Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Но оно заимствовало у изтунтизнзго представления о континууме убеждение в „сущее~вавакин в себе" всех вещественных чисел, не замечая благодаря эгону, чго возможности извлеь из континуума отдельные вещественные числа н образуют воясе объ мноопределенной совокупности. Поэтому оно и было какой-то „качельной теорией", колебавш йся между (ложно понимаемой) интуицией и логнчески-арзфяетической конструкцией. Изложенная же мной здесь теория исходит решительно и без каких-либо компромиссов из логически-арифиетической конструкции, проводя строго последовательно .атоиистическую концепцию континуума.

Если понимать под „эвклидовым числом" такое число, которое может быть получено из 1 комбинированным применением четырех действий арифметики и еще пятого действия извлечения квадратного корня из уже полученных положительных чисет, то такая объеиноопределенная система эвклидовых чисел достаточна, по одному, сделанному мимоходом, замечанию Дедекинда, чтобы в рамках ее провести все построения эвклидовой геометрии.

Поэгому, занимаясь эвклидозой геометрией, можно ограничиться системой точек, координатаия которых служат эвклидовы числа; „жижяца" континуума, разлитая. между этики числами, вовсе не входит здесь в рассмотрение„ наша система представляет собой вполне определенную и ограниченную область построений, за пределы которой не вы- йй водит ни одна операция евклидовой геометрии. Нам удалось, поло;кив в основу вместо четырех арифметических действий и операции извлечения квадратного корня немногочисленные логические конструктивные принципы, построить объемноопределенную числовую систему, в рамках которой можно неограниченно проводить не только конструкции эвклндовой геометрии, но и гораздо более общие конструкции анализа (если только они не носят отпечатка порочного круга).

В частности, в этой „вейлевой числовой системе" сохраняет силу как принцип сходимости Коши, так и теорема, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения,— разумеется, для таких функций и числовых последовательностей, которые сами образованы прн помощи наших конструктивных принципов. Если в дальнейшем я и буду вынужден отказаться от собственной сво й теории, то мпе будет, надеюсь, дозволено энергично. подчеркнуть эту ее заслугу. Я никогда не воображал себе, что данный нам в интуиции континуум есть вейлева числовая система, я просто думал, что анализ для своих построений нуждается только в подобной системе и что ему вовсе нет деЛа до разлитого между числами этой системы континуума.

Использованные при этом логические конструктивные принципы вовсе не придуманы искусственно, во всяком случае они носят гораздо более естественный характер, чем пять действий, с помощью которых строится система эвклидовых чисел. Зги принципы служат не ~олько дла построения вещественных чисел, но и для построения точечных множеств и функций вещественных переменных. Здесь следует также в целях общности заменить алгебраически-аналитическне операции (никогда точно не сформулированные и постоянно находящиеся в процессе развития), с помо7цью которых аналисты ХЧП и ХЧ11! вв. конструировали свои-функции, чисто логическими функциями. При этом, однако, если желать сохранить смысл у общих и экзистенциальных суждений о функциях и множествах, приходится ограничиться только кругом тех функций и множеств, которые получаются при помощи наших конструктивных принципов, не придавая понятию той объемнонеопределенной всеобщности, которая ныне так общеупотребительна.

Некоторые с л е д с т в и я, вытекающие из нашего учения, были намечены уже выше. Мы упомянули, что сохраняют свою силу принцип сходимостн Коши для числовых последовательностей, а также основные теоремы о непрерывных функциях. Но зато приходится отказаться от теоремы, что ограниченное точечное множество всегда имеет точный верхний предел, и нечего и думать о том, чтобы каким-либо образом спасти этот,прин. цип Дирихле". Как обстоит дело с и с числим остью континуума? Антиномия Ришара оказывается здесь истинной в следующем смысле: очевидно, можно так регулировать применение логических конструктивных принципов, что в упорядоченном процессе возникновения дефинитные свойства и отношения появляются в определенной последовательности; при этом мы уверены, что всякое подобное отношение будет порождено в определенном месте процесса.

Благодаря этому в частности располагается упорядоченным образом в исчислнмый ряд и система „вещественных чисел" (в нашем смысле). Но в другом смысле — который, очевидно„одни только имеет значение для в~атематики — сохраняет силу утверждение Кантора, что континуум ч 99 неисчислим, а также следующее положение: не существует дефинитного построяемого с помощью наших конструктивных принципов отношения Д(х, и) между каким-нибудь произвольным рациональным числом х и каким-нибудь произвольным натуральным числом и такого рода, что каждому дефинитному свойству рациональных чисел Ь(х), определяющему некоторое вещественное число (обладающее свойством сечения), соответствует некоторое натуральное число п, для которого свойства )с( „а) и Е( ° ) равнообъемны.

Этого предложения вполне достаточно, чтобы вывести из него вслед за Кантором все важные для математики следствия, например существование трансцендентных чисел. Но если понимать исчислимость в этом смысле, то не имеется, само собой разумеется, ни малейшего основания полагать, что во всяком бесконечном множестве должно содержаться нсчнслимое подмножество; отсутствие пробелов в ряду алефов не обеспечено уже цри переходе от конечных кардинальных чисел к алеф-нулю. Наконец, сделаем еще одно замечание об обосновании геометрии.

Так как точки — поскольку понятие вещественного числа сохраняется в его объемнонеопределенной всеобщности — не образуют определенной в себе и ограниченной совокупности, то бессмысленно строить на основе такой категории предметов систему геометрии так, как мы здесь в общих чертах пытались построить анализ на основе понятия натурального числа. Наоборот, чтобы получить объемноопределвчную систему точек мы вынуждены обратиться к логически-арифметической конструкции. Поэтому нельзя в геометрию ввести непрерывность при помощи какой-нибудь „аксиомы дедекиндова сечения" нли чего-либо подобного, геометрия непрерывности не может быть создана как самостоятельная аксиоматическая наука. Здесь нужно итти аналитическим путем: нужно перевести уже готовый анализ на язык геометрии с помощью переводного словаря, каким является понятие координат.

В. КОНТИНУУМ КАК СРЕЛА СВОБОЛНОГО СТАНОВЛЕНИЯ 1. О он овныя идви Мы снова вернемся к основоначалам, но на этот раз будем исходить из несколько иного представления о вещественном числе, лучше выражающего его сущность. Если некоторое вещественное число а известно до Ь-того десятичного знака с ошибкой, меньшей чем -+-1 Ь-того знака, то тем самым число а оказывается расположенным внутри интервала, лг — 1 лт+1 простирающегося от числа — до числа — —, где ла есть опре- 10» ' 10» деленное целое число.

Если мы заменим ради математической простоты десятичные дроби дообями двоичными, то в основу определения веще ственных чисел мы положим „двоичные интервалы" вида в которых пт и Ь суть любые целые числа. В частности, написанный здссь интервал есть интервал,Ь-той ступени".

двоичные шггервалы Ь-той 1ПО ступени пересекаются друг с другом; мы должны использовать именно эти взаимно перекрывающиеся интервалы, а не те, на которые разбнгп вается числовая прямая точками вида —,а-, с той целью, чтобы, когда вещественное число задано нам с определенной (зависящей от Ь) точностью, был задан определенно и один из интервалов й-той ступени, в котором заключается с необходимостью наше число. Поэтому понятие вещественного числа, как некоторого з а д а н н о г о, х о т я т о л ь к о и приближенно, числа, для которого, однако, степень приближения может быть сделана сколь угодно большой, можно формулировать следующим образом: вещественное число есть бесконечная последовательность двоичных интервалов 1,1', 1",...

такого рода, что каждый интервал этой последовательности содержит ближайший последующий интервал целиком внутри себя. Так как каждый из двоичных интервалов может быть характеризован двумя целочисленными знаками (пт и й в приведенном выше обозначении) и так как факт содержания одного интервала в другом выражается простым отношением между этими их знаками, то рассмотрение вместо последовательностей содержащихся одни в других двоичных интервалов, не подчиненных никаким ограничениям последовательностей натуральных чисел, явится весьма несущественным упрощением наших раесуждений. Трудность заключается в понятии последовательности.

Положения н доказательства современного анализа становятся сколько-нибудь понятнычи только в том случае, если считать, что в.основании его лежит следующая точка зрения: последовательность получается таким образом, что отдельные числа выбираются произвольно по очереди, результат этих бесконечно многих актов выбора предлежит готовым, и относительно такой готовой бесконечной последовательности я могу, например, задать вопрос встречается ли между ее числами число 11 Но такая точка зрения бессмысленна и несостоятельна, ибо в сущности бесконечного заключается его неисчерпаемость. Какая-либо определенная (определенная до бесконечности) последовательность может быть дефиниторно дана только законом. Если же, напротив, последовательность возникает постепенно, посредством свободных актов выбора, то ее следует рассматривать, как становящуюся, а становящейся свободной последовательности (%аЬИо!де) можно разумным образом приписывать только такие свойства, для которых дизъюнкция „да или нет" (црисуще ли данное свойство последовательности или нет) разрешается на каком-нибудь определенном, достигнутом нами, месте последовательности, разрешается при этом так, что, как бы ни происходило дальнейшее развертывание последовательности, за пределами этого пункта ее становления оно не меняет уже результата дпзыонкцни.

Так, например, мы можем с полным правом спрашивать относительно какой-нибудь свободной последовательности, встречается ли в ней на четвертом месте число 1 или нет, но нельзя спрашивать, встречается ли в ней вообще число 1. Первой основополагающей идеей Броуера является мысль, что становящаяся посредством свободных актов выбора числовая последовательность есть возможный объект математического образования понятий. Подобно тому, как закон э, определяющий до бесконечности некоторую последовательность, представляет отдельное веще- 101 ствснное ч исло, так не ограничиваемая никаким законом в свободе своего развертывания свободная последовательность представляет континуум. с1то над свободными последовательностями можно проделывать математические операции, доказывается вполне уже одним тем, что между такими последовательностями можно устанавливать сопряжения.

Характеристики

Список файлов книги