Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Но независимо от того, какое значение приписывать подобному сведению математического мышления к идее двуединства, независимо от этого, с точки зрения интуиционизма именно полная индукция охраняет математилу от опасности превратиться в чудовишную тавтологию н придает ее положениям синтетический, не аналитический характер. Метод полной индукции действительно является основной и пронизывающей всю математику чертой ее. Если 'на первый взгляд может показаться, что он не играет никакой роли в элементарной геометрии, и в особенности л проективной геометрии, то это объясняется лишь тем, что в них термины .сушествует" и „все" применяются к точкам самым наивным образом.
С интуиционистской точки зрения это недопустимо: поле геометрических построений представляет собою континуум и потому может быть подвергнуто строгой математической разработке лишь после того, как оно 'будет покрыто, как это было описано выше, сетью деления. В концепции формализма место полной индукции занимается группой трансфинитных аксиом, накладывающей свой отпечаток на всю математику. Математика состоит здесь вовсе не нз очевидных истин, но представляет собою смелое теоретическое построение, т.
е. полную противоположность аналитической самоочевидности. С другой стороны, обладающие содержанием рассуждения математики, имеющие своею целью дать доказательство непротиворечивости, оперируют в ходе доказательства финитными умозаключениями от л к и+1 и имеют дело с „внелогическими конкретными объектами, которые можно полностью обозреть во всех их частях; и их указание, различение, следование друг за другом или расположение друг рядом с другом дается нам вместе с объектами непосредственно в интуиции, как нечто, ни к чему другому не сводимое и в сведении не нуждающееся" (Гильберт). Поэтому Гильберт соглашается с Кантом, который, впрочем, в области алгебры тоже считал существенным моментом символическое построение из данных в интуиции знаков (Кпйй бег ге1пеп Чегпцп(1, 2.
Ацй., стр. 745), в том, „что математика обладает прочным и не зависяшим от логики содержанием и поэтому никогда не может быть обоснована при помоши одной лишь логики" (ОЬег баз ()пепбИсйе, стр. 171). Впрочем, не следует забывать, что, согласно кантонскому употреблению слов „аналитический" и „синтетический", аналитическим должно называться по крайней иере отдельное определенное равенство вроде 3+2=5.
Действительно, как показал Лейбниц, оно логически вытекает из определений 3+1=4, 4+1=5, (а+1)+1=а+2 и таким образом „содержится в понятиях' чисел 3, 5 и действия +2. Какой смысл в.противном случае связывал с этими символами Кант? Математика, несомненно, а н р и о р н а, она вовсе не основывается— как в этом хотел нас уверить Дж. Ст. Милль — на опыте, в том смысле, что только повторные испытания над числовыми примерами обеспечивают все ббльшую и большую достоверность арифметической теоремы, гласящей, что для произвольных натуральных чисел нг+п=л+и. Замечательной особенностью всей математики, столь затрудняющей доступ к ней профанам, является щедрое употребление в ней символов.
С интуиционистской точки зрения это отнюдь не существенный признак математики; интуиционист видит в символах как и в человеческой речи, только вспомогательное средство, служащее благодаря процессу фиксации опороЯ нашей памяти и позволяющее передавать мысли другим. Иначе обстоит дело в систеие формализма. Для него математика целиком и полностью состоит из символов, не имеющих никакого раскрывающегося в чувственной или духовной интуиции значения, символов, с которыми оперируют согласно твердо установленным правилам; человеческая же речь, например, при описании замещения и практического правила умозаключения и в математических рассуждениях, служит для 1принципнально говоря, всегда остающегося ненадежным, объяснения, именно для) сообщения о способах действия и обладающих значением духовных актов мышления.
А. Шпайзер (К1азз!асье 81йске бег Ма1неша1й, 1925, стр. 48) пишет: „При помощи геометрических фигур, а позднее — математических формул, математика избавилась от употребления языка, и тем, кто знает проделанную здесь огромную работу и все новые успехи, достигаемые в этом процессе, тем представляется, что в настоящее время математика в отведенном ей участке духовного мира является более дееспособной, чем, например, музыка или же находящиеся в столь плачевном состоянии новые языки на их фронтах". В своем трансцендентальном учении о методе (Д часть „Критики чистого разума") Кант усматривает сущность математики в п о с т р о енин: „Философское познание — это рассудочное познание из понятий, математическое же познание — это познание из построения понятий". На примере теоремы о сумме углов треугольника он показывает, что геометрические теоремы открываются не путем расчленения понятиЯ, а при помощи построения соответствующим образом подобранных вспомогательных точек и линий.
В настоящее время нас уже не может более, удовлетворить рассмотрение Кантом конструктивного метода в его подробностях. Но одно, во всяком случае, справедливо,— именно, что при доказательстве математической теоремы почти всегда приходится выходить далеко за пределы непосредственного содержания теоремы. Причину этого факта следует искать в том обстоятельстве, что осуществляемое по правилу силлогизма доказательство вовсе не представляет собою— 39 как это уиге подчеркивалось выше — некоторое однообразно продолжающееся в одном направлении построение, а является непрерывной сменой построения и разрушения, в противоположность формуле, построение которой производится всегда в одном направлении и в случае которой поэтому все составные части построения сохраняются и в готовом результате.
Указанное обстоятельство вместе с перечисленными в й 6 (на стр. 64 — 65) 1-м, 2-м н 3-и пунктами, на мой взгляд, довольно удовлетворительно характеризует построение в противоположность чистому рассмотрению. Те стадии, которые были за последяее время пройдены в исследовании основ математикщ соответствуют трем основным возможным теоретико-познавательным установкам. Теоретико-множественное обоснование представляет собою стадию н а и в н о г о р е ализма, не осознающего содеянного им перехода от данного к трансцендентному. Броуер является представителем и д е а л и з м а, поскольку он требует сведения всего истинного к интуитивно данному. Наконец, в системе аксиоматического формализма сознание пытается „перескочить через свою собственную тень", оставить позади себя материю непосредственного данного, представить трансцендентное, но, само собою разумеется, только в, с и м в о л и ч е с к о м в и д е.
Западная философия со времен Декарта принципиально стояла на идеалистической точке зрения в теории познания, но она все время пыталась найти в метафизике доступ в царство абсоьчотного и даже за Кантом, стремившимся закрыть раз навсегда доступ к нему, последовали еще Фихте, Шеллинг, Гегель. Нельзя отрицать того, что в нас жива совершенно непонятная с точки зрения чистого феноменализма теоретическая потребность, толкающая нас на поиски целокупного. Как раз в области математики это проявляется с особенной отчетливостью.
Но именно на примере математики мы также видим, что удовлетворить эту потребность можно лишь при том условии, что мы согласимся довольствоваться символом и откажемся от того ошибочного мистического представления, будто трансцендентное когда-либо сможет попасть в сферу действия нашей созерцающей ин« туицпи. До сих пор только в области математики и физики теоретическое построение приобрело такую прочность, что является обязательным для всякого человека, перед которым раскрывается дух этих наук. Преимущественно на этом факте и покоится их философское значение. Если пожелать в заключение резюмировать сущность математики в немногих словах, то можно сказать, что математика — это н ау к а о б е с к о не ч н о м. Великим достижением греков было преобразование полярной противоположности конечного и бесконечного в плодотворное орудие познания действительности.
Мы здесь пытались показать, какое значение эта полярность и стремление к ее преодолению имели и имеют в истории теоретического познания. „Ни одна проблема не волновала так глубоко человеческую душу, как проблема бесконечного, ни одна идея не оказала столь сильного и плодотворного влияния иа разум, как идея бесконечного,но, с другой стороны, ни одно понятие не нуждается такв выяснении, как понятие бесконечного" (Гильберт, 06ег даз \3пепбИспе). Тех, кто желает ознакомиться с кратким обзором различных на- 90 правлений н проблем математической мысли, я отсылаю к статье А. Фосса (А. Нова, ()Ьег г(ав пга!Ьепта!!всЬе Егйепп!п!а) в „Кп1!нг г(ег Сгедепнгаг!", (ч.
1!1, равд. 1, 1914). ЛИТИРАТУРА: К а п 1, Кг!!Вг бег ге!пеп Непюпй. (Имеется русский перевод). Основательный разбор философии математики Канта см. у Со н ! и га 1, )(еу. бе МЕЬ е! г(е Мота!е, Ма! 1904. А. Нова, ОЬег дав 'вНевеп бег Ма!Ьеюа!!й, 2-е изд., 1913. (Имеетсн русский перевод). )(паве!1, Е!и!ПЬгппй !п гйе гпа!Ь. РЫ1оворМе. Н. Р о ! п с а ге, Ьа вс!енсе е! !'Ьуро!леве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
