Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

с Ь,Ь'...: У= (а, а', ...,! Ь, Ь', ... ). х'=х+у, у'=х — у Функция есть закон, порождающий нв каждого двоичного квадрата, углы которого являются точкамн пересечения а, а' с Ь, Ь', квадрат У =(а+ Ь, а'+ Ь, а+ Ь', а'+ Ь' ( а — Ь, а' — Ь, а — К а' — Ь'). 124 Если вещественное число а задано последовательностью содержащихся друг в друге интервалов, то число а' получим, строя для каждого интервала г' этой яоследовательиостн „квадрат-интервал" Р. Возникновение а' из а покоится поэтому вовсе не иа сопряжении и и т е р в а л ь н ы х последовательностей, а просто на сопряжении интервалов; речь идет тут о законе, порождающем из каждого интервала 1 интервал Р; этот закон мы называем „функцией хэ".

Если мы имеем последовательность г' содержащихся друг в друге двоичных интервалов, — последовательность, развертывающуюся посредством актов свободного выбора,— то ей, согласно этому закону, соответствует становящаяся последовательность также содержащихся друг в друге интервалов Р. Подобным и~е образом мы определяем функцию х ° у (действие умнозкения) в области двух переменных х, у. В основании этой области изменения лежит система отличающихся друг от друга тремя целочисленными характеристиками лг, н, Ь „двоичных квадратов" с конечными точками Из последнего квадрата образуется интервал 1 согласно закону х' у' (названному выше законом я).

Тем самым оказывается построенной левая сторона равенства ("). Правая сторона строится аналогичным путем. Сперва нз У образуется квадрат .7'=(а', аа', ам ~ Ь', ЬЬ', Ь'э) (это — функция х" = х', у" =у'), а нз него интервал г' по закону х" — у" Равенство (в) утверждает, что, каков бы ни был двоичный квадрат г' интервалы ю' и г всегда перекрываются друг с другом. а Г!риведенные примеры объясняют наь) общее понятие н е п р е р ы в и о й ф у н к ц и н всшественного переменного. Подобная функция определяется не произвольным законом, сопрягаюшим с становящейся интервальной п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю другую стан овяшуюс я интер вальщ ю последовательность, а таким законом, по которому пз каждого двоичного н н т е р в а л а (как скоро он берется достаточно малым) порождяется интервал. Это вполне соответствует тому смыслу, который придается поиятшо непрерывной функции в приложениях математики: раз аргумент задан с и з вес т н о й степенью точности — а в приложениях математики он никогда пе дается иначе, — то становится известным с соответственно11 степенью точности и значение функции.

Эта последняя точность становится вместе со степенью точйости аначения аргумента сколь угодно большой (если мы рассматриваем функцию в некотором ограниченном интервале). Поэтому непрерывные функции суть лишь замаскированные „Гппсйопез с)1асге1ае", и лишь в силу этого в анализе может быть построена общая теория непрерывных функций. Непрерывная функция определяется законом е, порождаюшим из всякого двоичного интервала г' такой же интервал е(гс), нлн же ничего из него не порождаюшим. К этому присоединяется еще закон, порождающий из всякого интервала Г натуральное число пп именно, закон такого рода: если 1 есть какой-либо двоичный интервал, а п — натуральное число == лп то и-ный пз двоичных интервалов, содержащихся внутри г', порождает согласно закону е некоторый интервал (именно интервал, а не ничего), содержашнйся внутри э(г), если м(Г) существует. Условие включения имеет своим следствием то, что двум взаимно пересекающимся интервалам г, г' всегда соответствуют два взаимно пересекающиеся интервала в(Г), м (У), ибо в силу этого условия всегда можно построить содержащийся внутри обоих интервалов г', 1' двоичный интервал г', отображение которого э(г) сушествует и содержится внутри обоих интервалов м(Г) и е (р).

Если а есть некоторое вещественное число, т. е. определяемая некоторым законом до бесконечности последовательность содер>хащихся друг в друге интервалов г', Г', ю",..., то мы образуем последовательность м(Г), ~у(У), м(ю"),... Из этой последовательности выпадают, само собой разумеется, несуществующие отображенные интервалы, и кроме того мы вычеркиваем из нее такие интервалы, которые не содержатся внутри им предшествующих; так как каждому интервалу ю' соответствует число и,, то все жс еще остается бесконечная последовательность.

Построенная подобным образом последовательность отображений представляет собой в свою очередь вещественное число р= м(а), являющееся з и а ч е н и е и непрерывной функции прн значении аргумента, равном а. 125 Если два вещественные 'числа а и и' совпадают, то совпадают также н соответственные нм значения функций р н р'. Две непрерывные функции совпадают, если они определены законами, сопрягающими каждому двоичному интервалу два взаимно пересекаюшнхся интервала'). Как мы видим, нельзя дать определения понятия непрерывной функции в некотором ограниченном интервале, не принимая вместе с тем в опре.

делении равномерной непрерывности и ограниченности Но самое существенное — это то, что в континууме не может существовать никаких других функций, кроме иепрер ы в н ы х. Если в прежнем анализе было возможно построение непрерывных функций, то это только показывает весьма ясно, как далек он был от понимания сущности континуума. То, что теперь называют прерывной функцией, состоит в действительности 1и по существу это только возврат к более старым взглядам) из нескольких функций в раздельных коитинуумах. Рассмотрим, например, вышеприведенные континуумы С, Сь 1х >о) и С (х(о).

Функция у', (х)=х в континууме С+ есть закон, сопрягающий с каждым двоичным интервалом, обе конечные точки котоРого положительны, этот же самый интеРвал. ФУнкциЯ Уя1х)= — 'х в континууме С есть закон, сопрягающий с каждым двоичным интервалом, обе конечные точки которого а, а' отрицательны, интервал — 1= =1 — а', — а). Для обеих этих функций в целом континууме С существует одна единственная функция )х(, совпадающая в С+ с ун а в С с г'„. эта функция сопрягает с двоичным интервалом 1 интервал 1, если обе конечные точки положительпые, и интервал — 1, если обе конечные точки отрицательяы, а с интервалом 1, содержащим в себе точку нуль и имеющим своими концами точки а, а', она сопрягает интервал 1 — а', — а, а, а'). Если, наоборот, мы рассмотрим две функции: + 1 в С".и — 1 в С, то для нпх совсем не существует определенной в целом континууме С функции, совпадающей в С+ с одной из них, а в С вЂ” с другой.

Современному анализу континуум представляется в виде множества его точек, в континууме он видит лишь частный случай основного логического отношения э л е м е н т а и и и о ж е с т в а. Но поразительно, что столь же фундаментальное отношение ц с л о г о и ч а с т и до сих пор не находило себе места в математике! Между тем обладание частями есть основное свойство континуума, и броуеровская теория 1в полном согласии с интуицией, против которой столь сильно грешит нынешний „атомизм" ) кладет это отношение в основание математического изучения континуума. В этом заключается собственно основание сделанной выше при ограничении частных коптинуумов н при построении непрерывных функций попытки исходить не из точек, а из интервалов, как из первичных элементов построения.

Разумеется, и множество обладает частями. Но в царстве „обладающего частями" оио выделяется обладанием „элементов" в смысле теории ') Злесь речь шла об отдел ь но й о пределе.ни ой непрерывной функцяи. Общие же положения о ивх имеют дело с коитинуумом, в котором все они укладываются, с произвольной непрерывной функцией (которую нужно рассматривать как стаповяшуюся).

Более детальное рассмотрение этих понятий завело бы нас здесь слишком далеко. 126 множеств, т. е. частей, которые сами не имеют уже более ч а с т е й; согласно теории во всякой части континуума содержится по крайней мере один элемент. Сушеству континуума, напротив, свойственно, что каждая из его частей неограниченно делима, и далее, понятие точки должно рассматривать как предельное понятие; „точка" есть представление о пределе продолжаемого 'до бесконечности деления. Чтобы изобразить непрерывную связь точек, современный анализ, равбивший континуум на множество изолированных точек, искал прибежища в понятии окрестт н о с т и.

Но так как в силу чрезмерной его общности понятие пепре~ рывиого многообразия оставалось математически бесплодным, то пришлось прибавить в качестве ограничительного условия возможность „триангуляции". В противоположность этому построению, в кратких объяснениях, предпосланных Броуером его известным доказательствам основных положений Апа1уз)з з11пз, изначально заданным материалом являются просто связанные между собой куски, из которых составляется многообразие. Новый анализ оставляет открытым лишь этот путь. Покахсем вкратце, как получается по этой теории математическое определение понятия двухмерного замкнут о го и н о г о о б р а з и я.

Сперва необходимо задать схему его топологического постросния, то, что я называю „двухмерным остовом". Он состоит е»е,г' из конечного количества „вершин" еа (элементов » О-й ступени), „ребер" е, (элементов 1-и ступени), „граней" в (элементов 2-й ступени), которые можно обозначить какими-нибудь символами. Каж-, '%геы дая грань „ограничивается" некоторыми ребрамн, каждое ребро — некоторыми вершинами; соответствуюшие задания составляют существенное содер- Ф .З. жанне схемы. Она должна удовлетворять известным, легко формулируемым условиям. От граней остова мы приходим к точкам многообразия процессом деления, повторяемым бесконечное число раз.

Характеристики

Список файлов книги