Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Отдельная, определенная вплоть до бесконечности при помощи какого-либо закона, последовательность интервалов определяет собою отдел ьн о е же вещественное число, а свободная становящаяся последовательность интервалов ') Выражекие,число $ заключается в иитервале (а, ь)" обозначает, что пк $ ~з. 24 определяет собою континуум. Лва вегцествснные числа а, р со в п ада ю если г',щ1, и-й интервал последовател, ности а, и ю' <"1, и-й интерват последовательности р, целиком или частично перекрываются для любого значения и; этн числа р а зл и ч н ы, если с у щ е с т в у е т такое натуральное число и, при котором интервалы г'„'"1 и 1-~"~ лежат раздельно пру~ от друга. Соглзсно Броуеру, однако, эти две возможности вовсе не образуют собою полной альтернативы.

Эго представление прекрасно согласуется со свойствами континуума, данного нам в нашей интуиции, ибо в нем раздельность лвух мест псрехолит при их сближении в неотличимость, так сказать, постепенно, через целый ряд расплывчатых промежугочкых сгаднй. В континууме, по Броуеру, существуют только непрерывные функции. Континуум нельзя составить из отдельных частей. Так, я могу выделить из континуума вещественных чисел подконтинуум положительных чи.ел, использовав при построении интер. галов и нх последовательностей ~олько положительные двоичные дроби, но ошибочно представление, будто весь континуум состоит из положите..ьных, отрицательных и совпадающих с 0 чисел — состоит из них в том смысле, что каждое число должно принадлежать к одному из эгих трех континуумов.

Та мыслгч которая выражена в приведенной в гл. 1 цитате нз Аристотеля, находит здесь себе горазло более точное выр и<ение. Вновь обретает силу старый прикцип, гласившиг!, что „нельзя разделить то, что не является само по себе разделенным" (Гассенди). Еще Дечокрит совершенно спр.ведлнво указывал, что, есл~ я могу сломать палку, то, значит, она и раньше не составляла некоего целого; неизбежным следсгвием отсюда является строжзйшая атомистика. Поэтому все теории естествознания, в которых последовательно проводятся принцип непрерывности, как, например, современная теория полз, возвращаются к той точке зрения, что образующая палку контннуальиая реал.ность и после разлома ее сплошь заполняет пространство ').

И если бы, в соответствии с парадоксом Зенона, отрезок длины 1 1 1 1 можнобылосоставить из бесконечного количества отрезков длины —, —,— 2 ' 4 ' 8'"' взятых каждый как отдельное целое, то непонятно, почему какая-нибуль машина, способная пройти эти бесконечно многие отрезки в конечное время, не могла бы совершить в конечное время бесконечное мкожество актов решения, давая, скажем, первый результат через '/з минуты, второй — через '(4 минуты после этого, третий — через '/а минуты после второго и т. д. Таким образок оказалось бы возможным в про:нворечис с самой сущностью бесконечного чисто мсханическич путем рассмотреть весь ряд натуральных чисел и полвостщо разрешить все соответствующие экзистенциальные проблемы.

С точки зрения нашей интуиции против теории Броуера моягно выставить егде то возражение, что она не преодолевает дискретное до конца, поскольку она при помощи рациональных чисел устанавливает в континууме совершенно точные границы. Но слелует иметь в зилу, что тот числовой остов, на котором покоится выделение „двоичных интервалов", ни на одной стадии процесса образования интервалов не является метри') Ср. % е у 1, Цгае Ы Магег1е, Берлин 1924.

2Б чески точно фиксированным, нзпротив, точки, служивп>ие разделительными пунктами на более ранних стадиях процесса, все более и более уточняются при его продолжении. Исходным пунктом математики является ряд натуральных чисел, т. е. закон я1, порождающий из ничего первое число 1 и изо всякого уже'заданного ~псла — число, непосредственно за пим следующее. Математические теоремы частью относятся ко всей совокупиосги натуральных чисел, частью же ко всей совокупности возникающих в резульгате актов свободного выбора становящихся последовательностей натуриьных чисел. Они относятся, следовательно, частью к простирающейся в бесконечность и поро>кдзсь>ой беспрелельным развертыванием управляемого в своем развитии законом ~> ряда нату,:альных чисел возмо>кности, частью >ке к заложенной в самой сущности становящейся числовой последовательности бесконечной свободе все новых и новых ничем не детерминированных актов выбора, которая способна на кажлом шагу остановить на произвольном месте начинающийся сызнова процесс рази>мия ряда натуральных чисел.

В прироле самого пела заложено, что то узрение сущности, из которо~о проистекают обп:ие теоремы, всегда основывается на полной индукции, на изначальной математической интуиции. Применение математики в науках о лействитетьном мире, особенно в физике, в конечном счете также выражает собой тот фзкт, что мы в состоянии дать теоретическое изображсние б ыт и я исключительно на фоне в о з и о жного') (пример, пустое пространство как срета возл>ожных пространственных коинцилснций). Математика не является окаменелой и приносящей с собой окаменение схемой, как это часто думают профаны, нет, здесь мы находимся как раз в том узловом пересечении нео5ходимости и своболы, которое состзвляет сущность самого человека.

В изложении Брэуера математика приобретает максимальную интуитивную ясность, учение его является продумзнным до самого конца математическим идеализмом. Но математик со скорбью смотрит на то, как словно туман расплывается ббльшзя часть его,еысоко вознесшихся теорий. б. СимволическАИ МАтемАтикА ГильвевтА Неужели не оставалось никакой возя>жности избежать столь радикачьных послслстзийг Решигься на такую жертву вдвойне тяжело в силу того исторического факта, что в пределах самого анализа, несмотря на самые смелые и многообразные комбинации, удалось при помощи чрезвычайно тонких методов достигнуть совершеннейшей строгости в заключениях и о5щеизвестного единодушия в оценке достозерюсти полученных результатов.

Гильберт берется „восстановить прежнюю добрую славу непоколебимой строгости математики, как булто потерянную ею под уларами парадоксов теории множеств", и утзеряглает, что это возмо>кпо осуществить, сохранив аа математикой все ее достояние. Орудием спасения при этом является испытанный им в разнообразнейших областях ма>) Некоторые замечания об этом имеются у Возсот>сщ Т)>еопа рЫ!озорЫса пашгайз (Венеция 1763); вопрос о теч, как может зависеть сосгояиие реальной материи от чего-то исключительно „возможного', рассматривается также в рассуждениях Эйлера об абсолюпюм пространстве.

Ю тематики и физики и детальнейшим образом разработанный аксиома. т н ч е с к и й м е т о д. Разумеется, это его обеп анне нельзя понимать в букваяьном смысле, ибо„несмотря на страстную полемику с интуиционистскими идеями Броуера и Вейля, и он совершенно убежден в том, что сфера действия содержа!ельного мышления не превосходит пределов, у гановленных Броуером, н в том,'что оно не в состоянии п„оизводнть трансфинитных математических умозаключений и что трансфинитные теоремы математики нн в коем случае нельзя почитать за обладающие реальным солержанием, смыслом истины.

Гильберт стремится установить не истину старого анализа, а его непротиворечивость '). Этим по крайней мере был бы объяснен упомянутый исторический факт полного единодушия всех работников на поприще анализа. Но для того, чтобы получить доказательство непротиворечивости, 1ильберт должен прежде всего, формализовать" математику.

Подобно тому как в системе геометрических аксиом не играет никакой роли реальный смысл в действительном пространстве понятий „точка", „плоскость", „между" и т. д. и все внимание сосредоточивается на логической связи геометрических понятий и теорем, так и здесь, только еще более решительным образом, должно быть изгнано какое бы то ии было, хотя бы чисто логическое значение понятий. Теоремы преврашаются в лишенные всякого смысла фигуры, составленные из комбинаций нескольких символов, и математика оказывается уже не знанием, а управляемой некоторыми условными правилами игрой в формулы, вполне подобной игре в шахматы.

Шахматным фигурам в математике соответсгвует ограниченный запас с и и в оп о и, расположению фигур на доске— объединение символов в формул'у. Одна илн несколько формул принимаются за аксиомы; им соответствует известное расположение фигур в начале шахматной партии. И подобно тому как в шахматах из какойннбудь конфигурации после подчиненного известным правилам передвижения фигур хода получается новое расположение фигур на доске, так и в математике действуют формальные п р а в и л а в ы в о д а, согласно которым из одних формул могут быть получены, „выведены" новые формулы.

Под правильным расположением фигур на доске я понимаю такое, которое получается из начального расположения в разыгрываемой по всем правилам игры шахматной партии. В математике аналогом этого служит доказуемая (илн лучше — доказанная) формула, полу. чающаяся нз аксиом на основе правил умозаключения. Некоторые формулы определенного начертания мы называем н ротивореч и яки; так, в шахматах мы, например, считали бы противоречивым положение, при котором в игре налицо 10 королев одинакового цвета. Подобно тому как мат является руководяшей целью в шахматах, так и некоторые формулы вызывают в играющем в математику желание получить их в качестве результирующей формулы из подходящим образом подобранной цепи ходов в правильно разыгранной партии доказательства.

Характеристики

Список файлов книги