Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 25
Текст из файла (страница 25)
По виду какой-либо ааданной формулы всегда можно установить, каким образом она была построена; на основании указанного рекуррентного метода можно также всегда выяснить, является ли или нет какая-нибудь определенная последовательность символов формулой. Вовсе не следует бояться того, что в системе формализма операции применяются ко всему возможному без различия. Если т( (х) представляет собою (как и везде в дальнейшем) любую формулу с одной лишь свободной (не связанной) переменной х, а й (или с) — формулу, не имеющую свободных переменных, то в формуле Р( можно повсюду, где встречается в свободном виде переменная х, поставить на место х век) формулу 0. В результате применения этого наглядного метода п о дс т ан о в к и возникает опять-таки формула, которую мы будем коротко обозначать символом с((о).
Для большей ясности мы будем в дальнейшем ') Я примыкав в настоящем изложении к более простой, чем гильбертова, системе формализма Ф. Неймана. (См. литературу в конце параграфа.) в г. в-.в. 81 писать символы в соответствии с обычным их употреблением то перед, то над, то между членами, н вместо символа аа будем писать а+1 (так что символ +1 представляет собою стоящий позади члена символ операции, не имеюший ничего общего с постоянной 1). Исходным пунктом доказательства служат а к с и о м ы. В первую очередь к ним принадлежат аксиомы финитной логики, как, например, с -+ (Ь э- с). Однако теперь мы их рассматриваем как всеобщие нрав ила для образования аксиом. Например, написанное выше выражение говорит: возьл1и какие-либо две формулы Ь и с, не содержашие свободной переменной, и соедини их в формулу с:+(Ь-+с); то, что ты получишь, ты можешь использовать в качестве аксиомы.
Затем мы имеем оба правила для образования аксиом равенства, служащие мостом между логикой и арифметикой: Ь=Ь; (Ь = с) -+ (Я (Ь) = Я (с)). Наконец, в третью очередь к числу аксиом относятся специфически арифметические правила, обладающие финитным характером, в которых появляется постоянная 1, предметный исходный пункт всех построений: 21; .ЕЬ-эг(Ь+ Ц; (Ь+ 1 = с + 1) -+ (Ь = с); Ь+1 = 1. Затем следует трансфн нитная часть логики. В качестве исходного пункта мы выберем оспариваемую Вроуером дилемму, согласно которой либо существует хотя бы один честный человек, либо же все люди бесчестны.
В таком случае можно найти такого человека Аристида, по отношению к которому безусловно справедливо следующее предложение: если какой-либо человек честен, то Аристид честен. Действительно, для этого достаточно в первом случае выбрать за Аристида какого-либо честного человека, а во втором †любо из людей.
Для того чтобы суметь сконструировать такого Аристида не только для свойства честности, но и для всякого свойства, для всякой содержащей одну свободную переменную х формулы Я, мы вообразим себе некий божественный автомат, устроенный так, что если мы бросим в него любое свойство Я, то он нам в обмен выбросит такого индивидуума а„Я, который наверняка обладает свойством Я, если только вообще сушествует подобный индивидуум. При этом е„ представляет собою символ интеграции. (Кокетничая с роковым употреблением словечка „есть" для выражения как связки, так и существования, мы также употребляем для обозначения их обоих одну н ту же букву е; однако возможность смешения устраняется благодаря тому, что мы присоединяем к а, выражаЮщей существование, индекс-переменную.) Если бы мы имели в своем распоряжении подобный автомат, то он избавил бы нас от всех забот, доставляемых нам терминами „все" и „существует", но, само собою разумеется, вера в его существование является чистейшей бессмыслицей.
Математика, однако, 82 поступает так,' как если бы иаш автомат существовал. Это можно выразить при помощи определенного правила для образования аксиом, и если применение этого правила не влечет за собой противоречий, то его употребление в формализованной математике оказывается вполне законным. Траисфинитные логические правила для образования аксиом теперь таковы: 6(Ь) -з. Е 6(х), П 6(х) -+ 6 (Ь), Е„6( ) -з-6(~,6), 6( 6) П„6( ).
Правила, записанные во второй строке, еше отсутствовали в й 3; они дозволяют нам выводить следствия из Е„и чмозаключать, исходя пз других формул, к П„. Разумеется, эти правила не могут нам оказать так же услуг, как и воображаемый автомат, ибо когда задана формула 6, они не говорят нам, чтб собою представляет а„6. Только при некоторых условиях базирующееся на аксиомах доказательство приводит в конечном итоге к таким формулам, как, например, е,6=-1. Среди арифметических аксиом недостает еше принципа полной индукции. Его можно рассматривать как трансфинитное арифметическое правило для образования аксиом, выражающее собою то обстоятельство, что какое-либо свойство 6, присущее числу 1 и .передающееся по наследству" от х к х+1 для всех х, присуше также и любому числу.
Однако это правило, как мы знаем, становится излишним, если только допустимо ввести для каждого свойства некоторую новую вещь у, соответствующее множество, обладающее тем свойством, что высказывание „х есть элемент у" эквивалентно с наличием 6 (х). Однако, если сформулировать сказанное в виде правила для образования аксиом, то вскоре оказывается, что его применение безусловно приводит к формальному противоречию, а это влечет за собой решительный отказ от неограниченного права на объективир о в а н и е.
Но для анализа достаточно ограничения области изменения аргумента областью натуральных чисел, так что мы можем выставить более узкое трансфинитное теоретико-множественное правило: Е„П.(гл-+ (( ар) =Ы(л)И. При этом символ хау льожно прочесть так: значение функции у прн значении аргумента, равном х. Тогда наше правило гласит, что каждое относящееся к области натуральных чисел и содержащее одну переменную х выражение можно рассматривать как некоторую функцию х, принадлежащую к числу математических предметов.
Повидимому, для построения анализа хотя и не необходимо, но желательно присоединить к числу аксиом еще аксиому определенности, согласно которой два числовых множества равны тогда, когда они содержат в точности одинаковые элементы. Если для сокращенного выражения (6 ->. й) гм (% — ) ч)) писать 5 :— 1ь., то это правило гласит: П„~ лх -+ ((хаЬ) ~ч.— (хес)) 1-э- (Ь = с). Математическое до к аз а т ель ст во заключается в том, что первоначально согласно заданным правилам устанавливаются аксиомы (причем эти аксиомы никогда не содержат свободных переменных), а 83 затем путем применения рассмотренного в й 3 правила с и л л о г н з м а сперва к этим аксиомам, а затем к уже полученным нз них формулам, получаются все новые и новые формулы.
То обстоятельство, что нельзя а рг!ог! увидеть, к какой именно „до к азу е м ой ф о р муле" придешь в результате этой игры, объясняется в первую очередь тем, что из двух форлгул б н Ь -+ с прп помощи силлогизма возникает новая, более короткая, чем вторая из предпосылок, формула с, так что в игре в доказательства постоянно сменяются построение и разрушение. До снх пор все это — игра, а не познание. Но далее игра преврйщается, по выражению Гнльберта, в „метаматематику", в предмет познания, ибо надо позпатьч что мы никогда не придем к против о р е ч и ю. Мы имеем дело с противоречием в том случае, когда одна из двух разыгранных !п сопсге!о партий игры в доказательство приводит в результате к формуле )), а другая — к противоположной ей формуле (ь Для доказательства единственно лишь этого обстоятельства Гильберт вынужден прибегнуть к обладающему содержанием и смыслом финитному мышлению, которое не может быть сведено ни к каким „аксиомам".
Между прочим, в процессе этого обладающего содер>канием мышления интуитивное умозаключение осуществляется посредством полной индукции, подобно тому, как мы применяли этот принцип, когда доказывалн (й 4), что в правильно разыгранной шахматной партии никогда не может оказаться нд доске 10 королев одного цвета. Систему аксиом можно непрестанно расширять, при этом только необходимо всякий раз доказывать, что ее непротиворечивость сохраняется.
В частности в виде новых аксиом или правил для образования аксиом следует вводить также и определения, например: 1 + 1 = 2; (б + 1) + 1 = 6+ 2. Что касается натуральных чисел, то в гильбертовой конструкции, в противоположность броуеровской, можно отказатьсн от той „возможности ш !п(!и!!нш", которая была нами описана в й 6 в качестве третьей стадии процесса конструктивного познания. Например 10" представляет собою для Гильберта некоторый „трансфпнитный" символ, не выражающий собою никакого числа (символа, имеющего вид оо ... о1). Геометрия и физика могут быть включены в математику лишь только и поскольку они оказываются строго аксиоматизированными. Гильберт даже полагает (Ах!оша!!зс)тез Оеп)сеп, 1917), что „все то, что вообще может быть предметом научного мышления, должно быть, поскольку оно уже достаточно созрело для образования теории, подчинено акспоматическому методу, а значит косвенным образом и математике"').
') Исходя нз существенно иной конпеппии математики, Кант приходит к выводу, что „в каждой отрасли учения о природе мы имеем ровно столько науки, сколько содержится в ней магема~нкн' (Ме!лрвуэыспе Ап!лпйэйгнпбе бег г(а!нгтч!ыепэсйай, Чоггеде). Гуссерль заявляет в том же духе, что н Гильберт, с особенным учетом'математической логики,что,матемлтнческая форма рассмотрения во всех строго развитых теориях (это слово, конечно, надо тоже брать в настоящем его смысле) является единственно научной формой, единственной, лающей систематическую замкнутость н завершенность н открывающей воэможность понять все возможные вопросы и возможные формы их разрешения' (1.ой(лойе ()н!егэнсЬшйеп, т. 1, з 7!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
