Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Мы теперь должны подойти вплотную к этому коренному вопросу. Пусть для каждого числа й можно решить, присуще ли ему свойство 6 или нет. Пусть утвермсдение, что „Ь обладает свойством 6", обозначает, аа+ г например,что 2а +1 есть простое число, а наличие свойства 6 пусть л+ ф обозначает обратное (т. е. что 2" +1 есть число составное).

Теперь разберемся в следующем. Мнение, будто твердо определено, обладает ли' какое-нибудь число свойством 6 или нет, опирается только на следующее представление. Числа 1, 2, 3,... могут быть по очереди, одно за другим испытаны в отношении свойства 6. Если мы встретим при этом число, обладающее свойством 6, то дальнейший просмотр ряда можно прекратить. Ответ в этом случае гласит: да. Если же подобного перерыва не наступает, т.

е. если после законченного пересмотра бесконечного числового ряда не было найдено ни одного числа рода 6, то ответ гласит: нет. Но мысль о таком законченном пересмотре членов бесконечного ряда бессмысленна. Не исследование отдельных чисел, а только исследование сущности числа может доставить мне общие суждения о числах. Только действительно имевшее место нахождение определенного числа, обладающего свойством 6, может дать мне право на ответ: да, и — так как я не могу перебрать все числа— только усмотрение того, что обладание свойством 6 лежит в существе числа, дает мне право на ответ: нет. Сам бог не имеет иных оснований для решения этого вопроса. Но обе эти возможности уже не противостоят друг другу как утверждение и отрицание— ни отрицание одной, ни отрицание другой не имеет реального смысла.

Если это говорит в пользу Броуера, то следующее соображение снова все-таки возвращает меня к моей прежней точке зрения: если я пробегаю ряд и прекращаю его просмотр, как только нахожу число, обладающее свойством 6, то это прекращение либо наступит, либо нв наступит, это так, либо же это не так, без всякого колебания н сомнения и без какой-либо третьей возможности. К этим вещам нужно подходить не извне, но путем внутренних усилий с целью „узрения" их внутренней очевидности. В конце концов я нашел для себя спасительное слово. Экзистенциальное суждение — вроде: „существует четное число" — не есть вообще суждение в собственном смысле слова, устанавливающее некоторое обстоянне; экзистенциальные обстояния суть пустая выдумка логиков.

„2 — число четное'— зот это действительное, выражающее определенное обстояние суждение, фраза же,существует четкое число' есть лишь полученная из этого суждения абстракция суждения (()г(йе!1заЬз!гак1). Если я представлю себе познание как драгоценное сокровище, то абстракция суждения будет представлять собой лишь лист бумаги, указывающий на налячие этого сокровища, но не дающий сведений, в каком месте оно обретается. Единственная ценность этого листа бумаги может состоять только в том, что он побуждает меня искать сокровище. Бумага эта лишена всякой цены, пока я не реализую какое-нибудь прикрытое ею действительное суждение, как, например:,2 есть число четное". Действительно, мы говорили выше, когда речь шла о числовых последовательностях и об определяющих их до бесконечности законах: если нам удалось построить закон со свойством 6, то мы вправе утверждать, что существуют законы вида 6; право утверждать это нам может дать только уже удавшееся построение; о воэможности построения нет и речи.

Но что же это за суждение, которое, взятое само по себе, лишено всякого смысла, и получает смысл лишь на основании проведенного доказательства, только и гарантирующего истинность суждения7 Это вовсе не суждение, это абстракция суждения. Эти замечания, кажется мне, ясно определяют характер его, уясняя вместе с тем собственное значение понятия существования. Теперь мы уже не можем противопоставлять броуеровскому отрицанию закона исключенного третьего тех идей, ва которые я цеплялся еще раньше, именно, что дело обстоит либо так, либо не так (хотя бы я и не был в'состояниии решить, как именно обстоит дело)! Точно так же общее высказывание, каждое число обладает свойством 6" (например „для каждого числа «г мы имеем «а+ 1 =1+за') не является вовсе действительным суждением, а только общим указанием на суждение. Если я имею дело с каким-либо отдельным числом, например с числом 17, то ив этого указания на суждение я могу вывести действительное суждение, именно, 17+1=1+17.

Или же, пользуясь другим образом: если сравнить познание с плодом, а акт познания со вкушением плода, то общее суждение должно уподобить твердой оболочке, полной плодов. Конечно, эта оболочка имеет цену, но не сама по себе, а только ради содержащихся в ней плодов; она бесполевна для меня до тех пор, пока я не разломаю ее, не выну самого плода и не вкушу его. Изложенная концепция обрисовывает то значение, которым обладают для нас в действительности общие и экзистенциальные суждения.

С ее точки зрения математика представляется колоссальным богатством в бумажной валюте. Действительную ценность, подобную ценности жизненных припасов в народном хозяйстве, имеет для нас непосредственное, сингулярное, всеобщее, и все экзистенциальные суждения ценны для нас только посредственным образом, И, однако, мы, математики, думаем совсем редко о Реализации этого „бумажного богатства" ! 1Хенна не экзистенциальная теорема, а проводимое в доказательстве построение. Математика, как говорит мимоходом Броуер, есть более деяние (Тнп), чем учение. Пока мы не примем наложенной в последнем абзаце точки зрения, 106 обе очерченные мной попытки обоснования анализа равновозможны, хотя броуеровская теория и обладает с самого начала тем преимуществом, что она не сковывает образования понятий и более адэкватна интуитивной сущности континуума.

Но как только мы станем на эту точку зрения — которая, думаю я, впервые придает совершенно ясный смысл выражениям, существует' и,каждый" — тотчас становится решительно невозможной первая концепция; ограничение понятия закона одним кругом х-законов нам теперь уже не помогает, теперь на вопрос о,возможности" нельзя уже дать утвердительного или отрицательного ответа как в том случае, когда вопрос этот ставится относительно сколь угодно часто повторяющегося применения конструктивных принципов, так и тогда, когда он относится к бесконечному числовому ряду, т. е.

к сколь угодно часто повторяющемуся процессу .порехода от одного числа к ближайшему, следующему за ним. Поэтому я теперь отказываюсь от своей прежней попытки и присоединяюсь к Броуеру. Прн угрожающем развале анализа, который, хотя и признается пока немногнмн, все же подготовляется, я пытался найти твердую почву под нбгами, не покидая идей, на которых покоится анализ, и честно и последовательно проводя его основной принцип, и я думаю, что мне это удалось, поскольку это вообще могло удасться. Ибо почва эта, как я теперь в этом убедился, ш атк а я, а Броуер — это революция! Я все же еще раз изложил здесь основные идеи своей теории, потому что в своем контрасте броуеровским взглядам они придают самую четкую форму древней антитезе между атомистической и непрерывностной концепциями и потому еще, что иа примере этой противоположности становится особенно ясным, в чем собственно „заковыка" и что нужно сделать.

Было бы в высшей степени странно, если бы старый спор разрешился тем, что оказалось бы.возмоншым проводить как атомистическую, так и непрерывностную концепцию; в действительности вместо этого окончательно восторжествовала последняя. Броуеру мы обязаны новым решением проблемы континуума, проблемы, провизорное решение которой, данное Галилеем и основателями дифереициальиого и интегрального исчисления, было изнутри взор. вано ходом исторического развития. Конечно, я не уверен, имею ли ч право назвать вторую из развиваемых в этой статье теорий броуеровской,— об этом я поговорю подробнее позже.

Но основные моменты— становящаяся свободная последовательность и отрицание аксиомы исключенного третьего — во всяком случае принадлежат Броуеру.- Наше учение об общих и экзистенциальных суждениях не носит вовсе расплывчато-неопределенного характера, это ясно хотя бы потому, что из него тотчас же вытекают важные, строго логические выводы. И в первую очередь тот вывод, что совершенно бессмысленно отрицать подобные суждения, вывод, с которым отпадает возможность применения к этим суждениям аксиомы исключенного третьего.

Общие суждения, которые я выше назвал указаниями на суждения, разделяют с собственными суждениями то свойство, что они самодовлеющи, они даже содержат в себе бесконечную полноту действительных суждений. В этом отношении мы должны поставить общие суждения в один ряд с суждениями действительными. Конечно, в отличие от последних мы не будем говорить об общих суждениях, что они истинны, мы будем охотнее выра- 107 жаться так: они правомерны, они содсржат правовое основание для всех „реализующихся" из них сингулярных суждений. Наоборот, какое-нибудь экзистенциальное суждение, взятое само по себе, есть н и ч т о; если суждение, из которого извлечена подобная абстракция суждения, забыто нами или утеряно, то действительно н и ч е г о не остается (если не иметь в виду, как мы говорили выше, стимула разыскать суждение).

Характеристики

Список файлов книги