Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

(Имеется русский перевод.) 3!ппгр1, Епг Е!п!е!!нпй г(ег Ъ!ввепвспа!!еп, АЬЬ. Вег!. А(габегп!е, 1906, ВБ О НОВОМ КРИЗИСЕ ОСНОВ МАТЕМАТИКИ Обычно полагают, что антиномии теории множеств свойственны только отдаленнейшим областям математического'мира и никоим образом не угрожают внутренней прочности и безопасности самой математики, собственному ядру ее. Однако почти все разъяснении, данные относительно этих антиномий авторитетными лицами (с целью опровергнуть их существование или сгладнть их), непохожи вовсе на убеждения, возникшие из совершенно непреодолимой и бесспорной очевидности, оии относятся к тем полуискренним попыткам самообмана, которые так часто встречаются в сфере политики и философии. Действительно, всякое серьезное и искреннее размышление должно убедить нас, что указанные противоречия в пограничных частях математики следует рассматривать как симптомы некоторого неблагополучия всей этой науки, в противоречиях этих открыто выступает то, что скрывается внешне блестящим и крепким видом математического здания,— выступает именно внутренняя непрочность фундамента, на котором покоится вся постройка.

Я знаю только две попытки вырвать зло с корнем. Автором первой является Броуер. Уже в 1907 г. им были высказаны некоторые идеи, намечаюшие общее направление задуманной им реформы теории множеств и анализа, но лишь в последние годы из этих идей была создана Броуером цельная последовательная система. Независимо от Броуера я в 1918 г.

в сочинении „Континуум изложил давно задуманные мной мысли о новом обосновании анализа'). Связанные с этим обоснованием трудности лучше всего выяснить на понятиях вещественного числа и континуума; я буду поэтому в дальнейшем исходить из этих понятиИ и сперва вкратце намечу существеннейшие пункты моей собственной попытки, а вслед за тем изложу вольным образом броуеровские идеи. А.

АТОМИСТИЧЕСКАЯ КОН)1ЕП11ИЯ КОНТИНУУМА 1. По воины 9 ктхг Мы будем исходить вместе с Дедекиндом из системы рациональных чисел и станем характеризовать отдельное вещественное число а множеством тех рациональных чисел, которые меньше а. Мы станем прямо определять вещественное число как множество рациональных чисел, обладающее, свойством сечения", свойством содержать вместе с любым ра- ') %еу!, 1)аа Кояйпяиш, 1919 99 циональныч числом х в качестве элементов и все рациональные числа (х. Эти множества суть бесконечные множес>аа, а бесконечное множество может быть задано исключительно указанием с во й с тв а, характерного для его элементов. Но свойства рациональных чисел строятся чисто логическим путем, исходя нз первоначальных свойств и отношений, лежащих в основании действий с рациональными числами.

За основные свойства и отношения можно принять: свойство: х положительно, отношение: х+у=з, отношение: х . у = г. Если от рациональных чисел обратиться к натуральным, то единственным основным отношением, с помощью которого можно определить все остальные чисто логически, будет отношение, в котором и заключается собственно сущность натуральных чисел, ил>енно, отношение, существующее между двумя натуральными числами и и и' тогда и только тогда, когда и' есть ближайшее последующее за и число. Аналогичным образом эвклидова геометрия исходит из трех основных категорий предметов: точки, прямой и плоскости, н некоторых немногих заимствованных из интуиции „первичных' отношений между этими предметами („ точка лежит на прямой" и т. д.), о которых говорится в аксиомах.

Все остальные понятия, в частности все свойства точек, прямых и плоскостей и все отношения между ними определяются чисто логически с помощью этих первичных отношений. М и о ж е с т в а соответствуют свойствам рациональных чисел таким образом, что два свойства 6 и 6' при некоторых обстоятельствах определяют одно и то же множество даже тогда, когда сами они получены из первоначальных свойств и отношений путем различных построений. Это происходит тогда именно, когда оба свойства равнообъемны, т.

е. когда всякое рациональное число, обладающее одним свойством, обладает н другим, и обратно. Таким образом моментом, определяющим тождество двух определенных каким-нибудь свойством множеств, является не с о д е р ж а н и е свойств, а их предметное совпадение (по объему" ),— совпадение, которого нельзя вывести чисто логически из определения свойств, н которое можно установить только на основе специального ознакомления с предметами, входящими в состав рассматриваемых множеств. Само собой разумеется, безразлично — пользоваться ли словом,множество" или же словом „свойство".

Следует лишь избегать того ложного представления, будто, если бесконечное множество элементов определено, то нам не только известно характерное для его элементов свойс>во, но и сами эти элементы, так сказать, расстилаются перед нами, так что нам остается только по очереди перебрать нх один за другим,— подобно тому как полицейский чиновник просматривает свой спнсок,— чтобы обнаружить, имеется ли в нашем множестве элемент того или иного вида.

По отношению к бесконечным множествам подобное представление лишено всякого смысла. В анализе мы рассматриваем не только отдельные вещественные числа, но также и множества вещественных чисел и сопряжения между такимм множестваьш. По нашему определению вещественное число 93 задается свойством рациональных чисел, множество же вещественных чисел,' согласно этому, задается свойством свойств рациональных чисел.

Нетрудно образовать подобные, свойства свойств"; примером может служить следующее определение: свойство „сечения" рациональных чисел будет рода А, если оио неприсуще числу 1 (А соответствует „множестйу всех вещественных чисел ) 1 "). Рассмотрим теперь построение даРхней границы любого подобного множества А вещественных чисел. Граница, вЕщественное число задается некоторым свойством рациональных чисел 6л, причем 6л определяется следующим образом: оно присуще рациональному числу х тогда и только тогда, когда существует свойство 6 рода А, присущее числу х (когда существует вещественное число 6 множества А, ниже которого лежит х). Но чтобы это определение имело какой-нибудь смысл, необходимо не только, чтобы понятие свойства рациональных чисел было ясно и однозначно, но также чтобы совокупность „в с е х в о з м о ж н ы х" с в о й с т в была в себе определена, ограничена и принципиально обозрима, ибо определение это исходит из того, что вопрос „с у щ е с т в у е т лн свойство 6 такого-то характера" (именно такое, которое одновременно рода А и присуще числу х) имеет смысл, относится к некоторому объективно данному обстоянию, позволяюгцему отвечать на вопрос либо утвердительно, либо отрицательно.

Но это далеко не очевидно. Действительно, допустим, что удалось каким-либо образом наметить подобный определенный в себе и ограниченный круг свойств рациональных чисел (я буду называть их х-свойствами), и пусть А будет, как и выше, некоторое свойство свойств. В таком случае вопрос „существует лп х-свойство рода А, присущее рациональному числу х', имеет ясный смысл. В случае утвердительного ответа на него мы припишем числу х свойство 6л, в противном случае скажем, что оно ему не принадлежит. Но с другой стороны, совершенно очевидно, что это свойство 6л (определенное на основе с о в о к у п н о с т и всех х-свойств) согласно своему значению лежит вне к-круга. Здесь обнаруживается, что понятие „свойство рациональных чисел', как я позволю себе выразиться, не объемно- определенно (цш1апдз-бе11п11), и наше определение верхнем границы содержит в себе порочный круг.

Конечно, не исключена возможность того, что свойство 6л равнообъемно с к а к и м - н и б у д ь х-свойством. Таким образом, чтобы придать положению о существовании верхней границы всякого множества вещественных чисел ясный смысл и чтобы установить истинность его, требуется следу.ощее: должна быть построена определенная в себе и ограниченная совокупность свойств, „х-свойств', для которой можно было бы доказать, что некоторое свойство 6л, построенное по вышеуказанной схеме из совокупности х-свойств, постоянно равнообъемно с определ иным х-свойством.

Попытка подобного построенвя никогда еще не была предпринята, не существует ни малейшего намека на то, что подобное построение возможно, оно а рг!оп' столь чудовищно невероятно, что ни от кого нельзя разумным образом требовать заняться этой задачей. Не пускаясь в более глубокий теоретико-познавательный анализ, мы резюмируем полученные результаты следующим образом. Хотя на основании содержания какого-либо ясно и однозначно установленного поня- тня о предмете и может быть указана сфера существования предметов, подпадающих под это понятие, но из этого никоим образом не следует, что данное понятие объемноопределенно, что имеет смысл говорить о существовании подпадающих под это понятие предметов как о некоторой в себе определенной и ограниченной идеальной замкнутой совокупности.

Не имеет смысла говорить так уже потому, что здесь выступает совершенно новая идея существования, ту-бытия (Эа-зе!п), в то время как в понятии трактуется лишь о сущности, о тако-бытии (оо-зе!и). Принять эту гипотезу побудил, повидимому, только пример реальных вещей, в смысле реального внешнего мира, который считается в себе сущим и определенным по своим свойствам. Если 6 есть по своему содержанию ясное и однозначное свойство предметов, охватываемых понятием В, то положение „х имеет свойство 6" устанавливает для любого подобного предмета х совершенно определенное обстояние, которое либо существует либо не существует, суждение само по себе здесь истинно или ложно, без всяких сомнений и колебаний и без возможности какой-либо третьей, лежащей между двумя этими противоположными взглядами, примирительной точки зрения. Если же в частности понятие В объемноопределенно, то не только вопрос „обладает лн х свойством 6 имеет ясный и однозначный смысл для охватываемого понятием В предмета х, но имеет его н экзистенциальный вопрос: „существует ли между охватываемыми понятием В предметамн предмет, обладающий свойством 6Р".

Характеристики

Список файлов книги