разума, который не в состоянии постигн ть, почему оно может быть верным), Еще Декарт, в соответствии с обычаем того времени, называет отрицательные корни злгайраического уравнения ложными.

Встречающееся иногда и в наши дни определение г' как такого числа, которое при умножении на самого себя дзег — 1, в качестве определения представляет собою чистейшую бессмысйицу, поскольку мы имеем дело только с вещественными числами. Доля истины, содержащаяся в этом определении, состоит лишь в требовании так расширить понятие числа и так распространить умножение на расширенную область, чтобы указанное равенство было возможно.

бО натуральных чисел проблема познания выступает в своей наиболее простой форме. Займемся же и здесь в первую очередь чисто математической стороной! Ряд чисел начинается с 1 и порождается в ходе процесса, образующего всякий рав из уже полученного числа ближайшее следующее за ним число, и в этом движении вперед никогда не встречается уже ранее попадавшееся число, Поэтому какое-нибудь относящееся к числам общее понятие может быть получено только при помощи „полной индукц и", т.

е. указашш а) что оно обозначает для первого числа 1 н р) как оно переносится с любого числа и на ближайшее следующее за ним число и'=(и+1). Пр и меры. Данное в предшествующем параграфе определение для иа. Понятия четного и нечетного: и) 1 нечетка; р) л' четно или нечетно в зависимости от того, нечетко ли или четно л. Общее понятие сложения а + л двух натуральных чисел а и и: а) а + 1 = а'; р) а+ и' = (а+ и)'.

Сказанное о понятиях относится также и к доказательствам. Теория натуральных чисел может быть полностью построена при помощи этого метода определения и доказательств, базирующихся на полной индукции или, как еще говорится, на умозаключении от л к и+ 1. Этот вид умозаключения приносит с собою в математические доказательства совершенно новый и своеобразный момент, чуждый ар~сготелевой логике, и оп-то и составляет подлинную душу искусства математического доказательства. Впервые этот принцип полной индукции был высказан в явном виде, повидимому, Б.

Паскалем (1654 г.) и Яковом Бернулли (1686 г.), В очерченном выше обосновании теории чисел ньиболее существенным является р й с и о р я д о к чисел; числа первоначально выступают как порядковые числа и характеризуются только своим местом в ряду. Шопенгауер поэтому прав, говоря об этой концепции числа (Ч!ег1асйе %нгхе! без Бадея яош знге!сйепбеп Огцпбе, 9 38): „Основанием существования каждого числа являются предшествующие ему числа: я могу достигнуз ь десяти, только пройдя через все предшествующие десяти числа...", В этом случае применение к какой-нибудь данной нам совокупности предметов известного процесса счета доставляет нам определенное натуральное число, как к о л и ч е с т в о элементов этой совокупности. Процесс счета располагает элементы совокупности в упорядоченную последовательность (первый, второй, третий,...), н требуется особое рассуждение для доказательства в общем виде того фундаментального обстоятельства, что результат пересчитывания не зависит от его порядка.

Лишь после этого прочно устанавливается понятие к о л и ч е с т в е н н о г о числа. Ср., например, рассуждения Гельмгольца (ЛЬЫеп нпб Меззеп, %!ззепзсЬ. АЬЬапб1., 111, стр. 256; затем см. у Л. Кронекера, %'егйе, 1П, 1, стр. 249). Много спорили на тему о том, не является ли, наоборот, первичным понятием количественное число, а порядковое — вторичным. Если желать ввести количественное число независимо от порядка, то понятие количества какого-либо множества следует определить посредством абстракции (как на стр. 41).

Это определение не ограничивается случаем конечных множеств, 61 связанное с ним учение о бесконечных количественных числах было развито Г. Кантором в его общей теории множеств. Но возможность сопоставления элементов, о которой идет речь в критерии равночисленности, может быть допущена лишь в том случае, если акты установления соответствия производятся олин за другим в упорядоченной временной последовательности, а значит, если оказываются упорядоченными сами элементы обоих множеств. Если разложить в абстракции процесс сравнения двух множеств на определение числа каждого множества и последующее за этим сравнение чисел, то совершенно необходимым является упорядочить каждое из множеств посредством указания следования во времени каждого его элемента за другими (что, впрочем, необходимо для того, чтобы совокупность была задана индивидуальным образом,— а мы в нашей повседневной мсизни имеем дело с числами только таких совокупностей).

Характеристики

Список файлов книги