Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

На пути к построению теории множеств в той всеобщности, которая бьша ей придана Кантором, попрсжнему егце фигурируют в качестве препятствий тины Ресселя, но судьба анализа совсем не так уж тесно связана с общей теорией мнохгеств. Анализ, повидимому, может удовлетвориться первыч типом, т. е. тем случаем, когда оперируют лишь аргументами и элементами числового ряда О, 1, 2,...

Окончательная формулировка и доказательство теоремы об отсутствии противоречия еще отсутствуют. Однако ясно, что и в формализованной математике все богатство идей, возникшее в процессе развития анализа, сохраняет — правда, в модифицированном виде — свое значение. Формалистические устремления, подобные тем, которые претворяет в действительность Гильберт, лежали еще в основе „всеобщей характеристики" Лейб;шца. Некоторые утверждения Лейбница звучат при этом так, как если бы он полагал, что, с одной стороны, бесконечно малое не'1 подлается — так же как и интегрирование т„ — никакой разумной реальной интерпретации, но что, с другой стороны, в мире вещей все происходит так, как будто бесконечно малое действительно существует, для математика же важно лишь одно: чтобы это понятие могло быть без противоречий включено в его символическое исчисление.

Читателем, однако, вероятно уже давно начало овладевать чувство тягостного стеснения, подобное тому, которое испытал бы живой человек, каким-то чудом перенесенный в царство теней. Где мы находимсяй Разве%еред нашими взорами не восстает здесь только бескровный и лишенный всяко~о содержания призрак прежнего анализа? Нег сомнения, вель для того чтобы математика могла сохранить значение серьезного культурного фактора, необходимо связать с гильбертовой игрой в формулы какой-нибудь' смысл, и я полагаю, что возможен только один способ придать этой игре вместе с ее трансфинитной частью самостоятельное духовное значение. Теоретическая физика яваяет нам великий пример познания совершенно иного типа, чем обычное интуитивное или феноменальное познание, просто перечающее данное нам в интуиции.

Тогда как все суждения феноменального познания облалают каждос своим собственным, целиком почерпанным в созерцании смыслом, отдельные положения теоретической физики носят совершенно отличный характер: когда теория сопоставляется с опытом, то сопоставлять прлходится только в с ю с н с т е м у к а к ц е л о е.

В теории сознанию удается „перескочить через свою собственную тень", оставигь позади себя ма-. терию непосредственно данного, представить трансцендентное, но само собою разумеется, только в с и и в о л и ч е с к о м в н д е. Теоретическое оформление есть нечто иное; чем интуитивное узрение, и цель его не менее проб юматична, чем цель художественного построения. Над 31 1деализмом, призванным низвергнуть насквозь пропитанный с теоретико- познавательной точки зрения абсолютистскими идеями наивный реализм, возвышается трегье. царство, в пределы которого, например, вступил Фихте в третий период своей философской деятельности. Но он становится игсртвой еще и той мистической ошибки, согласно которой трансцендентное может быть нами в конечном счете включено в круг пнт>ч:тивного узрения. Между тем здесь перед нами остается один только путь символического построения, которое, полагаю я, никогда не приводит к окончательному результату (в противополо'кность феноменальному познаншо, в которое хотя и могут в силу человеческого несовершенства вкрасться ошибки, но которо: по существу своему всегда неизменно), а носимое процессом соверша|ошейся в нас жизни духа постоянно должно быть иачииаемо сызнова.

Символическое построение не есть воспроизведение данного, ио оно также не является, как этого хотели бы иные крайние течения в новейшем искусстве, произвольной пустой игрой. Изо всех принципов разума, руководящих процессом э~их построений, нам до сего времени удалось сколько-нибудь отчетливо выяснить значение одного лишь пршшипа непротиворечивости, но едва ли он является единственно решающим дело. Задачей матейатиков ягляется наблюдать за тем, чтобы по крайней мере это сопббйо йпе опа поп было строго соблюдаемо.

Если я назову феноменальную интуицию з н ан нем, то теоретическая интуиция покоится на вере, на вере в реальность собстсенного н чужого я, или в реальность внешнего мира, или в реальность божества. И если органом первой является „зрение" в широком смысле этого слова, то органом теории служит „творческое начало". Если Гильберт не занимается исключительно игрой в формулы, то он стремится создать теоретическую матемапшу в противоположность интуитивной броуерозской. Но где же находится это утверждаемое верой трансценаентное, к которому относятся наши символы? Я не представляю себе, чтобы его можно было найый не слив воедино математику и физику и не допустив, ч|о математические понятна чпслз, ф>гйкцин н т.

д. (илн же символы Гильберта) принимают принципиально то «ке участие в теор тиче:ком построении действительного мира, как и понятия энергии, тяготения, элекгрона и им подобные. Из истории физики видно, что интуиция и теория постоянно должны итти рука об руку. С одной стороны, нельзя отрицать, что феноменализм Маха был опровергнут теорией атома, но с другой, теория относительности Эйншзейна показала, сколь важну|о роль может сыгрзть возврат к интуитивному смыслу теоретических построений (геометрия) и искпочение чрезмерно произвольных элементов (абсолютное прас ранстао).

Далее если развитие на> ки пойдет далее в предуказанном Гильбертом направлении, все же вероятно в один прекрасный день символ т„ как сретство теоретического воссоздания конгинуума будет отброшен, как было отброшено абсолютное пространство Ныл|она. Поэгому существенно ваящо, что Броуер вновь укрепил в нас стремление к интуитивно данному. В его анализе отчетливо выступает содержание изначальной л1атематичсской интуиции, и ечу поатому свойственна свободная от какой-либо загадочности ясность. Но наряду с броусровскнм следует продвигаться и ~ю предложенному Гидьбертом ,И пути, ибо нельзя отрицать, что в нас жива непонятная с точки зрения чистого феноменализма потребность в теории, творческий порыв которой к символическому изображению трансцендентного нуждается в удовлетворении. Саи принимая участие в борьбе разлцчных сторон, я пытался аале ~га е1 Мпб!о обрисовать современное положение вещей.

Из изложенного видно, как тесно сплетается в своих осиовах математика с общими проблемами познания. Здесь в новой и в высшей степени обостренной форме находит свое выражение итдревняя противоположность между реализмом и идеализмом, между бытием Парменида и становлеиием Гераклита. П. ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ В двух частях этой работы освс.цены некоторые важнейшие установки и обобщении философского характера, главным образом выработавшиеся на почве мзгематнческих и естественно-научных исследований. На связь, существу>ошую между этими философскими по.троенчями и великими философскими системами прошлых времен, я буду указывать в тех случаях, в ко;орых она мне представляется достато ню ощутительной.

Г!оясннтельные примеры я буду выбирать возмо:кно более простые; однако в принципе занятие философией наук безусловно должно предполагать. знание самих наук. Наш метод изложения основ и а т е м а т и к и будет вести от поверхности вглубь, и фора>зльная трактовка проблем бесконечного будет предшествовать трактовке пх по с>шеству.

Тщательное установление формальных прелпосылок и строгая формулировка этих издавна уже существующих и назревших проблем является делом новейшего времени. Среди творцов философии Лейбниц обладает особенно сс>рым пониманием сущности математики, и математика входит в его систему философии' в качестве органической и важной ее составной части.

А.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА. АКСИОМАТИКА Мы обязаны грекач знанием того, что структура пространства, проявляющаяся во взаимоотношениях пространственных образов и в закономерных аависимостях между этими о.>ношениями, представляет собой нечто совершенно рациональное. В отличие, например, от единичного объекта реального мира, когда мы должны всякпй раз снова и снова обращаться к нашей интуиции для выявления все новых его признаков, могущих быть описанными только при помощи дескриптизных понятий довольно неоцрелеленного объема, структура пространства может быть исчсрпывающим образом охарактеризована посредством немногих точных понятий и в немногих положениях — аксиомах, так что все геопетриче кие поня>ня могут быть определены при помощи этих основных понятий, и.всякое истинное геометрп"еское утверждение являетса логическим следствием аксиом.

Благодаря этому геометрия явилась прообразом д е д у к т и в н о й науки. И в силу такого ее характера для математики представляют выдающийся интерес те методы, посредством которых одни понятия определяются через другие и одни суждения выводятся из дру- гнх. (Логика Аристотетя была по суще тву отвлечена нз математики.) Более того, и удовлетворительное обоснование самой математики прежде, чен будет полностью объяснена сущность этих методов, представляется невозможным. 1.

Характеристики

Список файлов книги