Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Поэтому Лейбниц еще совершенно неясно представляет себе суммирование бесконечных рядов. Теория пределов приобретает прочную почву под ногами лишь постепенно. В 1754 г. Даламбер в „Энциклопедии" решительно заявляет: „Ьа !Ьеог!е с!е !а 1нпйе ез1!а Ьазе бе 1а чгз!е шб!арйуз!ппе дп са1сп1 с1!!!степ!!е1. !! пе з'адй ро!и1, сопппе оп 1е ЙИ огс!!па!гошев!, с1ез с!пап1Ибз !пйпппеп! ре!Иез; И з'аКИ пп!г!пешеп! без !цпИез бе с(нап!!1ба !!и!ез'. (Основой истинной метафизики дифереициального исчисления является теория пределов. Речь идет вовсе не о бесконечно малых количествах, как это обыкновенно говорят, речь идет исключительно о пределах конечных коли Геств.) 'Только Коши в начале Х(Х в.
удается последовательное построение теории пределов. В частности Коши установил правильный критерий сх од им ости бесконечных рядов, т. е. условие, прн котором бесконечный процесс порождает в качестве предельного значения некоторое число. Однако доказательство этого критерия требует гакого определения понятия числа, какое позднее было дано в дедекипаовой теории сечений.
Третью попытку „спасти" непрерывное в смысле Платона мы встречаем в лице современного теоретико-множественного обоснования анализа. ЛнтзРАтуРА: 11 е и с К ! п Л, 8!с!Редей вяз !гга!1опа!е Лашеп, 1872. (Имеется русский перевод.) 8. Тв огня м и ожвств На первый взгляд может показаться, что вместе с введением перехода к пр делу застывшее бытие окончательно разрешается в становление и что вместе с тем математическим путем осуществляется принадлежащее еще Аристотелю учение о том, что бесконечное существует лишь йвтз!Ан (в возможности), лишь в возникновении и исчезновении, а не ачар7а!а.
Это ошибка! Какая-нибудь определенная сходящаяся последовательность, например последовательность частных сумм лейбницева ряда: 1 1 1 1 — — --+ — — — +" 1 '3 5 7 стремящаяся — вовсе не разворачивается как некий лишенный всякой закономсоности процесс, которочу мы должны слепо доверяться, чтобы узнать, что порождается этим процессом на каждой последующей его стадии; напротив, подобная последовательность устанавливается раз навсегда при помощи олределенного закона, соподчицяющсго каждому натурзльному числу соответствующее ему приближенное значение (п-ную частную сумму) Лчя распределения бесконечного множества рапиональпых чисел по трем классам П! (11), (ИЛ) дедекпндового сечения совсем !2 пе приходится выбирать одну дробь за другой и затем относить ее к соответствующему классу; нет, это распределение производится закономерно, поскольку устанавливается правило: все рациональные числа, обладающие такими-то и такими-то свойствами, принадлежат к классу 1 (достаточно определить класс 1, оба другие класса оказываются тогда тем самым тоже определенными).
3 а к о н или с в о й с т в о совершенно точно определяет наше вещественное число. Функция у(х) называется непрерывной при значении х=а, если т'(х) сходится к г(а), когда переменная к стремится к а. Как, однако, определяется это понятие сходи- мости? Определение гласит: „Для в с я к о г о положительного числа е существует положительное число 3, обладающее тем свойством, что при всех значениях вещественного числа х, удовлетворяющих условию а — й (х (а+ й, справедливо неравенство Г(а) — е(у(х) (у(а) + е".
Таким образом наша концепция остается попрежнему статической, характерным для нее является ничем не ограниченное применение терминов „все" и „существует" не только к натуральным числам, но также и к местам в континууме, т. е. к возможным последовательностям нли множествам натуральных чисел. В этом и заключается сущность теории множеств: она рассматривает в ка ~естве замкнутой совокупности существующих самих по себе предметов не 'только числовой ряд, но н совокупность сго подмножеств.
Поэтому она целиком базируется на почве актуально бесконечного. Достаточно встать на эту точку зрения, чтобы все грандиозное здание анализа приобрело несокрушимую крепость, оказываясь прочно заложенным и строго обоснованным во всех своих частях. Понятия анализа приобретают точность, а доказательства безупречную последовательность. Таким образом он получает фундамент, обеспечивающий безусловное единодушие всех работников этой области. Конечно, потребовалось большое математическое остроумие для того, чтобы доказать столь очевидные для интуиции наиболее общие свойства непрерывности, как, например, такое ее свойство, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения, что замкнутая плоская кривая бсз двойных точек делит плоскость на две области или что двухмерная область не может быть одно-однозначно и непрерывно отображена на трехмерную. На опыте занятий с нашими студентами мы всякий раз вновь убеясдаемся в том, сколь длительное обучение требуется для того, побы приобрести не .бходнмую длю понимания этих доказательств во всей их строгости беспредвзятость мышления.
С другой стороны, наряду с такими подтверждающими интуицию теоремами анализ открывает многие недоступные ей вещи: нигде не имеющие касательной пли же заполняюптне полностью. квадрат непрерывные кривые и т. п. Работа по установлению на основании указанных принципов всех ранее не обнаруженных предпосылок анализа выпала на долю ученых Х1Х д., начиная с Коши и Гаусса до Вейерштрасса. Теоретико-множественный метод воцарился не только в анализе, но н в самой начальной области математики, в учении о натуральных числах.
Ряд натуральных чисел является с этой точки зрения закон ~енным в себе множеством Е, внутри котор го определено некоторое отображе-. ние л — «и', однозначно сопрягающее со всяким элементом п множества другой э.смент и'. Тот факт, что 2 прн этом оказывается отображенным " 73 на нетождественное с ним подмножество его (что можно получить также, пользуясь отображениями и-ь2п н п-ч и'), показывает, что х. является бесконечным множеством.
В конечности же какого-нибудь множества мы можем буть уверены лишь после того, как будет доказана невозможность подобного рода отображения. Таким образом для теории множеств между конечным и бесконечным не сушесгвует никакой принципиальной грани; понятие бесконечного считается в ней лаже более простым. (Декарт также утверждал, что понятие бесконечного предшествует понятшо конечного. См.
письмо к Клерселье, Согг., Ч, стр. 356 и Третье размышление, й 28.) Еще Галилей отмечает, что если понимать бесконечное указанным образом, то аксиома Эвклида о величинах: хя! тб о)оч рероос ре!гьэ (целое больше части) для него не имеет силы (Изсогз1, Ореге, еб. А1Ьег1, Х!П, стр. 38); Лейбниц из этого делает тот вывод, что „если представлять себе количество или множество всех чисел как единое целое, то в нем содержится противоречие" (письмо к Бернулли; Ма!Ь, ЗсЬг., изд.
ОегЬагб1, П!, стр. 53). Для Больцано (Парадоксы бесконечного, 1851, й 20) в этом заключается один из „парадоксов бесконечного". Наконец, Дедекинд (%аз з!пб ппб жаз зойеп б!е ЕаЬ!еп? — Что такое числа и чем они должны бытьг 1887) возводит этот факт в ранг определения бесконечного. Назозеи вмес;е с Дедекиндом множество натуральных чисел К це п ыс а том случае, если оно обладает тем свойством, что если х есть элемент К, то и его отображение х' является элементом К. Тогда то обстоятельство, что любое заданное число можно получить из 1 путем перехода к ее отображению 1'=2, а потом прн помощи вторичного применения операции отображения переходя к 2' = 3 и т. д., это логически как будто неразложимое далее понятие „и так далее", со=тавляю.
щее самую сущность натурального числа, выразится следуюшим образом: всякая цепь, содержащая в качестве элемента единицу, тождественна с Я. Таким образом принцип полной 8ндукции может быть обоснован на трансфинитном применении понятий „все" и „сушествует"; при этом в теории множеств стирается демаркационная линия межту математикой и логикой. Исследования Дедекннда, Фреге, Ресселя как раз и имели целью полностью логизирозать математику.
Бели спросить, когда какое-нибудь натуральное число и будет меньше заданного числа пг, то теория множеств заменяет конечный специфически арифметический кригерий („когда перечисление чисел от 1 до т проходит через и прежде, чем достигает числа а') бесконечным критерием чисто логического характеры,если существует цепь, содержащая и, но не содержащая п".
Однако подобная замена становится возможной только тогда, когда мы поднимаемся на ту ступень применения термина „сушествует", на которой он применяется к множествам натуральных чисел. Только теперь возникает потребность в объективиров анин (Чег8е8епз!йпб!!с!шп8) м н о ж е с т в, а вместе с тем и свойств, которое в нашей обыкновенной речи производится странным образом с самого начала. Высказывание вроде такого: „роза красна' не подводится более под обладаюшую одним пустым местом х схему „х красно", но под гораздо более обшую схему „х обладает свойством Х", нз которой наше высказывание получается замещением х рова и Х = красный.
74 Слова „обладает свойством" обозначают определенное отношение е, которое может существовать между произвольным предметом х и произвольным. свойством Х. Лишь здесь впервые на сцену выступает связка е: она преобразует начальное двухместное суждение в трехместное х е Х.
(Нелепые смешения этой связки с существованием и равенством являются одним из самых печальных признаков зависимости философских спекуляций от случайных форм речи.) Теперь открывается возможность формального применения принципов 6 и 7 из й 1 также и к пустому месту Х. Таким' образом введение общего понятий множества требует двух существенно отличных друг от друга операций: первой из них является указанное объективирование, вторая состоит в соглашении считать два свойства Х, г' илн соответствующие им множества равными в том случае, если все элементы Л принадлежат также и Г и наоборот.
В случае совокупности, состоящей из отдельных заданных предметов, мы можем путем последовательных актов выбора составить и пересмотреть все возможные ее подмножества. Но в случае бесконечного множества подобная абсолютистская концепция существования в применении к подмножествам еще опаснее, чем в применении к элементам. Так как мы можем иметь дело только с такими подмножествами, которые определены закономерным образом на основании какого-либо характерного для их элементов свойст:а, то с трудом избавляешься от впечатления, что при этом выбрасывается за борт хаотическая масса возможностей, масса произвольных, „беспорядочных" „незакономерных" множеств. Но противоречивый характер этой неуловимой „совокупности всех возможных свойств натуральных чисел" можно выразить еще более точно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
