Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В итоге мы получаем следующую окончательную формулировку: система аксиом является полной, если любые две имеющие реальное содержание ее интерпретации необходим ы м о б р а з о м и з о и о р ф н ы. Можно показать, что полнота установленных Гильбертом аксиом геометрии в этом смысле является обеспеченной. я4 В каждой науке может быть известно только изоморфное отображение соответствующей области вещей. В частности, для нее является совершенно безразличной „сущность" ее объектов. То, что отличает пространственные точки от троек чисел илн других возможных интерпретаций геометрии, мы можем познать только при помощи непосредственного живого созерцания. Но созерцание вовсе не представляет собою состояния блаженного покоя, из которого оно не может никогда выйти; нет, созерцание ведет к противоречиям и дерзновению познания, но было бы фантастично ожидать от познания, что оно открывает созерцанию более глубокую сущность того, что непосредственно дано самому созерцанию.
Идея изоморфизма выражает собой очевидную и непреодолимую границу знания. Эта идея проливает свет также и на метафизические спекуляции о существующем позади явлений мире вещей в себе. Лействительно, если принять эту гипотезу, то совершенно ясно, что мир явлений должен быть изоморфен абсолютному миру (причем, разумеется, соответствие это является однозначным лишь в направлении от'вещей в себе к явлениям), ибо „мы вправе в том случае, когда мы имеем дело с различными восприятиями, умозаключить о различии их действительных причин" (Не1шйо1!х, %!ззепзсйа1!!!сЬе АЬЬапд!нпйеп, 11, стр.
ббб). Таким образом, если мы и не познаем (Ьвппеп) вещей в себе, то пам все же известно (!ч!язеп) о цих ровно столько же, сколько и о явлениях. Та же самая идея изоморфизма решает и ту проблему, которую Лейбниц, побуждаемый номнналистической теорией истины Гоббса, рассматривал в диалоге о зависимости между вещами и словами; Лейбниц, очевидно, прилагал большие усилия для того, чтобы выразить ее (РЬ!1оз. ЯсЬг!1!еп, изд.
ОегЬагб1, Н!1, стр. 190 — 193). Благодаря открытию изоморфных отношений все познания, приобретенные в какой-либо области, могут быть моментально перенесены на любую изоморфную область. Например, подябную роль играет в проективной геометрии на плоскости принцип двойственности. Единственное встречающееся в ней понятие отношения — это инциденция точки и пря. мой (точка лежит на прямой, прямая проходит через точку). Так как возможно так однозначно сопоставить точки плоскости с прямыми, что всегда, когда точка Р лежит на прямой !1, то сопоставленная с Р прямая р проходит через сопоставленную с д точку !З, то из каждой истинной теоремы проективной геометрии (в результате употребления безразличного по .отношению к направлению его применения слова „инциденция') тотчас же возникает новая теорема, в которой слова „точка" и „прямая' занимают одно место другого.
С. Ли открыл, что прямым комплексного пространства можно таким образом поставить в однозначное соответствие шары, что пересекающимся прямым всегда будут соответствовать соприкасающиеся шары. Тогда при помощи найденного им принципа переноса нз теорем о пересечении прямых получаются теоремы о соприкасающихся и:арах. Одна важная часть аналитической теории функции, так называемая „униформизация", самым естественным образом может быть изложена на языке геометрии Больян-Лобачевского. Представим себе сеть проводников постоянного тока, состоящую из отдельных однородных проволок, разветвляющихся в узловых точках, и назовем, точкой" произвольное распределение тока, которое сообщает каждой проволоке а силу бб тока 7,.
Б такой системе имеют силу законы эвклидова пространства с центром в О и такого количества измерений, сколько есть проволок в сети. Прн этом центральная точка О характеризуется отсутствием тока, в ней исчезают все силы тока 1„ а под квадратом расстояния „точкп" от центра здесь следует понимать количество джоулевой теплоты, выде- ляемой токами за единицу времени. Эта изэморфия вовсе не носит харак- тера игры, ибо благодаря ей простые и важные геометрические понятия ставятся в соответствие с простыми и важными, касаюшимися распреде- ления тока в сети понятнямн физики. Например, основная задача: при заданной велцчине напряжениИ в каждой проволоке определить получаю- щееся в сети проводников распределение сил тока, тождественна с гео- метрической задачей перпендикулярного проектирования точки на задан- ную плоскость.
Очевидно, что математика немедленно гарантирует одно- значную разрешимость этой задачи, а также дает в руки метод вычисле- ния решения ее. Согласно современным воззрениям чистая математика представляет собою гипотетически-дедуктивное учение об отношениях, онз разрабатывает тео- рию чистых логических форм, не заботясь о той или иной из возможных конкретных интерпретаций. Об этой „ф о р м а л и з а ц и и", как о „кон- цепции, вне которой нечего и говорить о понимании математического метода", см. у Гуссерля в „Логических исследованиях", 1, й 67 — 72.
Еще Ганкель в своей вышедшей в 1867 г. теории комплексных чисел (стр. 10) писал: „Условием построении всеобщей арифметики является поэтому очищенная от всего интуитивного чисто интеллектуальная мате- матика, чистое учение о формах, в которой исследуются не количества или их образы, числа, а интезлектуальные объекты, которым могут, но вовсе не д о л ж и ы соответствовать действительные объекты или отношения между ними". Аксиомы превращаются в скрытые определения содержащихся в них основных понятий.
Разумеется, при этом сохраняется известный простор для неопределенности понятий, но логические выводы из аксиом сохраняют свою силу, как бы этот простор ни был ограничен посредством какой-либо конкретной интерпретации. Чистая математика признает только одно — но зато совершенно обязательное †услов истины — именно, непротиворечиво сть. Быть мо кет, эта современная точка зрения проглядывает еще в эвкли- ловом названии аксиом: з(ттлмата, постулаты, Лейбниц 'сделал несколько решительных шагов по пути к осуществлению гпа((гез(з ппйхегзаНз именно в этом, им отчетливо осознанном направлении.
К его Агз сошЬ(па1ог(з принадлежит прежде всего наиболее блестящий пример „,чисто интел- лектуальной математики — теория групп. Конечная группа О прел- ставляет собою систему взятых в конечном числе объектов, в пределах которой устанавливается какая-либо операция, порождаюшая из двух (одинаковых или различных и расположенных в определенной последо- вательности) вещей а, Ь аешь аЬ этой системы. Единственные прель- являемые к этой операции требования или аксиомы таковы: сочетательный закон: а (Ьс) = (аЬ) с, если а ф Ь (а отлично от Ь), то и ас ф Ьс, са ф сЬ. Из этих скудных предпосылок разворачивается множество глубоких взаимозависимостей и в математике встречается поразительное обилие 56 различных „днтерпретацнй" этой простой системы аксиом.
Быть может, понятие группы является наиболее характерным для математики Х1Х столетия. Метод скрытого определения полезен не только для обоснования науки, но и в самой науке. Припишем „куску" — под чем мы здесь будем понимать ограниченную прямолинейными отрезками часть плоскости— некоторую площадь и примем, что оиа удовлетворяет следующим требованиям: 1. Площадь в чи.ло положительное. 2. Если мы разделим кусок па дзе части посредством расположенной внутри его ломаной линни, то плошадь целого равна сумме плошадей частей.
3. Конгруентяые куски имеют одинаковые плошади. Это действительно существенные свойства площади, но в них не содержится микакого явного определения этого понятия. Вместе с тем оказывается, что этн условия непротиворечивы, что действительно каждому куску Т в качестве его площади может быть при помощи определенного метода приписано некоторое положительное число у (Т), удовлетворяющее условиям 2 и 3. Наши условия, однако, определяют понятие не однозначным образом, кроме у(7), нм удовлетворяют также значения су(7), где с представляет собою не зависящее от 7 положительное постоянное число. Но этим и исчерпываются все возможности.
Остающийся и заключающийся в наличии постоянного множителя произвол может быть устранен лишь указанием на какой-либо индивидуальный кусок, например квадрат, относительно которого устанавливается соглашение, что площадь его равна 1 (относительность величин). .М. Шлик в своем „А!!алеше!пеп Егйепп!и!а!еЬге" (1918, стр. 30 — 87) лает превосходный анализ значения скрытых определений не только для математики, но и для всех наук. „Для строгой, переходящей от одного вывода к другому науки понятие является в действительности не чем иным, как тем, о чем могут быть высказаны определенные суждения.
Поэтому его так и следует определить". Помимо точных наук подходящей сферой применения для скрытых определений может служить юриспрудецция. ЛИТЕРАТУРА: Н !) Ь е ! 1, Огавб!айеп деГ Оеоте!г!е. (Имеется русский. перевод.) Н ! ! Ье гг, Ах!еюа!!асвеа Оепкеп, Ма!Л. Апи., 78, 19!8. М. О е ! д е г, Буз!ежа!!эсЛе Ах!огва!!К оег еяв1!ч!эсвеп Оео!пе!г!е, 1924. В. с!ИСЛО И КОНТИНУУМ. БЕСКОНЕЧНОЕ 5. Рациональные числа. Комплексные числа Исходным п) нктом генетического построения области математических чисел являются натуральные числа ряда 1, 2, 3, ... Первый шаг, который надлежит сделать, это переход от натуральных чисел к дробям. Исторически дроби возникли при переходе от счета к измерению.
В основании измерения всегда находится какая-нибудь область величин, вроле той, например, какую образуют отрезки на прямой линии. Здесь господ- 57 ствующими отношениями являются следующие: 1) отношение равенства а=Ь (конгруентности), удовлетворяющее установленным выше аксиомам эквивалентности (см. стр. 40), и 2) операция, порождающая из двух любых отрезков а, Ь отрезок а+ Ь. Так, например, отрезок 5а получается ив отрезка а, если образовать состоящую из пяти слагаемых а сумму а+ а+ а+ а+ а. Тем самым устанавливается связь измерения со счетом. Определение умножения может быть точно дано следующим образом: и) 1а=а; р) если и есть натурзльное число, то (и+1)а возникает из иа по формуле: (и + 1) а = (иа) + а. В области отрезков возможно однозначное обращение операции умножения, а именно деление: для каждого данного отрезка а и натурального числа и существует один и только один (в смысле равенства) а отрезок х, для которого их =а, этот отрезок обозначается †.
Действие деления может комбинироваться с действием умножения. Так возникает, 5 5 иг например, — а „вЂ” кратное" отрезка а. Знак дроби — является сим.- и волом этого сложного действия, и две дроби равны, если оба обозначаемые ими действия, к каким бы отрезкам они ни применялись, приводят к одинаковым результатам. У м н о ж е н и е дробей означает последовательное проведение одного за другим всех характеризуемых ими действий. Возможность с л о же н и я дробей объясняется тем, что выражаемое символом тХ Гак Х вЂ” +— и и" действие (при его применении к любому отрезку х) может быть представлено в виде одной единственной дроби.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
