Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 35
Текст из файла (страница 35)
ш,, то по формуле подстановки 7'(ч) =7(л (ч); ч) получается некоторая новая функция Г'. Это правило, надо заметить, не представляет собой конструктивного принципа, который можно было бы сравнить с конструктивными принципами, рассмотренными в первой части, ибо здесь ничего не предполагается о том, как осуществляется зависимость Е ш. от параметра и. Итерация есть не единственная, а тОлько одна из возмохсностей, в этом отношении построение остается совершенно свободным. Впрочем, мы совершенно не касаемся здесь вопроса, может ли быть Е ш.
образована только таким путем н не связывается ли интуиция сущности (ЪЧезепзе!пзкп1) с некоторыми иначе построенными законами порождения. Согласно этому закону во всякой становящейся последовательности, как бы она ни развертывалась, обязательно наступает момент, когда она пороящает из себя число. Только эта черта существенна для понятия й 1п. В частности, характер мы получаем тогда, когда, согласно формулировке закона, порождаемое число может принимать тотько значения от 1 до й. Если же, с другой стороны, мы хотим включить в рассмотрение и 114 возможность того, что функция определена не для всех последовательностей („ рассеянная' й ш.), то мы должны допустить, что существуют „пустые" последовательности, не порождающие никаких чисел, и тогда из закона должно вытекать для всякой последовательности э, кдк бы она ни развертывалась, что либо до некоторого определенного места (зависящего от «) возникает порождаемое число, либо же получается уверенность в том, что здесь мы имеем дело с пустой последовательностью, остающейся навсегда бесплодной.
Несколько аргументов, т. е. несколько возникающих параллельно друг с другом свободных последовательностей, мы можем всегда рассматривать как некоторую единую последовательность; вместе с этим мы можем заменить понятие и вместо характера говорить тогда об отношении. с) Гипс11о соп(1пиа Мы переходим к (ппсйопез сопИпнае (й с.). Частный случай их мы уже рассматривали, когда впервые з наш кругозор проникла мысль о становящейся последовательности. Последовательность, игравшая роль функции, возрастала тогда вместе с возрастанием аргумента.
Устраняя этот 'частный случай, мы приходим к следующему определению: г'. с. есть закон, по которому в свободно становящейся последовательности натуральных чисел всякий акт выбора, присоединяющий к ней новый член, либо порождает определенное число, либо ничего не порождает. Что происходит прн з-том акте выбора, зависит при этом не только от самого этого А-того акта, но вообще и от всей совокупности аргументов, уже наличной к данному моменту. При подобной формулировке мы, однако, еще не уверены, что после.
довательность, дающая значения функции, действительно простирается до бесконечности, если развертывается до бесконечности последовательность аргументов. Должно быть выставлено потому егце следующее требование Ч: если я есть любое натуральное число, ч — становящаяся последовательность, и если мы следим за ее развертыванием с А-того ее члена, то наверное наступит момент, когда эта последовательность породит новое число (а не ночего).
Далее мы должны обобщить понятие 1. с. так, чтобы оно охватило также и все те случаи, когда функция определена не для всех возможных последовательностей. Мы получим это обобщение, если примем, что становящаяся свободная последовательность при каждом акте выбора либо порождает некоторое число, либо ничего не порождает, либо же приводит к прекращению процесса, к своей собственной гибели (и к уничтожению своих прежних порождений). Легко перенести сюда требование Ч: свободная последовательность ч, развернувшаяся без перерыва до А-того члена, должна, начиная с А, как бы она далее ни развертывалась, породить на некотором определенном, зависящем от й и ч месте некоторое число или же должна в силу закона й с.
погибнуть. Но к этому адесь надо присоединить еще одно требование. Пусть например, д'(э) есть й ш. и Ф(ч) — „рассеянная" й с., с которой мы сейчас имеем дело. Пусть некоторая становящаяся последовательность ч развернулась (без прекращения процесса со стороны Ф) настолько, что уже возникший благодаря Ф 115 соответственной последовательности э' = Ф (ч) отрезок определяет число у(ч') ( =д(Ф(ч)))! пусть число это будет, скажем, 2. Если для последовательности в наступит когда-нибудь по закону Ф прекращение процесса, то для такой последовательности э функция 1;(Ф)=!г' не является определенной и ничего собой, значит, не выражает. Можем ли мы теперь при вышезаданных условиях утверждать: существует последовательность ч, для которой й'(Ф(ч))=2? Очевидно, мы можем утверждать это только в том случае, если последовательность ч, достигшая известного своего пункта, не подвергнувшись прекращению по закону Ф, может быть неограниченно продолжаема далее, никогда не прекращаясь.
Значит, вместе с Ф должен быть задан еще второй закон Х, по которому последовательность ч на каждом месте дальнейшего своего развития (поскольку она еще не прервана законом Ф) должна поровсдать число такого рода: если мы примем порождаемое согласно закону Х при 1с-том акте выбора в последовательности ч число за (к + 1)-е число от ч, то и при (и + 1)-ом акте выбора закон Ф не повлечет за собой прекращения процесса развития (раз он не повлек за собой этого прекращения ранее).
Теперь понятия функций установлены достаточно определенно. Нужно только еще раз отметить, что в математических теоремах выступают от случая к случаю подобные отдельные определенные функции, но никогда не устанавливается общих положений о нпх. Поэтому общая формулировка этих понятий нужна лишь для того, чтобы отдать ссбе отчет в смысле н методах математики, в самой же математике, в ее теоремах эти понятия совершенно не рассматриваются. 3. Млтимлтнчвскиз твогзыы, свойства и множвстял Дело в том, что этп теоремы, поскольку онн самодовлеющи и не являются чисто пнднвидуачьными суждениями, представляют собой общие высказывания о числах и свободных последовательностях чисел, а не о „функциях".
В соответствия с этим мы различаем следующие три вида высказываний: 1. Суждения в собственном смысле слова. 11. Общие предложения. Их тип таков: для каждого натурального числа и и каждой свободно становящейся последовательности существует отношение С(м! ч)! причем здесь отношение понимается в строгом смысле зависящего от н „характера" свободной последовательности ж 1П. Абстракции из суждений или общих предложен и й. В ннх может содержаться выражение „существует' в связи с числом, последовательностью, !нпс!!о и!х!а и !цпсйо соп!!пна. Это выражение ыов!но отнести к последователышсти даже двоякил! образом, поскольку эта последняя может выступать либо как последовательность в собственном смысле слова, либо же как некоторый закон сопряжения.
Первый случай мы имеем, например, тогда, когда С(т) является характером свободно становящейся последовательности ч и когда формулируется следующее положение: существует некоторая последовательность ч (само собой разул!еется, закономерно определенная последовательность), обладающая характером С(ч). Второй случай представляешься, когда на основашш не- !!6 которого отношения )с(т, и) между произвольными числамп т, и устанавливается положение: существует последовательность цу, порея<дающая из каждого числа гп число р (гп)„— последовательность такого рода, что каждое число ги обладает свойством цт (гп, цц(т)). Но так как условие, что ш-е число свободной последовательности ч находится в отношении к числу пб есть зависящий от и характер» (речь идет при этом даже о примитивной Е с.), то второй случай содержится в первом как частный.
Поэтому мы можем тип высказываний 1П рода охарактеризовать достаточно обще следующей схемой: существует число п„последовательность ч„, кроме того существует закон 7; порождающий из каждой последовательности ч число 7'(ч), и закон Ф, порождающий из свободно становящейся последовательности ч становящуюся последовательность ч = Ф (ч),— вазон такого рода, что между каждым числом п и каждой становящейся путем свободных актов выбора последовательностью ч существует отношение С(и„чц; п,у" (ч); ч, Ф (ч)); при этом С(пц, ч„; и, и'; », «') есть некоторое заданное отношение между произвольными числами и„п, и' и свободными последовательностями ч„ч, ч'. Если в предложения этих трех родов входят еще неопределенные числа или свободные последовательности, то возникают схемы предложений о свойствах и-отношениях между числами и последовательностями.
Поэтому мы должны различать в области свойств подобные хце три рода. Свойства 1 рода суть не что иное, как „характеры", в установленном нами смысле слова, т. е. такие свойства, которые присущи или не присущи сами по себе некоторому числу или последовательности. Мы могли бы противопоставить их в качестве,объемноопределенных' свойств „объемнонеопределенным" свойствам П и РП рода. Объемно- определенное свойство, характер мы будем называть также де ф и н н т н ы м лц н о ж е с т в о лц (множеством 1 типа).
Относительно подобного множества мы вправе сказать, что само по себе определено, принадлежит ли к нему какой-либо элемент или не принадлежит. Если М, Л7 суть два числовых характера (дефинитные числовые множества), то М является подмножеством Л7, если всякое число характера М обладает также и характером 7«7, или, выражаясь точнее: мы определяем закон (М; 7«7), который порождает из произвольного числа и число 2 („нет") в том случае, если М сопрягает с этим числом 1, а Л7 — число 2, во всяком другом случае закон порождает из и число 1; смысл предложения о „подмножествах' заключается тогда в том, что каждое число обладает характером (М; 7«7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
