Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Например, формула . пл= лт, +и +...+ил заключает в себе закон, согласно которому некоторая становящаяся посредством свободных актов выбора последовательность ш„ш„т„... порождает становящуюся числовую последовательность л„и„л„... Более общим примером может служить любой закон, согласно 'которому всякий акт выбора, присоединяющнй к становящейся последовательности натуральных чисел новый член, порождает тем определенное число. Порожденное Ь-тым актом выбора число будет при этом, вообще говоря, зависеть не только от самого й-того акта выбора, но также и от всего уже имеющегося налицо от 1-го до л-того члена отрезка свободной последовательности. При этом развертывание последовательности, выступающей в качестве функции, совершается параллельно развертыванию последовательности, играющей роль аргумента: если последняя подвигается вперед на одно место, то так же подвигается и первая.

Естественным образом, мыслимы и более сложные отношения между последовательностями, к которым мы должны будем вернуться позже. Броуеровская идея проста, но вместе с тем глубока: здесь перед нами появляется ,континуум", в котором хотя и содержатся отдельные вещественные числа, но который никоим образом не разрешается сам в совокупность предлежащих готовыми вещественных чисел, а скорее.

представляет собой среду с зоб одн о го стао в л е н и я. Мы находимся в области издревней проблемы мышления, проблемы непрерывности, изменения и становления. Какое центральное значение имела она для логического овладения действительностью, можно узнать хотя бы из „Истории атомистнки" К. Лассвица; решение этой проблемы представляет собой тот решающий момент, который отделяет аристотелевски-схоластическую, ориентирующуюся на понятие субстанции физику от современной галилеевской физики.

Издавна противостоят друг другу атомистическая концепция, согласно которой континуум состоит из отдельных точек, и противоположная точка зрения, считающая невозможным понять таким образом непрерывное течение. Первая концепция дает нам построенную логически систему неподвижно сущих элементов, ио она не в состоянии объяснить движение и действие; всякое изменение сводится для нее к иллюзии.

Второй же концепции не удалось ни во времена античного мира, ни позже, вплоть до Галилея, вырваться .нз сферы туманной интуиции, чтобы проникнуть в область абстрактных понятий, необходимых для рационального анализа действительности. Достигнутое в конце концов решение †э то, математически-систематическим образцом которого служит диференциальное и интегральное исчисление.

Но современная критика анализа снова разрушает изнутри это решение, хотя, правда, она и не дает себе ясного отчета во всем значении старой философской проблемы и приходит в итоге к хаосу и бессмыслице. Обе намеченные в этой статье попытки решения указанной проблемы возрож- 302 дают в еще более обостренной и яркой форме старую антитезу: изложенная в первой части статьи теория (ясно сознающая, что она не затрагивает интуитивного континуума, но полагающая, что понятия могут объять лишь неподвижное бытие) радикально атомистична, броуеровское же учение берется вполне достоверным и надежным образом восстановить права становления. Теперь мы займемся изложением броуеровских взглядов.

Так как его теория проводит абсолютное, исключающее возможность какого бы то ни было сравнения, различие между континуумом и множеством дискретных элементов, то для нее вообще не может серьезно существовать вопроса об исчислимости континуума. Закон, производящий из некоторой становящейся последовательности некоторое число л, зависящее от результата выбора, по необходимости такого рода, что число и оказывается определенным, как только имеется налицо известный конечный отрезок нашей свободной последовательности; число это остается неизменным, как бы дальше ни развертывалась эта свободная последовательность, так что не может быть речи об одно-однозначном соответствии.

Пусть будет 6 некоторое, имеющее смысл в области числовых последовательностей свойство, а 6 его отрицание. Вопрос, существует ли числовая последовательность со свойством 6 нли нет, не имеет определен. ного смысла, так как понятие закона, опредсл..ющего до бесконечности некоторую последовательность (выражаясь в терминах первой части), не объемноопределенно. Раньше мы вышли из затруднения, ограничив понятие закона только законами объемноопределенными, потребовав для этого, чтобы они получались посредством известных логических конструктивных принципов и были благодаря этому свободны от порочного круга (х„закон'). Ответ „да или „нет' на наш вопрос оказывался в таком случае определенным, и обе возможности представляли собой полную днзыонкцню.

Теперь, однако, мы подойдем к делу иначе. Так как, разумеется, отдельная определенная последовательность может быть определена только некоторым законом Т, то положительный вопрос гласит н теперь: существует лн закон, обладающий свойством 6? Но мы более не растягиваем этого понятия на прокрустовом ложе конструктивных принципов; если нам удается каким-либо, свободным от порочного круга путем построить закон желательного нам вида, то мы вправе утверждать, что подобный закон существует. Здесь, таким образом, речь идет вовсе не о возможности построения — подобные экзистенциальные утверждения мы можем высказыватьлишьобуже удавшихся построениях,уже проведенных д о каза тел ьствах. Отрицательное суждение, что такого закона не существует, при этом, разумеется, теряет всякий смысл. Но мы можем придать ему положительную форму: всякая последовательность обладает свойством 6; наше отрицательное сухгдение приобретает теперь смысл, поскольку мы под последовательностью понимаем здесь не закон, а в смысле континуума, среду свободного становления, последовательность, образующуюся посредством свободных актов выбора.

Приходится таким образом допустить, что имеетсмыслприписывать свойства6и 6становящейся последовательности; в этом случае может оказаться, что в сущности становящейся последовательности, последовательности, в которой всякий отдельный 103 ЩЩ Фиг. 1 акт выбора совершенно свободен, заключено то, что она обладает свойством 6. Злесь не место излагать, каким путем достигается подобного рода уаренне сущности последовательности.

Но только оно дает нам право, когда имеется налицо некоторый закон р, утверждать сразу, без всякой проверки, что определяемая до бесконечности этим законом последовательность не обладает свойством 6. Выражение „существует" прикрепляет нас к бытию и закону, выражение „каждый" помещает нас в поток становления и свободы. Так как совокупность случаев, в которых имеет силу то или другое из этих утверждений (т. е. утверждений, что существует последовательность, обладающая свойством 6 нли что каждая последовательность обладает свойством 6 ), неопределенна в себе, так как далее приходится вообще совсем иначе толковать понятие последовательности в обоих случаях, то было бы нелепо думать здесь о полной дизъюнкции. Именно таким образом нужно понимать мысль Броуера, что нет никаких оснований верить в логический закон исключенного третьего.

Я, правда, лучше выразился бы так, что ни одно из обоих утверждений, о которых идет речь, не мом~ет быть рассматриваемо как отрицание другого. Взаимоотношение изложенной в первой части концепции (1) и броЯп Раап~ уеровской теории (П) может быть иллюстрировано прилагаемой схематической фигурой (разумеется, показанй ное на рисунке сравнение Ап Иет несколько прихрамывает).

Так как „нетпо!" глубоко вдает ся в область вполне законного „да по !1", то с точки зрения концепции 11 „нет" концепции 1 не имеет никакого значения. Это „нет" приобретает значение только в том случае, если мы в концепции 1 примем за предмет исследования не броуеровский континуум, а вполне определенную в себе систему последовательностей, определяемых х-законаяи. В своем отрицании логической аксиомы исключенного третьего Броуер идет еще значительно дальше, чем мы это изложили до сих пор. Он оспаривает ее применимость не только к экзистенциальным суждениям о ч и словых последовательностях, но также и к экзистенциальным суждениям о натуральных числах. Пусть 6 есть некоторое свойство, имеющее смысл в области натуральных чисел, так что ясно определено, присуще или нет свойство 6 некоторому натуральному числу л. По Броуеру мы должны относиться к вопросу, существует ли число, обладающее свойством 6, точно так же, как к аналогичному вопросу в случае 'числовых последовательностей, — долгины относиться так, несмотря на то, что понятие натурального числа, в противоположность понятию последовательности (еслн только мы не ошиблись), объемноопределенно, и что, значит, оно при употреблении его в экзистенциальных суждениях, с одной стороны, и в общих суждениях,с другой стороны, не подвергается тому расщеплению, которому подвергается понятие последовательности (закон †свободн выбор).

Броуер обосновывает свой взгляд указанием на то, что нет ни- !04 каких оснований думать, будто всякий подобный вопрос о существовании может быть решен, Согласно Броуеру, доказательство применимости закона исключенного третьего должно было бы состоять в указании метода, который давал бы относительно любого свойства 6 то или иное разрешение вопроса о существовании. Как известно, впервые эта точка зрения была выдвинута Кронекером. В сознательном противоположении этой точке зрения я в своем опыте обоснования анализа защищал тот взгляд, что дело идет не о том, в состоянии ли мы путем известных вспомогательных средств, например с помощью методов формальной логики, дать определенный ответ иа известный вопрос, а о том, каково положение вещей само по себе; натуральный ряд чисел н относящееся к нему понятие существования является основанием математики и притом так, что для всякого свойства 6, имеющего смысл в области чисел, всегда определено, существуют ли числа вида 6 или не существуют.

Характеристики

Список файлов книги