Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Мы вскоре приведем примеры этого. ") В первой, из приведенных, работе: „Вейгйпбппя бег Мепйеп!саге п1тавйапй1й чош Ба!х чош апзнезсй(оззепеп Рг!!(епт. 120 утверждают никакого обстояния, а являются указаниями на суждения пли же абстракциями суждений; 3) арифметика и анализ содержат в себе только общие высказывания о числах и свободно становящихся последовательностях, нет вовсе общего учения о функциях или множествах с самостоятельным содержанием! После того как мы дали себе отчет в логической структуре науки о бесконечном, мы рассмотрим в следуююцем отделе в свете полученных результатов проблему континуума.

Ф. Конт нитям До сих пор в математике было употребительно несколько опредечений понятия вещественного числа, и полагали, что можно доказать эквивалентность этих определений. С той точки зрения, на которой мы теперь стоим, эти определения не являются уже эквивалентными, и легко убедиться, что единственно возможным определением остается теперь не дедекиндово сечение, а определение, принятое нами в начале второй части (определение, о котором мы вправе такжесказать, что оно само по себе лучше всего выражает сущность вещественного числа). Мы различали ранее друг от друга двоичные интервалы заданием двух пелочнсленных символов (и; Ь).

Эти двоичные символы легко заменить одним единственным символом, являющимся натуральным числом, если расположить пары целых чисел по некоторому определенному простому закону в перечислимый ряд. Далее„ мы можем, если ю есть какой-нибудь двоичный интервал, расположить естественным образом в перечислимый ряд содержащиеся в ю' двоичные нюютервалы. Если ю' есть интервал л-той ступени, то на первое место мы поставим единственный целиком содержащийся внутри ю интервал (й + 1)-той ступени, затем 5 интервалов (й+ 2)-той ступени, в том порядке, в каком они следуют друг за другом слева направо по числовой прямой, затем 13 интервалов (й+ 3)-той ступени и т.

д. Таким образом ясно, что мы подразумеваем, когда говорим об „и-ном" содержащемся внутри ю' двоичном ин1ервале. Вещественное число определяе1ся законом, поровюдаюощим из каждого натурального числа и двоичный интервал юч"ю, притом так, что юю"л'1 всегда содержится внутри юч"Е Если мы желаем освободиться от этого условия включения, то мы заменим задание (и+ 1)-го щггервала юц"+ю1 заданием его порядкового номера среди содержащихся внутри ю""ю двоичных интервалов; тогда вещественное число определяется заданием первого интервала ю н этой последовательностью порядковых номеров, т. е. законом, порождаюпюим из всякого натурального числа и натуральное число п, Последовательность интервалов начинается с'интервала, ю' = ю', затем след)юет 1а-й из содержаюцихся внутри ю' двоичных интервалов, ю", затем 2а-й из содержащихся внутри ю" интервалов,ю'", и т. д. „Произвольное вещественное число", „вещественная переменная" выражается становящейся последовательностью двоичных интервалов, причем интервалы последовательно выбираются свободно, при одном ограничительном условии, именно, при условии, что при всяком новом акте должен быть выбран интервал, содержащийся внутри последнего выбранного интервала.

Если мы желаем заменить этот связанный некоторым предписанием выбор совершенно свободным выбором, то нужно, 121 как выше, выбирать не интервалы, а порядковые номера. Под интервальной последовательность ю мы будем понимать отныне последовательность включенных друг в друга двоичных интервалов. Два вещественных числа а, р совпадают, если г',~" >, и-ный интервал последовательности а, и гф" 1, и-ный интервал последовательности р, всегда взаимно перекрываются, целиком или же частично; два числа разделены, если существует такое натуральное число и, что 2 (") и ф~") совершенно разделены. Обе эти возможности не образуют вовсе совершенной дизъюнкции, ведь ни одна из них не является дефинитным отношением между произвольными вещественными числами а и р. Это совершеняо соответствует характеру интуитивного континуума, нбо в нем раздельность двух мест при их сближении переходит постепенно, так сказать расплывчатой градацией, в их неразличимость.

Но сохраняет свою силу положение: если а совпадает с ~), а р совпадает с у, то а совпадает с т. Правда, из трех интервалов, в которых два первых и два последних пересекаются, первый и третий могут и не перекрываться. Но если этот случай произойдет на определенном месте Ь наших интервальных последовательностей, то в дальнейшем нх развертывании должны отделиться друг от друга либо последовательности а и р, либо же последовательности р и у.

В явном виде, наше положение гласит следующее: существует некоторая зависящая от натурального числа и функция Г(и;а,р;у) трех становяшихся свободных последовательностей а, р, т, порождающая всегда нз аргументов определенное натуральное число лг, если перекрываются с одной стороны с'„<'> и ф<"~ и с другой ф~"~ и гт<">, а ю'„~"> и гти'> остаются раздельными, и притом так, что имеет силу следующее: как бы ни развертывались далее за пределами и-ного места интервальные последовательности а, р, у, на т-ном месте разделены либо г',~м> и гз~ ~,либо гр'м> и гт< К Построение такой функции г, разумеется, чрезвычайно просто.

Рассматриваемое нами положение покоится, как легко видеть, не на том, что а, р, у суть „приближенные значения", а на том, что приближение может быть сделано сколь угодно большим. Поскольку для интуитивно заданного континуума это не имеет места (вспомним хотя бы известный пример с локализацией тактильных ощущений, испытываемых при прикосновении к поверхности руки обоих острий циркуля), постольку в „транзивнтивности" совпадения находит свое выражение м а те м атическая идеализация действительности.

Континуум является здесь как нечто, становящееся вовнутрь до бесконечности. В интуитивно данной действительности процесс становления простирается лишь до некоторого пункта (ибо данное есть, а не становится) и переходит постепенно в совершенную неразличимость; в математике, напротив, мы рассматриваем этот процесс как развертывающийся в бесконечность. В о всяком случае бессмысленно рассматривать континуум как нечто готово-сущее. Можно (и даже должно) со всей серьезностью утверждать, что настоящее не есть нечто уже готовое в себе и определенное, а что оно само, вовнутрь стан ови тс я в процессе перехода в будущее, н только, так сказать по „скончании всех веков", становится совершенно точно определенным всякий отрезок мировой действительности, хотя бы, например, тот, который я сейчас переживаю.

Это обстоятельство кажется мне чрезвычайно важным для оценки метафизиче- 122 ско[о значения каузальности в природе, но здесь не место заниматься этим вопросом. Бели мы возьмем на числовой прямой С, области изменения вещественной переменой х, некоторую определенную точку, например х= О, то, как мы виделп, нельзя никоим образом утверждать, что всякая точка либо совпадет с этой первой точкой, либо же раздельна от нее. Таким образом точка х= О вовсе не разбивает континуум иа две части: С : х ( О и С+: х > О, в том смысле, что можно составить С из соединения С и С+ и одной точки О (т.

е. в том смысле,' что всякая точка континуума либо совпадает с О, либо же принадлежит к С нли С'). Если это шокирует современного математика с его атомистическими навыками мышления, то в прежние времена это являлось чем-то само собой разумеющимся: хотя внутри континуума и можно выделить частичные континуумы путем полагания границ, но бессмысленно утверждать, будто целостный континуум состоит из границ и этих частичных континуумов. Подлинный континуум есть нечто в себе связное и не может быть разделен иа отдельные кусни, подобное разделение противоречит его сущности. С+ есть континуум в том же смысле, что и С, т.

е. среда свободного становления, и при математическом рассмотрении его мы должны исходить не из точек, а из интервалов. В основании его лежит система Е" тех двоичных интервалов, которых первая характеристика лг положительна. Закон, порождающий из каждого натурального числа некоторый интервал этой системы и притом так, что интервалы последовательности включаются друг в друга, дает нам определенное число в континууме С+; акты выбора, связанные с системой Е+ и с условием включения, но в остальном совершенно свободные, порождают становябгуюся последовательность, представляющую „переменную, движущуюся в области С+". Здесь мы убеждаемся, что „точечные множества", рассматриваемые в качестве области изменения аргументов функции, являются только замаскированными „интервальными множествами", точнее дефиннтными интервальными множествами.

В рамках анализа возможно общее учение только о таких точечных множествах, ибо эти множества попадают под рубрику йшс11опез б1зсге1ае. Наряду с системой Е+ мы ил~ели выше систему Е двоичных интервалов, первая характеристика которых лг<' О, и в-третьих, систему Е' двоичных интервалов, характеризуемых условием т = О. Е+, Е, Еа соответственно определяют континуумы „лежащих справа от нуля", „слева от нуля" н „совпадающих с нулем" точек. Рассмотрим теперь какое-нибудь обыкновенное действие с вещественной переменой х, например х'.

Из нескольких, взятых в конечном числе двоичных дробей а, а',... можно легко построить единственный двоичный интервал высшей ступени, содержащий все эти двоичные дроби. Обозначим этот интервал так: (а, а',...). Если гл — 1 ь 2 то+1 суть конечные точки некоторого интервала О то квадраты всех двоичных дробей, лежащих в интервале 1, содержатся, со своей стороны, в интервале 1" = (а', аа', а'а). л -+. 1 У= ь 2ь гл +-1 х=: —, ~л > Если мы положим ь и+1 и+1 л 2 и — 1 Ь=— и > 2 и — 1 а= — —— в > 2 то этот квадрат У дает интервал я()) =(аЬ, а Ь, аЬ, а'Ь').

Этот закон я есть функция х у. Если У пробегает становящуюся последовательность содержащихся друг в друге квадратов, то я(./) пробегает становящуюся последовательность содержащихся друг в друге интервалов. 6 Наконец, дадим интерпретацию имеющему силу 6" в области двух переменных тождеству (в) (х+у) (х — у) = х' — у'. Пару двоичных дробей а, Ь мы называем „точкой пересечения а с Ь". Если а, а',...— несколько (наФвг 2. пример три) заданных двоичных дробей и если кроме того задан еще второй ряд из конечного числа (например четырех) двоичных дробей Ь, Ь',..., то мы можем построить наименьший положительный квадрат, содерягащий все (3 4) точки пересечения а, а',...

Характеристики

Список файлов книги