Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 26
Текст из файла (страница 26)
а! Вели оставить в стороне траисфинитную часть системы аксиом, то нетрудно привести доказательство непротиворечивости (ЯтВ) при помощи,валоризацни" (Юег1цпд) формул. Именно, пользуясь каким-нибудь точно описанным рекуррентным приемом, каждой формула можно в соответствии со способом ее получения приписать одно из двух „значений" (Юег1) — истинность йГ или ложность г"',— так что все финитные аксиомы очевидным образом приобретают значение %', а для логических комбинаций применяются установленные в $3 правила определения „значения".
Поскольку трансфинитное находится за пределами системы, постольку силлогизм, дедуктивный метод остается совершенно бессильным; установить истинность или ложность посылки в формуле 8-ьс мы оказываемся в состоянии только после того, как уже установлена истинность или ложность заключения г. После того как мы принимаем также и трансфинитные правила для образования аксиом, добиться 1кВ на указанном пути уже нельзя. При этом оказывается, что вместе с допущением этих правил исчезает возможность различения истинного и ложного.
Однако идя по другому, более обходному пути, удалось провести %'В для того случая, когда допускаются трансфиннтные л о г.н ч еские аксиомы (Ф. Нейман, цит. ст.). Уже в этом случае доказательство становится очень сложным. Тем самым доказывается, что, рассматривая ряд натуральных чисел в качестве замкнутой совокупности существующих предметов,— как это я сделал в вышедшем в 1918 г.
сочинении „Континуум",— мы можем не бояться никаких противоречий. Напротив, отсутствует еще доказательство Р'В для системы аксиом, включающей трансфинитное теоретико-множественное правило (*) для образования аксиом, правило, позволяющее занять позицию, аналогичную только что указанной, также и по отношению к „совокупности всех возможных числовых множеств . Только проведение ЮВ или же попытки его осуществить раскрыли перед нашим взором в высшей степени запутанную логическую структуру математики, все взаимосплетение заключающихся в ией порочных кругов, относительно которых нельзя даже сразу сказать, не приведут ли они к грубым противоречиям.
Очевидно, что изложенная система символизма в более утонченной форме снова берется за выполнение той задачи, которую выставил Лейбниц в своей „всеобщей характеристике' и агз сошЫпа1ог!а. Но разве перед лашими взорами не восстает алесь только бескровный призрак прежнего анализа? Математика Гильберта может представлять собой очень изящную игру в формулы, более аанятную даже, чем шахматы, но что общего имеет она с познанием, раз принимается, что ее формулы не должны обладать никаким предметным значением, благодаря которому они могли бы выражать какие-либо имеющие смысл истины? Согласно Гильберту предметом математики являются с а м и символы.
Поэтому нет никакой иронии в следующем заявлении Броуера: „На вопрос: где же заключается научная точность? — обе стороны отвечают различно. Интуиционист говорит: в человеческой мысли, формалист: на бумаге" (1п(ц!1!оп!зше еп 1огша!!яше, стр. 7). Последовательный формалист не может ответить на вопрос, почему 65 он устанавливает именно такие правила и почему ему так важно, чтобы никогда не встретились две доказуемые формулы вида Ь и Ь. Как полагает Броуер, этот формалист для о п р е д е л е н и я своего „чувства радости от убежденности в истинности" и своей веры в то, что избранная им система аксиом лучше применима к миру опытных явлений, чем другая система, отошлет нас к философии, психологии, антропологии.
Это последнее замечание напоминает пал!, что математика имеет своею обязанностью служить подспорьем естествознанию. Однако несомненно, что отдельные положения теоретической физики совсем не носят того характера, каким должны обладать по Вроуеру математические предложения, каждое из которых в отдельности обладает своим собствен. ным, целиком реализуемым в интуиции смыслом; при сопоставлении с опытом в теоретической физике приходится брать только в сю с и стему как целое. Мы должны отчетливо отличать феномепальн о е з н а н и е, интуитивное узрение 1апвсЬапепбег Е!пз!сй1), данные, например, в суждении такого сорта: „этот (данный мне в настоящем акте восприятия) лист обладает зеленым (данным мне в том же самом акте восприятия) цветом" — от теоретического построения.
Знание дает нам истицу, и органом его является „зрение" в широком смысле этого слова. Теоретическое же построение связано, повидимому, только с одним могущим быть строго формулированным принципом разума, — с согласованностью, которая здесь, в области математики, где мы е!це не вступаем в соприкосновение со сферой чувственно данного, состоит ~олько в непротиворечивости; его органом служит „творческое начало". В дальнейшем, когда речь будет итти о физике, мы рассмотрим подробнее вопрос о том, чем еще, кроме согласованности, определяется теоретическое построение.
Хотя интуитивная истина и не является здесь последней инстанцией, но все же нельзя сказать, что она не играет никакой роли. Сам Гильберт говорит об этом следующее: „Та роль, которая остается на долю бесконечного,... это исключительно роль идеи, если под идеей, по словам Канта, понимать логическое понятие, которое превосходит всякий опыт и дополняет конкретно данное до це. лостности" (ОЬег г)аз 1)пепб1!сЬе, Май. Апп., 95, стр. 190). Впрочем, возможно, что полный ответ на этот вопрос можно получить лишь обратившись к истории, реализующейся в нас в историческом процессе жизни духа, окончательным результатом которой никогда не может оказаться символическое построение мира, в противоположность феноменальному познанию, в которое хотя и могут в силу человеческого несовершенства вкрасться ошибки, но которое по существу своему всегда неизменно.
Литввлтувл: Ье!Ьп!в, РЫ!ов. Ясйгй!еп, изл. Оегпвпц, НП, стр. 184 — 189. 1.. Соп1пга1, Орпвсп1ев е! !гапшев!в !педцв бе 1е!Ьп!в, Рвг!в 1902. Н!1Ьег1, 1чепьейгппв1впй оег Ма!Ьешвпз, АЬЬ. а. 6. Мв!Ь. Беш. й Оп!Ю Нвтьпгя, 1, 1922. Н !1Ьег1, О!е !оя!вспеп Огппо!алев оег Мв1ЬетвИК, Майн Апп., 88, 1922. Н!! Ьег1, ОЬег Пвв Увел!!!!спе, Йв!и. Апп., 95, !925. ж Ыевшапп, Епг НИЬепвсЬеп Веже!в!Ьеог!е, Май. Ее!!войт., 1926.
86 11. О сущности млтемАтического цовнлния Математику издавна почитали наукой о в е л и ч и н е или жс о и р о с т р а н с т в е н ч и с л е. Хотя мы встречаем это определение также и у Лейбница, но с его точки зрения ограниченное таким образом Ма!Ьез!з представляет собою лишь отдел Агз сошЬ!па!ог!а. В настоящее время, если принять во внимание такие области математики, как проективная геометрия или же ~сория групп, подобное определение представляется нам чрезмерно узким. Поэтому нам нечего особенно беспокоиться насчет более точного определения понятия количественного, и развитяе самой математики вызывает даже сомнения в том, является ли количество обладающей четкими контурами и важной философской категорией.
Поскольку геометрия изучает действительное пространство, постольку мы ее уже более не причисляем к чистой математике, и принципиально говоря, она принадлежит к области приложений математики, как и механика и физика. Под влиянием общей арифметики гиперкомплексных чисел, а позднее также аксиоматических изысканий, теории множеств н логистики, различие между математикой и логикой постепенно стирается. По определению Пирса (В, Ре!гсе, 1870) „Ма!Ьегпа!!се !з !Ье зс!епсе, ттЫСЬ бгажв песевза~у сопс!цз!опв" (математика есть наука о производстве необходимых умозаключений). Определение „математики или логики" подробно исследуется с этой точки зрения в 11-й главе, Логических исследований" Гуссерля (т. 1, Идея чистой логики) и в последней главе „Введения в философию математики" Ресселя.
Следовать ли вместе с Броуером за последовательным ннтуицнонизмом или же вместе с Гильбертом за символизмом,— все же нельзя не признать, что, благодаря вызванному антиномиями теории множеств кризису, характерные черты математики снова выступили с большей отчетливостью. Броуер видит подобно Платону существо математического мышления в некотором двуединстве. „Этот нео-интуиционизм считает распад жизненных моментов на качественно различные части, которые, будучи разделены только временем, могут вновь соединяться, первичным фактом человеческого интеллекта, а абстрагирование от распада всякого чувственного содержания в интуиции двуединства — первичным фактом математического мышления". Мы видели, как, благодаря тому, что всяйий раз „одно становится двумя", возникает схема деления одномерного континуума.
Точно так же возникают в соответствии со способом их записи в двоичной системе целые числа. Штенпель показал (уаЫ ппб Оев!аВ Ье! Р!а!о ппб Аг!з!О1е!ез, 1924), что Платон, по всей вероятности, располагал числа именно в такую схему; но так как при этом расчленение одного на два порождает все большие и большие числа, а в континууме приводит ко все 10 11 меньшим и меньшим частям, то Платон называет двойственность еще большим-малым (ОгозяК1е!пе). Природе целых чисел более соответствует то их натуральное расположение, которое противопоставил платоновой концепции числа Аристотель (Метафизика, Аб и Мб).
НО и это 87 натуральное расположение можно получить из двуединства, исходя первоначально из нераздельного, затем расчленяя его на олин элемент (единицу), остающийся и в дальнейшем единицей, и некоторый неразделенный остаток, потом снова расчленяя остаток на один элемент (2) и некоторый неразделенный остаток, и т. д.
(Интуитивно можно представлять себе дело, например, так: от полупрямой всякий раз отсекается новый отрезок, — в случае раскрытого в грядущее времени всякий раз переживается новая часть его.) Здесь подлежит делению на две части не всякая часть, а только последний оставшийся на данной стадии процесса деления неразделенный остаток.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
