Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

И если допустить такую возможность, то непонятно, почему какая-нибудь машина не могла бы совершить в конечное время бесконечное 1 множество актов решения, давая, скажем, первый результат через — ми- 1 1 путы, второй через — минуты после первого, третий через — минуты после гторого и т. и. В этом случае, если бы наш рассуждающий мозг функционировал анатагпчньщ образом, было бы возможно осуществить пересмотр всех натуральных чисел и дать уверенный положительный илн отрицательный ответ на все относящиеся к ним проблемы существования! Декарт боролся с идеей, что прп движении жидкости материальные ко..пускулы должны дробиться до бесконечности „или по крайней мере неопределенным образом (ш шбсйпйшп), и притом на такое количество частей, что разум не может представить себе столь малой части, относительно которой не было бы ясно, что она действительно может быть разделена на еще более мелкие".

Это остается для него загадкой, от которой он избавляется ссылкой на непсповедимость всемогущества божия. Эйлер в своем „Ап1е11ппп гпг Ма1пг!иге" (Орега роз1)гнша,!1, 1862, стр. 449 — 560), резюянрующем с величественной ясностью принципы натурфилософии его эпохи, заявляст: несмотря на то, что тела делимы до бесконечности, положение, что каакдое тело состоит из бесконечно многих („последннх") частей, совершенно ложно и даже находится в очевидном противоречии с бесконечной делимостью.

В системе Канга с проблемой непрерывного связаны обе первые антиномии чистого разума '). В истории человеческой мысли были предприняты три попытки представить непрерывное как некое бытие в себе. Согласно первой и самой радикальной из них, континуум состоит из определенного исчислимого количества дискретных элементов, атомов. Для случая материи этот путь, на который еще в древности вступил Демокрит, был пройден до конца с блестящим успехом современной физикой. Для случая пространства концепция последовательного атомпзма была развита, кажется, впервые Платоном, с ясным сознанием поставленной им себе цели — „спасения" явлений от идеи. Атомистическая теория пространства была возобновлена в философии ислама Мутакаллимуном (ср. Ьаззттйг, Оезс1нся1е бег А1ошЫ1к, 1, стр. 139 — 160), а на западе — в учении о минимуме Джордано Бр)но.

Еще 1Ом в своем учении о пространстве и времени (Тгеа11зе оп ') Правда, первая нз пих сформулирована очень неудачно; из аргументации видно, что речь в ней нлет не о том, имеет ли мнр начало яо времени или пег, а о том, истекло ля ло какого-нибудь мгновения конечное или бесконечное количество моментов времеви. В непрерывно заполненном времени имеет место последнее, независимо от того, будет ли ярема па основания имманентного ему влв же язвпс ярявпесеппога прянцпва измерения кояечвым или бесконечно долгим. 69 )шшап па!ше, ч.

2, равд. 4) незаметным образом превращает неопределенность чувственно данного, которую он собственно имеет в виду, в совокупность неделимых элементов. В связи с теорией квант эта идея ныне снова появляется на свет в дискуссии об основах физики. Но она до сих гор всегда являлась чистой спекуляцией и не выходила из зародышевого состояния, не вступив нн разу нн в малейший контакт с действительностью. Как следует понимать согласно этой идее существующие в пространстве отношения мер длин?'Если сделать из „камешков' квадрат, то иа диагонали будет лежать столько же камешков, сколько пх имеется в с направл.нии стороны, таким образом диагональ должна была бы иметь ту же длину, что и сторонз.

Поэтому 1Ом должен признать, что „столь же истипныт, как и очевидный" принцип сравнения мер линий и поверхностей при помощи количества входящих в их состав элементов на самом деле является бесполезным. Риман в своем мемуаре „О гипотезах, лежащих в основании геометрии" (1854) выставляет альтернативу, согласно которой „для дискретного многообразия принцип отношения мер содержится в самом понятии этого многообразия, в случае же непрерывного должен быть введен каким-нибудь другим способом". Второй попыткой является введение бесконечно малых. На эту тему ведется обстоятельная и остроумная дискуссия в первом дне „11!зсогз! е б(шоз!гах!оп!" !'алплея.

Подобно тому, как я могу изогнуть прямую линию в восьмиугольник илн в тысячеугольник, так, по мнению Галилея, я могу превратить ее в многоугольник с бесконечным количеством бесконечно малых сторон, намотав ее на круг, таким образом я вовсе не оказываюсь в зависимости от никогда не достигающего цели процесса стремления к пределу '). Когда колесо катится по горизонтальной прямой, то каждый из концентрических меньших кругов растягивается на горизонтальной прямой Ь той же самой длины (го(а Аг)э!о!е1!з, колесо Аристотеля). Но если заменить круглое колесо правильным многоугольником с большим количеством сторон, то „покрываемые на й отрезки, с которыми поочерсдндясовпадаюг стороны концентрического многоугольника, образуют прерывную линию.

Поэтому в случае круглого колеса приходится принять, что Ь состоит из некоторой бесконечно плотной последовательности чередующихся покрытых и непокрытых отрезков. „Здесь, — читаем мы у Галилея, — перед нами находится метод, выводящий нас из многих сложных лабиринтов и открывающий нам глаза на рассмотренный ранее вопрос о сцеплении, утончении и утолщении без допущения пустых пространств и проницаемости (материальных) тел; всех этих трудностей мы избегаем, принимая, ') Г а н кель (Хнг Сеэсп!сЫе бег Марпеша!!Х !и А!!ег!шя нпб М!Ие!а!!ег, !874) пишет: .Та илеа, что как далеко ии зайти в ряду многоугольников, ио все же никогда нельзя достягвуть окружности, несмогря па то, что к ней можно приближаться все ближе и ближе и даже неограниченно близко, до такой степени сильно действует на нашу способность представления, что последняя готова.заполнить эту пропасть, расположенную, так сказать, межлу действительностью и идеалом, любою ценою и оказывается психологически вывуждеиной спелать— бесконечно малый нли бесконечно большой? — шаг и сказатгс круг есть многоугольник с бесконечным количеством бесконечно малых старык Однако древние не сделали этого шага, и все греческие геометры всегда остаяавливалнсь перед этой бездной бесконечного ..." 70 что все слагается пз неделимых" (Орете сошр1е(е, еб.

А!Ьеп', ХШ, стр. 51). Если кривая состоит из бесконечно многих прямых „элементов линии", то понятие касательной совершенно просто: касательная дает направление определенного элемента линии и представляет собою прямую, соединяющую две „последовательных" точки кривой. Тот же, кто отклоняет гипотезу Галилея, может определить касательную в точке кривой Р только как предел, к которому неограниченно приближается секущая РР', когда вторая подвижная точка кривой Р' стремится к точке Р. Очень поучительна дискуссия об этом между Иоганном Бернулли и Лейбницем. Лейбниц говорит (Майн ЯсЬг., изд.

ОегЬагб1, П1, стр. 536): „Действительно, если мы допустим, что в линии имеются реальные от- 1 1 1 резки, которые следует обозначить †, †, †,..., и что все члены этого ряда реально существуют, то вы иэ этого умозаключаете, что существует также и бесконечно малый член, по моему же мнению, из этого следует только то, что существуют любые конечные дроби какЬй угодно малости". Но Бернулли на это возражает (там же, стр. 563): „Если налицо име тся д е с я т ь членов, то необходимо существует д е с я т ы й член, если сто, то необходимо имеется сотый...

п таким образом, если число членов бесконечно велико, то существует бесконечный (1пЙп)(ез)ша1е) член". Однако предельный процесс одержал победу, ибо понятие предела есть совершенно необходимое понятие, значение которого не связано с вопросом о принятии или отказе от бесконечно малых. Но раз установив это понятие, лепсо увидеть, что благодаря нему бесконечно малое становится совершенно лишним. Анализ бесконечно малых, исходя из подчиненных известным элементарным законам отношений в области бесконечно малых величин, делает при ' помощи интегрирования выводы об отношениях, существующих в области величин конечных; так, например; из универсального закона тяготения двух обладающих сплошной массой „элементов объема" выводится величина притяжения протяженных тел любой формы, однородной или неоднородной массы.

Если же мы станем в анализе бесконечно малых рассматривать последние не как „потенциальные" величины, не с точки зрения процесса перехода к пределу, то процессы в области конечного и бесконечно малого становятся тогда совершенно чуждыми, независимыми друг от друга, и связующая их цепь оказывается расторгнутой. Взгляды Эвдокса в данном вопросе были несомненно правильными. Мне, впрочем, неизвестно, чтобы в Хтг)1! в.

когда-либо сумели занять по отношению к понятию бесконечно малого, остававшемуся полным расплывчатости и непостижимости („непостижимые загадки математики"— любимое выражение того времени), ясную позицию греков. Хотя и возможно построить последовательное „неархимедово" учение о величинах, в котором не имеет силы аксиома Эвдокса ') (большею частью называемая аксиомой Архимеда), но легко увидеть, что оно совершенно непри') Ср.,например, у Гильберта,Основания геометрии', гл. П, б 12. Примером бесконечно малых величин являются лпяпй соотас1щ (нэпр.,"угол межлу окруяо постыл и касательной в нему) по сравнению с углами, образуемыми прямыми ливяялш; пример этот служпл предметом спора еще межлу Лейбинцвм н Валлисом 7! годно для анзлиза.

Хотя Ньютон и Лейбниц довольно ясно выразили ту правильную идею, что в исчислении бесконечно малых речь идет только о предельном переходе к нулю, однако окончательно ясное понимание того, что выполнение перехода к пределу не только требует определения значения предела, но обязано также в первую очередь гарантнр о вать его существование, у них еще отсутствовало.

Характеристики

Список файлов книги