Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Допустим, что нам удалось каким-либо образом выделить некото. рую „о б ъ е и н о о п р ед ел е н и у ю" совокупность подобных свойств натуральных чисел (которые я назову свойствами 1-го типа), так что мы всегда можем быть убеждены, что ответ на вопрос „существует лн свойство1-го типа такого-то и такого точно указанного рода 2)?" заключается в некотором определенном объективно данном обстоянни (ЗасйхегйаИ). Тогда мы можеч говорить о свойстве Ез1, присущем числу х в том и только в том случае, если существует такое свойство 1-го типа и рода Й, которое присуще х.

Но очевидно, что это свойство Ей согласно своему значению лежит нне круга свойства 1-го типа, оно принадлежит к более высокому 2-му типу свойств, пбо оно впервые определяется на основании всей совокупности свойств 1-го типа. „Ыо 1о1аИу сап соп1а1п гпешЬетз дейпед ш )егшз о1 Изе)1' (ни одно целое не может содержать элементов, определенных в терминах этого целого — Рессель).

Подобным же образом на основании свойств 2-го ти ~а конструируются свойства 3-го типа и т. д. В соответствии с этим приходится такжеразличать множества натуральных чисел, а значит и вещ.ственные числа 1-го, 2-го, З-го,... типов. Так, например, мы встречаемся с построением свойства Ей в анализе при определении верхней границы какого-либо лежащего напрямой точечного множества. Осущестзтяемое при абсолютистской концепции существования стирание ~раней между этими различными типами (указанными впервые Ресселем в его теории типов) представляе~ собою неоспоримый порочный круг. 7З Избежать этой дилеммы мы могли бы толы<о в том случае, если бы каждое свойство 2-го типа совпадало, если не по содержанию, то по объему с каким-либо свойством 1-го типа.

Поскольку мы считаем ряд натуральных чисел объемноопределенной совокупностью, можно было бы в качестве свойств 1-го типа принять, например, те, которые возникают из основного отношения „и следует за гп" в области натуральных чисел при помощи принципов определения, приведенных в ч 1. Но и в этом случае наиежеланиеедвали оказалось бы удовлетворенным. Возникла бы задача так расширить принципы п о с т р о е н и я свойств 1-го типз, чтобы каждое множество 2-го типа безусловно совпадало с каким-либо множеством 1-го типа.

Между тем не существует нн малейших указаний на то, что это могло бы удасться. Чтобы выпутаться из этого положения, Рессель заставляет разум совершить над собой харакири, постулируя эту совершенно не поддающуюся доказательству теорему в качестве аксиомы сзодимости, ах!ош о1 генис! т!!!!у.

Сам я в появившемся в 1918 г. сочинении „Континуум" добросовестно вывел все вытекающие отсюда последствия и построил такое поле вещественных чисел 1-го типа, в пределах которого можно выполнять все важнейшие операции анализа. Несмотря на свой противоречивый характер, идея абсолютного существования до снх пор не привела еще з области натуральных чисел н числовых множеств ни к какому противоречию. Но Г.

Кантор сбросил все путы, начав совершенно свободно оперировать с понятием множества н в частности допустив, что для каждого множества может быть образовано множество его подмножеств. Он развил общую теорию коли чествснных и порядковых чисел бесконечных множеств. И лишь здесь, на крайзик границах теории множеств, натолкнулись на действительные противоречия. Причиной их может быть только та смелость, с которой математика с-сад<ого начала рассматривает поле конструктивных возможностей как замкнутую совокупность существующих самих по себе предметов (срг мою статью: „Современное состояние проблемы познания в математике").

ЛитвРАтуРА: В о ! г а и о, Рагас)ох!еп с)ез 1)пенс!1!с)геп, 1851. (Имеется русский перевод,) 17 е с! ек ! й<1, 1Чаз Мпб па<7 жаа ао11еп с!!е 2ай!епу Ггс яе, Ошпо1айеп <)ег Ма!Кеша!!К, !884. й з к а е11, Е!пйзйгппй !и Ше ша11сешайаспе РГВ!оаар!пе, 1923. % е у 1, !Таз Копйппшп, 1918. Р'гав !се!, Е!п1ейппй !и <7!е Мепяеп!епге, 3-е изд. Н а и а 8 о г ! 1, Оган<!Тайе с!ег Мепйеп1е)гге. 9. Интуитг!ВКАя МАтвыАтикА Первым это отчетливо осознал Л.

Э. Броуер (с 1907 г.). Он развил таку<о концепцию математики, которая отнюдь не совершает того прыжка в потустороннее, о котором мы говорили в конце 9 6. Экзистенциальное суждение, как, например, „существует четное число", вообще не является суждением в собственном смысле этого слова, устанавливающим некоторое фактическое обстояние. Очевидно, что та „бесконечная логическая сумма", какою является это предложение (1 четна, или 2 четно, нли 3 четно, или...

!и гпй), неосуществима. !!редломсение,2 — четное число" — зот это настоящее, выражающее определенное фактическое об- тояние суждение (поскольку свойство быть „четным" определено рекурсивным путем, как на стр. 61), предложение же „существует четное число" является лишь вытекающей из этого суждения абстракцией с у >кде ни я (1)г1ейзаЬз1гай!). Если представить себе познание как драгоценное сокровище, то абстракция суждения — это всего-навсего лист бумаги, указывающий на наличие этого сокровища, но не дающий нам сведений относительно того, в каком месте оно обретается. Единственная ценность этого листа бумаги может состоять только в том, что он побуждает меня заняться поисками сокровйща.

Бумага эта лишена всякой цены, пока я не реализую какое-нибудь прикрытое ею действительное суждение, как, например, „2 — четное число". Там, где речь идет только о в о з м о яг н о с т и построения, нет никакого обладающего содержанием суждения; экзистенциальное суждение приобретает значение только в том случае, когда построение уже осуществлено ца деле, доказ а т е л ь с т в о п р о в е д е н о.

В многочисленных математических теоремах о существовании главную ценность представляет собой не сама теорема, а используемое при ее доказательстве построение, без которого теорема оказывается лишенной какой бы то ни было ценности тенью. На поставленный в 9 3 вопрос о том, как можно что-либо вывести из какой-либо теоремы о существовании, здесь мы ответим: никас; потому что раз она ничего не выражает, то из нее ничего нельзя и вывести. На место теоремы о существовании всегда следует ставить то обладающее определенным содержанием целое, из которого она получается в качестве „абстракции суждения". Однако каким же образом мы получаем с другой с>ороны общие теоремы о на>уральных числаху Мы это поясним на возможно простом примере.

Определим при помощи полной индукции теорегико-чнсловую функцию ч>(и) следу.ощего рода: а) ср (1) = 1, р) ср (и') = [л (и))'. В р) мы имеем некоторое обладающее всеобщим значением утвер>кдецне, которое в соединении с а и прн помощи полной' индукции позволяет заключить, что вообще р (и) = и. Следовательно, само о п р е д еление является основой всеобщности, исходя из которой дальше идут, пользуясь полной индукцией. Служащий для определения и вывода принцип полной индукции, приведенный не в виде формулы, а последовательно применяемый !и сопсге!о, представляет собой собственную и ед>шственную силу математики, математическую праинтуицию, В этом пункте Броуер согласен с А. Пуанкаре („ Наука и гипотеза").

Отрицание какого-нибудь общего суждения о числах было бы некоторой теоремой о существовании, но так как последнее ничего не выражает, то общие суждения не могут быть отрицаемы. Точно так же общее суждение не указывает на какое-нибудь определенное само по ссбе существующее объективно обстояние,оно мыслится не как логическое произведение бесконечно многих единичных суждений, а как суждение гипотетическое, и оно дает нам определенное суждение' лишь в примененви к единичному, определенному заданному числу. Здесь не остается места для принципа !ег!!цш поп ба!цг, третьего не дано: либо все числа облада>от свойством >Д либо же существует некоторое число со свойством >11.

Согласно Броуеру (ЛайгезЬег. Оец!сй. шайи Чсгсйь, 28, 1920, стр. 204), вера в этот прин- 77 цип „исторически была обусловлена тем, что первоначально классическую логику абстрагировали из математики подмножеств определенного (читай: заданного путем указания его элементов) конечного множества, затем приписали этой логике независимое от математики существование а, рг!ог!, н наконец, на основании этой мнимой априорности применили ее неправомерным образом к математике бесконечных множеств". В системе анализа, созданной Броуером, отдельное место в контин уу м е, определенное вещественное число, определяется уже не при помощи множества, а при помощи последовательности натуральных чисел, т. е.

посредством закона, ставящего в соответствие каж дому натуральному числу и другое натуральное число о (и). (Равноценность обоих видов определения утрачивается, лишь только перестают рассматривать натуралыгые числа как некоторую объеаноопределенную совокупность.) Каким же образом возникают предложения, относящиеся не просто ко всем натуральным числам, но ко всем вещественным чи.лам илн же всем значениям какой-нибудь вещественной переменной? Броуер показывает, что во многих случаях в современном анализе предложения этого рода при правильной их интерпретации относятся только к совокупности всех натуральных чисел. С другой стороны, изменяется понятие последовательности: под этим словом следует понимать теперь не определяемую на основании какого-либо закона последовательность, а последовательность, возню ающую шаг за шагом, в результате актов свободного выбора, т.

е. последовательность, которую можно рассматривать только как с т а н о в я щ у ю с я. Становящаяся последовательность определяет собой континуум или п е р е м е н н у ю величину, наоборот, госледовательность, определяемая вплоть до бесконечности прп помощи какого-либо закона, определяет собой отдельное, заключающееся в континууме вешеетвенноз ч и с л о. Континуум теперь вовсе не является, выра>каясь словами Лейбница, агрегатом твердых элементов, а оказывается средой свободного становления. Разумеется, в случае свободно становящейся последовательности имеет смысл говорить лишь о таких ее свойствах, относительно которых уже имеется утвердительный или отрицательный ответ (на вопрос о том, присуще ли свойство последовательности или нет), когда дойдешь до определенного пункта этой последовательности, причем дальнейшее развертывание этой последовательности, как бы оно не проходило, уже не в состоянии изменить нашего ответа. В полном согласии с интуицией Броуер усматривает сущность непрерывного не в отношении элемента ко множеству, а в отношении ч а с ти к цел о му.

Характеристики

Список файлов книги