Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Разрешение вопроса при помощи анализа смысла свойств в этом случае невозможно, единственным критерием является фактическое обстояние в мире существующих вещей. Вопрос о принадлежности к множеству элемента того или иного рода не может быть разрешен в данном случае так, как в случае конечной, состоящей из отдельных определенных предметов совокупности, когда для этого достаточно перебрать один за другим ее элементы.

Еще серьезнее дело обстоит в случае такого вопроса: существует ли в данном бесконечном множестве, например во множестве всех рациональных чисел, подмножество, удовлетворяющее некоторым определенным условиямг' Мы ведь можем оперировать только такими множествамн, которые определены закономерно при помощи какого-либо характерного для их элементов свойства. При этом, однако, с трудом избавляешься от впечатления, что вместе с тем заодно выбрасывается за борт хаотическая масса возможностей, масса произвольных, беспорядочных, незакономерных множеств, Теория множеств откидывает все эти идеалистические сомнения, связанные с размышлениями о том, как множества могут быть вадаваемы по самому своему смыслу; она убеждена в том, что ответ на вопрос: „существует или не существуетг" в применении к бесконечному множеству элементов или подмножеств кроется при любых условиях в некотором существующем само по себе фактическом обстоянии, хотя бы нашему разуму удавалссь лишь благодаря счастливому случаю набрести иа математический метод, позволяющий найти и высказать этот, до того сокровенный ответ.

Само по себе или же для бога определено до самого конца решительно все. Такова точка зрения этой абсолютистской концепции существования, аналогичная тому убеждению ее, что в переживаемых нами процессах внешнего мира не заключается никакой неопределенности, хотя наша интуиция всегда только приближенно различает места в пространстве и качества и никогда не в состоянии разделить их одни от других абсолютно точными гранями. Все это представляет собою как раз тот самый строй мыслей н чувств, на основе которого возникла идеальная, оперирующая с законченно точными сущностями геометрия греков. В применении к вопросу о делимости Плуке в своим- „Рг!пс!р!а бе ЯпЬз!ап!!!з е! Рпеппошеп!з" (1764, гл. ХП) выражает эту концепцию следу!ощим образом: „Делимость может быть здесь рассматриваема двояким образом.

Речь может итти либо об объективной, либо же о субъективной разложимости. Объективная, т. е. поскольку материя действительна, делимость зависит от божественного представления, доходя до тех пор, до каких видит разложимость божест. 15 я венный разум. Субъективная же делимость материи не распространяется за пределы наших представлений". Впрочем для теоретико-множественного анализа континуум делим в самом полном смысле слова: множество всех чисел может быть разложено, например, на множество чисел )О и множество всех чисел (О; здесь налицо безостаточное разделение континуума, число О по определению также принадлежит лищь к одному из этих двух множеств.

Возможны разбиения континуума и совершенно иного типа, недоступные нашей интуиции, например на множество всех десятичных дробей, состоящих исключительно иа цифр 1, 2, 3, 4, и множество таких дробей, в которых по крайней мере хоть на одном месте имеется какая-либэ другая цифра. Развитие в недрах математики теории множеств, навеки связанной с именем великого мыслителя Георга Кантора, свидетельствовало лишь о том, что анализ, наконец, пришел к осознанию 1п аЬа1гас1о уже давно употреблявшегося им метода.

Если только принимается точка зрения допустимости неограниченного применения терминов „существует" и „все" и относящихся к ним принципов логики, то грандиозное здание анализа приобретает несокрушимую крепость, оказываясь прочно заложенным и строго обоснованным во всех своих частях. Понятия анализа приобретают точность, а доказательства — безупречную последовательность и непротиворечивость. Конечно, потребовалось большое математическое остроумие для того, чтобы доказать столь очевидные для интуиции наиболее общие свойства непрерывности, как, например, такое ее свойство, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения, что замкнутая плоская кривая без двойных точек делит плоскость на две области или что двухмерная область не может быть взаичнооднозначно и непрерывно отображена на трехмерную. На опыте занятий с нашими студен.

тами мы всякий раз вновь убеждаемся в том, сколь длительное обучение требуется для того, чтобы приэбрести необходимую для понимания этих доказательств во всей их строгости беспредвзятость мышления. С другой стороны, наряду с такими подтверждающими интуицию теоремами, анализ открывает многие недоступные ей вещи: нигде не имеющие касагельной или же заполняющие полностью квадрат непрерывные кривые и т. и. Теоретико-множественный метод воцарился не только в анализе, но и в арифметике и даже в самой начальной области математики — в учении о ряде натуральных чисел 1, 2, 3, ... И, может быть, лучше всего можно уяснить себе сущность этого метода на примере, взятом из этой области.

Ряд натуральных чисел возникает, когда, начиная с 1, от кам<дого данного числа переходят затем всякий раз к непосредственно за ним следующему. С этим связано то обстоятельство, что факт существования какого-нибудь присущего этому ряду общего свойства может быть установлен только при помощи „п о л и о й и н д у к ц и и", йь е. выяснения того: а) в каком отношении это свойство находится ;,к первому числу 1 и Ь) каким образом оно переносится с произвольно взятого числа п на непосредственно следующее за ним и'. Пример: „четное" и „нечетное"; а) 1 нечетное число, Ь) п' четное (или же нечетное) число, если и нечетное (или же четное). Сказанное о свойствах 16 аналогичным образом относится н к доказательствам. С теоретико-множественной точки зрения ряд натуральных чисел являе~ся закопченным в себе множеством ~', для которого определено некоторое отображение и — ьв', сопрягаю~нее однозначным образом со всяким элементом и множества другой элемент и' (непосредственно следующее за и число).

Тот факт, что любое заданное число можно получить из 1 путем перс- хода к ее отображению 1'=2, а потом при помощи вторичного применения операции отображения, переходя к 2' =.3 и т. д., — это как будто неразложимое понятие „и т а к далее", составляющее саыую сугцность натурального числа — в теории мнолкестз выражается следующим образом: всякая цепь, содержащая в качестве элемента единицу, толкдествениа с х'). При этом К, подмножествомножества 7, называется цепью, если оно обладает тем свойством, что если х есть элехент К, то и его отображение х' является элементом К. Англогичным образом можно определить, — и здесь принцип полной индукции заметен будет еше отчетливее — в каком случае натуральное число и будет, например, ~5.

Это именно имеет место тогда и только тогда, когда это число принадлежит ко всем цепям, содержащим в качсстве элемента число 5. Конечный критерий („когда перечисление-чисел от ! до и идет дальше шола 5') заменяется тут бесконечным, требующим, согласно своему буквальному смыслу, рассмотрения всех возможных подмножеств множества У, но на место чего-то специфически арифметического, операции повторения „еще рзз", повторения ее 1п !пй. п!!шп, здесь выступают общие логические понятия (множество, все, сопряжение)..

Для теории множеств пе существует принципиального различия между конечным и бесконечным. Бесконечное с ее точки зрения представляегся даже более простым: множество — б е с к о и е ч н о, если его возможно обратимооднозначно отобразить на нетождественное с ннм его подмножество (например в случае Л прн помощи отображения и-+.л'); конечным >ке является такое я~ножество, для которого невозможно ни одно такое отображение.

Демаркационная линия между математикой и логикой стирается, в учении о множествах математика уже не обладает более каким-либо специфически ей свойственным содермганисм и оказывается пе чем иным, как достигшей полной зрелости логикой. Для послед)тощего полезно будет рассмотреть еше один пример из области анализа — именно, доказательство того, что заключающееся в интервале О ! множество вещественных чисел Й обладает верхней границей ? (чтобы быть верхней грапицей, вещественное число ? должно обладать тем свойством', чтобы все числа множества Я были (? и чтобы при замене ? каким-нибудь ыеньшпм число ?' в ?! наверное существовали числа, не удовлетворяющие уже только что указанноиу условию, а напротив прево-ходящие ?'). Для доказател ства образуется множество рациональных чисел Е, обладающее тем свойством, что дро?ь х может со .ержаться в Е тогда и только тогда, когда она ыепьше к а к о г олибо из зяклочающ~хся в 6 вещественных чисел.

Множество Е, согласно Эздоксу и Дедекинлу, определяет собою [в качестве класса (!), ') Р Е 6 Е ь1ПС!. т!?ал иац ШИ1 ттая ЗОПЕП О1Е 2аЫЕя, Втаяаае!тттЕ!И 1ь87, я г иея 1? см, выше) вещественное число 7. Лег!го убедиться, что это число Т обладает трсбуемыч сво! с вом '~ В системе математики имеются два обнаженных пункта, в которых она, может быть, соприкасается со сферой непостижимого.

Это именно принцип пестрое«ия ряда натуральных чисел и понятие континуума. Все остальное: переход от натуральных чисел к отрицательным и дробным, так же как и введение мнимыХ и гиперкомплексных величин, представляет собою задачу формальной логики, не таящую в себе уже никаких трудностей и загадок; мистическая дымка, долгое время обволакивавшая мнимые величины, окончательно рассеялась. Теория мнохге тв надеется и в этих двух пунктах возвести прочную плотину и запрудить поток бесконечного, грозящий затопить в своем течении наш дух. 3.

Антиномии и твое ня типов Рпссвля Но „задули теплые ветры", и, как выражается Ницше, теперь все снова „в течении". На крайних, уже !еряющнхся в тумане, границах теории множеств обнаружилось вскоре несколько тре!цип и обы!вились бьющие в глаза противоречия; однако это, казалось, ни в коей мере не угрожало основной, центральной области математики. В качестве первого примера я приведу антиномию, принадлежащую Ришару. Из десяти цифр, букв алфавита и знаков препинания можно составить лишь конечное число таких предложений на немецком языке, которые содержали бы меньше тысячи указанных знаков. Поэтому существует лишь конечное количество таких чисел ряда 1, 2, 3,..., которые можно определить при помощи этих предложений, Рассмотрих же „первое натуральное число, которое !:ельзя определить при помощи предложения, состоящего менее чем из тысячи знаков"! — Но ьедь как раз приведенные в кавычках слова и дают определение нашего числа, состоя!цее менее чем из тысячи знаков! В приведенном только что виде это противоречие еще слишком не точно сформулировано для того, чтобы быгь подвергнутым математическому исследовани!о.

Но заменим слова немецкой речи несколькими действиями, позволяющими из любого числа получать некоторое другое число. Такими действиями могуг быть, напричер, прибавление 1 и умножение на 2. Рассмотрим теперь все числа, которые могут быть получены из 1 в результате любой, но максимум четырехкратной, комбинации этих действий, и обозначим через а наименьшее из всех тех чисел, которые нельзя получить подобным путем ').

Характеристики

Список файлов книги