Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если А есть какое-либо число, то, как известно, и + й обозначает число, порождаемое из и по следующему закону: 1 порождает к+1; при переходе от и к ближайшему за ним следующему числу число, порождаемое л, также переходит в свое последующее. Здесь мы имеем перед собой закон, порождающий нз всяких двух чисел и и А некоторое число и+тг. Конечно, мы и здесь говорим о (цпс!!о йзсте!а, она содержит два аргумента и представляет собой не простую, а двойную последовательность.
Известно, как из с л о ж е н и я конструируется двойная последовательность умножения, сопрягающая с двумя числами т и л их произведение ш ° и. Двойную последовательность, порождающую из каждой пары чисел ш, и всегда либо 1 либо 2, мы будем называть отношением; более общим образом мы будем называть двойную последовательность, для которой значениями функций являются числа от 1 до Й (и только эти числа), й-членным отношением. В этом смысле, например, неравенство т ( и есть (двоичное) отношение: пара чисел ш, л порождает 1, если т совпадает с одним нз чисел от 1 до л, если же это совпздеиие не имеет места, то ш и и порождают число 2.
Наконец, мы допустим и такие случаи, в которых функция определена не для всех возможных значений аргумента; тогда мы будем говорить о рассеянной последовательности. Это — закон, порождающий из каждого числа либо некоторое, число, либо ничего. Так, например, и — 5 порождается из и по закону, согласно которому числа от 1 до 5 не порождают ничего, а все дальнейшие числа порождают определенное число по правилу: 6 — 5 = 1; п' — 5 =(и — 5)'. Понятие рассеянной последовательности несущественно отличается от понятия просто последовательности, ибо мы можем в данной связи рассматривать ничто, как некоторое предшествующее всем прочим числам число О. Мы приведем еще несколько примеров !ппс!!опез б!зете(ае и докажем несколько простых арифметических предложений. Сперва мы докажем следующее положение: если и есть некоторое число, сравнимое с О по модулю А(=«(п)=з) в вышеприведенном обозначении, то сущестзует такое число и, что п=Ьи, т.
е. существует закон, порождающий из всякого числа п, обладающего характером сравнения О, такое число ш, что п=кш. Мы должны указать этот закон Я („Яцо!!еп!" — „частное ): С~(1)= — 1; если Я(л)=т, то и Я(п')=и, если =„(л) Ь:"й, если же ж«(п)= л, то Я(з') =и'. Теперь легко доказать, что если по- !!1 ! 1 ° 1, 1 ° 2, .
2 ° 1, 2 ° 2, . 1 ° (л — 1), . 2 ° (и — 1), (л — 1) 1, (л — 2) 2, . (л — 1) ° (и — 1) (которую мы можем пробежать так, как пробегаем строки какой-нибудь книги) не совпадает с и. Этот закон указывает, что свойство чисел быть простыми является характером. Здесь правомерно такое указание на суждение: произведение двух чисел ) 1 никогда не есть число простое. Определим закон, не порождающий ничего из 1, а нз всякого числа и) 1 порождающий два числа к (л), х (и) такого рода, что вообще я(и) ° х(п)=п и я(п) есть всегда простое число. Для этого поступим следующим образом. Если и число простое, то пусть к (и) =и, х(п) = 1; если же и не есть простое число, то пусть я(ж)> х(н) будет первой парой чисел в вышеуказанной таблице Т (прочитываемой так, как было разьяснено), произведение которых равно и.
Принимая этот закон, мы можем формулировать следующее положение (абстракцию указания на суждение): всякое число ) 1 содержит в себе некоторое простое число. Сама последовательность простых чисел р„определяется по Эвклиду следующим законом, использующим знак и в его вышепринятом значении: 1 порождает простое число р, = 2, а р„ э, есть первое простое число в ряду чисел от 1 до к (Р, р,...р„ + 1), которое фр„ фра»... ь. р„. Наконец, еще один пример.
Для до-броуеровской логики являлось само собой разумеющимся, что, если и оставался совершенно нерешенным вопрос о правильности „великой" теоремы Ферма, то все же для всякого числа и либо существует трп числа х, у, г такого рода, что л" +ув=ал, либо же для любых натуральных чисел имеет силу выражение х" +у" фз". Формулируя точнее эту самоочевиднейшую истину старой логики, согласно нашей новой концепции, мы получим следующее утверждение: существует закон (в строгом установленном здесь смысле слова), ничего не порождающий из каждого числа и, либо порождающий три числа х„, у„, з„, — закон такого рода, что в первом случае для любых трех чисел х, у, г имеет силу выражение ~+у"-('.г", а во втором случае х„"+у„"=г„".
При такой формулировке (отвлекаясь от того, что это утверждение является теперь чем-то само собой разумеющимся) нет никакого смысла спрашивать, так ли обстоит дело или не так, в надежде встретить некоторое обстояние, дающее определенный ответ на наш вопрос. Здесь речь идет об абстракции суждения, которая имеет силу, поскольку закон построен и поскольку правомерны требуемые им свойства, являющиеся общими утверждениями. Если такой закон (ь нам дан, то мы можем построить из него другой закон, сопрягающий с числом и 1, если (ь ничего ие порождает из и, и 2 — если (ь сопрягает с и трз числа х„у,„л. Этот закон есть в таком случае характер", П2 ложить: — „(и)=(, <Э(а)=т, то вообще имеет место равенство и+ й= =Ит+й Этот закон дает правило, по которому мы действительно производим деление.
Число и есть число простое, если оно ) 1 и если ни одно из бесконечно многих произведений а ° Ь следующей таблицы: отличающий ферматовы числа и (чнсла, для которых верно предложение Ферма) от неферматовых. Если значения двух гппс11опев б1зсге1ае совпадают для двух любых аргументов, то мы говорим, что и сами функции совпадают, если же существует такое число и, пз которого первый закон порождает число, отличное от того, которое порождает из п второй закон, то ыы говорим, что обе последовательности различны. Первое утверждение есть утверждение общее, второе — экзистенциальное утверждение; ни одно из них не является суждением в собственном смысле. Мы не вправе поэтому спрашивать о двух данных последовательностях, совпадают ли они или же они различны, в расчете на то, что дело может обстоять либо так, либо иначе.
Покамест мы устанавливаем только общие положения о числах, а не о свободно становящихся последовательностях чисел, т. е, пока мы рассматриваем только законы, сопрягающие числа друг с другом, а не законы, порождающие из некоторой становящейся свободной последовательности числа, зависящие от исхода актов выборов, или же новую становящуюся числовую последовательность, до тех пор мы находим6~ в области чистой арифметики и алгебры.
Исследование этях, отметавшихся пока нами случаев характерно для анализа. Вышеизложенное достаточно ясно показывает, в каком духе должно, следуя новой концепции, развивать алгебру и арифметику; но радикальные свои следствия, придающие математике совершенно иной облик, чем тот, который присущ ей теперь, новая теория развертывает только в области анализа. Ь) Раисйо гп1хга функция, сопрягающая с каждым числом л некоторую последовательность, т. е. определенный числом ги закон, порождающий из каждого числа л число р(т, л)„ есть не что иное, как двойная последовательность, и поэтому подпадает под понятие 1ппсйо б1ясге(а.
Но каким образом может, наоборот, последовательность, т. е. на этот раз свободно становящаяся последовательность чисел ч = (пп им ...), породить отдельное чпслог' Простейшим случаем, очевидно, является тот, в котором порождаемое число зависит только от ограниченного числа л. членов становящейся последовательности; в этом случае можно быть уверенным, что число определено, как только развитие последовательности дошло до й-того ее члена.
Число членов при этом не зависит от результатов отдельных актов выбора. Например: у'(т) = и, + и, + п, + л (и = 4). Более слом ный случай мы имеем в таком примере: ) (е) = и, + и, +... + иеч Здесь дело обстоит так: когда установлены три первые члена последовательности, то известно, до какого члена (именно (и, + ля + л,)-ного) необходимо продолжать процесс развития последовательности, чтобы определить порождаемое число; этот член зависит от исхода первых трех актов выбора. Подобное усложнение можно повторять (итерировать) 8 Г. Веаеь.
113 далее: например первые десять членов определяют количество г тех членов, которые должны быть известны, чтобы, со своей стороны, определить тот член, до которого необходимо продолжать развитие последовательности, чтобы определить сопрягаемое число, и т.
д. Тут, однако, не говорится, что приведенное усложнение должно повториться два или три или четыре раза, число повторений этого усложнения может само зависеть от исхода первых актов выбора. Если, например, положить 7'(й; ч) = л, + л,... + л» и посредством итерации образовать Л (й; ч') =7(Уг; ч), уч (й; ч) =7', (7'(А; ч); ч'), уд (lг; ч) =7",(г"(й; ч); ч), то теперь можно составить отсюда, например, следующую (нпс1!о ш!х(а (1. ш.): Уш ш л,(7; ч), Я установлю общий принцип, лежащий в основании возможности подобных построений: 1.
Если и есть некоторое натуральное число, а р (л„ п„ ..., пь) — некоторая функция от Й аргументов, и если л„ л„ ...,пь суть первые и членов некоторой свободно становягдейся последовательности ч, то выражением 7(ч)=~у(пи ля, ...,пь) определяется „примитивная" 1. ш. 2. Примитивные 1. ш. являются исходным пунктом для образования высших Е ш., которое происходит согласно следующему принципу: если 7(П; ч) есть уже некоторая построенная Е ш., зависящая от произвольного натурального числа й, а п(ч) также уже построенная 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
