Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Следовательно, это предложение П рода. Если М есть подмножество 7«7, а 7«7 подмножество М, то мы называем М и 7«7 тождествен ными. Соответственные утверждения приходится высказать о дефинитных подмножествах последовательностей или о „многомерных" множествах чисел и последовательностей, соответствующих отношениям. Можно говорить о к ар ди н аль но м числе какого-либо дефинитного множества, но при этом надо дать себе ясный отчет в том, что для этих кардинальных чисел не имеет силы положение: кардинальное число либо = О либо ~ 1, т. е. числовой характер М либо порождает из каждого числа число 2 (множество М пусто, кацкдое число обладает свойством М), либо же существует некоторое число, из которого закон М порождает число 1 (существует элемент множества М; существует ы7 число, обладающее свойством М).
Сомнение в отсутствии пробелов в ряду канторовых азефов с нашей теперешней точки зрения овладевает нами впервые не при рассмотрении алеф-один нлн даже алеф-нуль, но уже в самом начале числовою ряда. Утверждение, что 1 есть наименьшее следующеее за О кардинальное число, должно быть отброшено, как нп на чем не основывающееся. Мне кажется, что отсюда следует математическая непригодность канторова понятия мощности.
Разумеется, конечные кардинальные числа сохраняют свое доброе старое право, когда они применяются не к „дефинитным множествам", но к совокупностям отдельных данных элементов (понятие о числе в повседневной жизни). Мы переходим к „объемнонеопределенным" свойствам П рода. Прп этом нужно заметить следующее. Пусть С(л; ч) будет некоторым отношением между числом л и свободной последовательностью т (например таким отношениеи: л-ное число в ч нечетно). Очевидно, что в этом случае прелложение, формулирующее такое объемнонеопределенное свойство 6 последовательности сс для каждого л имеет силу С(л; ч) (все числа последовательности ч нечетны) — не имеет никакого смысла по отношению к свободной последовательности т, оно имеет смысл лишь по отнгш нию к последовательности, определенной до бесконечности некоторым з а к о н о и.
Понимая под символом С' (т) некоторый характер, спросим себя, как нужно понимать предложение, что „каждой последовательности, обладающей свойством 6, присущ также характер С'"? „Каждая последовательность — это значит, как мы знаем, каждая свободно становящаяся последовательность; с другой стороны, свойство 6 мозкет быть приписано разумным образом только определенной до бесконечности, готовой последовательности, а не свободной последовательности. Поэтому возможно только такое толкование нашего предложения: если отношение С(л; «) выполняется для всех чисел и до определенной зависящей от ч границы, то имеет силу и С'(л).
Или точнее: пусть С" (л; ч) обозначает отношение, существующее между л, ч, когда С(т; ч) выполняется для всех чисел и от 1 до и; тогда существует некоторая (цпс11о ш)х1а такого рода, что каждой свободной последовательности, обладающей характером С*(г(т); ч), присущ также и характер С(т). Речь идет здесь, таким образом, о предложении Ш типа. Однако, если в определении свойства 6 11 рода выражение „каждый" относится к „последовательностям', а не, как здесь, к „натуральному числу", то по сути дела подобное толкование становится невозможныи. Но понятия свойства н множества только тогда обладают математическим значением, когда сохраняет силу принцип тождества, т.
е. когда можно связывать определенный смысл с высказыванием: „кахсдый элемент, обладающий свойством 6, обладает и свойством 6' (где 6 и 6' суть какие-либо свойства)". Вследствие этого из предложений П рода, в которые входят неизвестные, мы получаем множества только тогда, когда выражение „каждый" выступает в них только в связи с „натуральным числом". Мы поэтому дадим следующую формулировку: если е означает либо некоторое произвольное число, либо некоторую произвольную последовательность, а С(е; и) — некоторый характер, зависящий как от е, так н от числа и, то из С образуется „неопределенное множество" [С); утверждение, что к этому множеству прпнадлезкит элемент е, означает, что каждое 118 число и находится в отношении С(е; и) к е (множество Д типа).
Для множеств 1 и 11 типа мы можем, согласно вышеприведенным указаниям, установить смысл термина „подмножество". В самом сложном случае относящихся к 11 типу множеств последовательностей этот термин будет иметь следующее значение: „» принадлежит к [С] (или [С])" означает: каждое число и паходится в отношении С(»; и) [или С (»; и)]) к».
Предложение: „[С] есть подмножество [С]" означает тогда: существует !цпс!!о ш!х!а г(п!») такого рода, что правомерно следующее указание на суждение: каждое число и и каждая свободно становящаяся последовательность», находящаяся в отношении С(»; т) ко всем числам т от 1 до )'(л; »), находятся между собой в отношении С'(»; и). Это предложение, значит, принадлежит к 1И типу. Для понятия подмножества имеет силу силлогизм, закон транзитивности: если М есть подмножество М' и М' подмножество М", то М есть подмножество М". Мы переходим теперь к свойствам 11! рода, в определение которых входит выражение „существует". В качестве примера возьмем здесь свойство следующего вида.
Пусть С(е, е') есть некоторое отношение, в котором либо е есть число и е' тоже есть число, либо е есть последовательность, а а' число, либо же е есть последовательность и е' тоже последовательность. Пусть выражение: „е обладает свойством (С)" означает: „существует такая функция 1(е), что имеет место отношение С(е, г(е))". Соответственно трем указанным случаям эта функция будет 1ппс!!о б!зсге!а, ш!х!а или сопйпна.
Что же означает, если (С') есть свойство того же вида, что н (С), предложение: „каждый элемент е, обладающий свойством (С), обладает и свойством (С')", или: „(С) есть подмножество (С')"Р Очевидно, следующее. Существует закон, порождающий из каждой функции у функцию г', закон такого рода, что если имеет место С(е,у(е)), то имеет место н С'(е,г'(е)), причем закон порождения может еще сам зависеть от е. Но о подобном законе может итти речь тогда, когда у есть 1ппсйо б!зсге!а; на место произвольной функции 1' тогда выступает свободно становящаяся последовательность. Мы будем поэтому считать множествами только такие свойства 11! рода, в которых выражение „существует" употребляется в связи с „последовательностью", но не в связи с (нпс!!о ш!хза или сопйпца. Потому типическая форма определений множеств 111 рода такова: пусть Е (е; и, ») есть отношение 1 рода или же такое отношение 11 рода, которому соответствует некоторое множество, т.
е. отношение, в определении которого выражение „каждый" употребляется только в связи с „числом", а не с „последовательностью"; при этом е может. означать либо число, либо последовательность. и†произвольное число, » — последовательность. В таком случае выражение: „е обладает свойством (Е) или принадлежит к множеству (Е)" должно означать следующее. "существует некоторое число л и некоторая последовательность» такого рода, что имеет место отношегше Е(е;и,»). Общую формулировку понятия подмножества для множеств 1, 11 илн 111 типа мы предоставляем читателю. Силлогизм сохраняет силу во всех случаях. Таковы установленные принципом тождества границы, в пределах которых следует считать тождествами и объемнонеопределенные свойства 1!9 чисел нли последовательнос ей.
Что касается множеств функций н множеств множеств, то мы нх совершенно устраняем. В нашем анализе нет никакого места для общего учения о множествах, точно так же, как и для общих высказываний о функциях '), Новая концепция, как мы видим, приносит с собой чрезвычайно серьез,ные ограничения, противопоставляя их расплывающейся в неопределенности всеобщности, к которой приучил нас за последние десятилетия современный анализ.Мы должны снова обучаться скромности. Мы думали завоевать небо и взгромоадилн облака на облака, которые не могли удержать никого из тех, кто всерьез думал на них укрепиться.
На первый взгляд, то, что остается, кажется столь ничтожио малым, что ставится вообще под знак вопроса сама возможность анализа. Но .такой пессимизм неоснователен, как это будет видно иа следующего отдела. Но нужно со всей энергией помнить следующее: математика целиком, включая даже логические формы, вкоторыхона двнмгется, зависит от сущности натурального числа. В изложенных здесь радикальных выводах я, насколько я могу понять, не вполне сложусь с Вроуером. Ведь, он а) сразу начинает с общего учения о функциях (то, что я называю здесь (ппсйо сопйппа, носит у него наименование „множества"), рассматривает свойства функций, свойства свойств н т. д.
и применяет к ним принцип тождества. (Мне не удалось, однако, уловить смысла многих из его утверждений). Я заимствую у Броуера: 1) основную идею, представляющую во всяком случае существеннейший пункт в его взглядах, именно, идею становящейся последовательности и сомнение в рппс!р!цш 1ег!п( ехс!пз1; 2) понятие !ппсйо сопйппа.
На мой собственный счет относятся понятие (ппсйо ппх!а и концепция, которую я резюмирую в следующих трех пунктах: 1) понятие последовательности колеблется сообразно той логической связи, в которой оно выступает между, „законом" и „актом свободного выбора", между „бытием" и „становлением'; 2) общие и экзистенциальные положения не являются вовсе суждениями в собственном смысле слова, не ') Я не хочу этим сказать, что вообще невозможны всеобщие высказывания о множествах и функциях (ш!х!ае н соп!!ппае). Так, конечно, для каждой последовательности т и дая каждой !. ш, имеет силу положение /(т)+ 1=1+/К. Но всеобщность таких положений — производная, получаеман формальным специализированием из всеобщности арифметики и анализа (в основе вышеприведенного примера лежит применимость равенства и+1 =1+а ко всем числам); что касается всеобщности арифметики и анализа, то она поистине изначальна и опирается па свой собственный интуитивный фундамент и потому заполнена самостоятельным интуитивным содержанием.
Подобные положения о функциях и множествах (отлельиые разбросанные среди безбрежного океана островки) можно объединить и особую дисциплиау под назвапием, теории множеств", но эта дисциплина никоим образом не является основанием математики. Подобным же образом можно, разумеется, установить ос о бые классы сопряжений межлу раис!юпез ппхтае (или соп!1ппае). Если, например, р есть некоторая залапная !. б„то из всякой /(ч) получается дртгая/'(т) по такомуправилу: /'(т) для т=(л,,пыль...) равняется /(/)'для Ы =(~р(лд, р(лт), Ч(ла) ). Но такое сопряжение есть лишь „замаскировка" последовательности э; когда говорится: „существует сопряжение такого рода", то это значит: всегда существует последовательность р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
