Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Это представление противоречит интуиции покоящегося и законченного в себе бытия пространства. Для заполняющего его многообразия качеств пространство служит принципом их .разгрйничения, впервые вообще создающим возможность существования различия в сфере качественного; однако пространство является не только принципом разграничения, ио вместе с тем и принципом сопршсосновения, непрерывной 9 связи, в силу которой ни одна вещь не может быть отрублена от другой,как бы ударами топора". Математическое значение принципа бесконечности Анаксагора находит свое выражение в найденном им решении „квадратуры круга", именно — в доказательстве того, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса. Против учения Анаксагора выступает строго атомистическая теория Демокрита.

Один из ее аргументов, направленных против положения неограниченной делимости тел, гласит примерно следующее: „Говорят, что деление возможно,— хорошо, допустим, что оно произведено. Говорят, что оно возможно !п!пйпйшп, — допустим, что и это осуществилось.

Что же останется тогдаг Тела не останутся, ибо их можно было бы продолжать делить далее, и это означало бы, что разложение не было доведено до конца. Остаться могут только точки, а в таком случае тело должно было бы состоять из точек, что очевидно нелепо". В несколько ином виде заключающаяся в понятии непрерывности для мышления трудность выступает в известном парадоксе Зенона о состязании в беге между Ахиллесом и черепахой. Аристотель по этому поводу замечает („ Физика", гл. ХН1П): „Когда непрерывную линию делят пополам, то одну точку принимают за две, ее делают и началом одной половины и концом другой; однако когда проиаводят деление таким образом, то ни линия, ни движение не остаются непрерывными...

В непрерывном хотя и заключается бесконечно много половин, но только в возможности, а не в действительности'. Известно, что эти антиномии, едва затронутые дальнейшим развитием математики, когда ясность их понимания скорее уменьшилась, чем увеличилась, оказали свое влияние на новую философию, сыграв решающую роль при закладке основ теоретико-познавательного вдеализма.

Так, Лейбниц, — не говоря уже о мыслителях меньшего калибра вроде Бейля, Коллье, — указывает, что именно стремление отыскать выход из „лабиринта непрерывного" впервые привело его к представлению о пространстве и времени как порядках существования явлений.

Еще в системе Канта антиномии этп занимают важное место в качестве обеих первых антиномий чистого разума. К их содержанию мы возвратимся в последующем. В оперирующей идеальными пространственными образами абстрактной геометрии греков — в том виде, в каком она нам известна из „Начал" Эвклида, — возможна не только операция беспредельного деления пополам какого-либо отрезка а. Для нее также вместе с этим отрезком несомненно существуют и могут быть при помощи него получены путем построения и такие отрезки, которые относятся к а, как 5 к 3 или же как два любых натуральных числа т:и.

С течением времени воспоследовало открытие иррациональных выражений, найдены были и такие пространственные величины (вроде стороны и диагонали квадрата), между которыми не существует рационального отношения, которые не имеют общей меры. Вместе с тем невозможной, очевидным образом, стала и атомистическая концепция~пространства. В „Диалогах" Платона ощущается то глубокое впечатление, которое произвело это открытие на зарождающееся научное сознание того времени.

Общие основания найденного явления, независимо от специальных геометрических построений, доставлявших вначале частные случаи иррациональности, вроде ~/2, были открыты Эвдоксом. 1. Вместо 10 оказавшегося несостоятельным принципа соизмеримости он выставил следующую аксиому: если даны два произвольных отрезка а и Ь, то всегда можно столько раз (например и раз) присоединить а к самому себе, чтобы сумма отрезков ла стала большей, чем Ь.

Эго означает, что все отрезки суть величины одного и того же порядка, что в континууме ие существует ни актуально бесконечно большого, ни актуально бесконечно малого (ибо я называю отрезок а бесконечно малым по сравнению с отрезком Ь, если любая сумма отрезков а, сколько бы их я ни взял, всегда остается меньше Ь). 2. Если в общем случае нельзя характеризовать отношения отрезков при помощи дробей 5 типа — то каким образом возиожно выразить это отношениег Эвдокс 3' отвечает так: два отношения величин отрезков а: Ь, а': Ь' равны между собою в том случае, если произвольные натуральные числа т и л, удовлетворяющие условиям, написанным в первой строке нижеследующих неравенств, всегда удовлетворяют также условиям, выставленным во второй строке: лй ) тЬ ( (1) лй тЬ 1т (11) лй ( тЬ ( (11 ла') тЬ' ( ,,1 лй'(тЬ' ( Если теперь мы назовем отношение отрезков а: Ь = а численной мерой (МазззаИ) или жс вещественным числом, то,очевидпо, последнее характеризуется тем сече н нем, которое оно производит в области рациональт ных чисел, т.

е, разделением всей совокупности дробей — на три класса, таких, что дроби класса (1) все меньше а, класса (11) — равны а, а класса (Ш) — больше чем а. Средний класс (11) при этом либо пуст, либо же содержит одну единственную дробь. На этом же фундаменте было воздвигнуто и учение о пропорциях Эвклида, а Архимед обосновал на нем свой общий метод исчерпывания. Так начала развиваться, ие заботясь о философских противоречиях, остроумно задуманная и разработанная, нигде не допускающая логических скачков и противоречий математическая теория континуума.

Исчисление бесконечно малых нового времени, преобразованное Лейбницем и Ньютоном в мощное орудие для изучения природы, не могло со стороны логической своей строгости итти в сравнение с греческой теорией континуума. Зато значительно обширнее оказалась ныне область подлежащих его ведению проблем. Теперь речь стала итти уже об исследовании любых непрерывных форм и процессов, в особенности же процессов движения. Страстная воля к действительности превалирует в эпоху нашей культуры над прозорливым греческим гайо.

Если в свое время Эздокс в строго сформулированной аксиоме отбросил понятие бесконечно малого, то теперь как раз наоборот, именно это расплывчатое и полное непостижимой загадочности представленяя! положено было в основание нового исчисления '). Правда основоположники его Ньютон и Лейбниц довольно ясно выразили ту ') .Непостижимые загадки математики' — любимое выражение начала ХЧ!!1 столетия. 11 правильную идею, что речь идет не о законченном бесконечно малом, а о предельном переходе к нулю, но эта точка зрения .не являлась первенствующей в общем ходе их мыслей, и они, очевидно, не знали, что выполнение перехода к пределу не только требует определения значения предела, но обязано также в первую очередь гарантировать его существование. По отношению к Ньютону дело объясняется тем, что в случае движения конкретный процесс его заключает в себе, по мнению Ньютона, в качестве момента скорость до всякого математического анализа.

Что касается Лейбница, то взгляды его были затемнены тем ложным метафизическдм представлением, будто бесконечно малое должно иметь место не в качестве чего-то действительно существующего, а только как чисто логическое основание. И среди преемников Ньютона и Лейбница господствовал в общем тот взгляд, что бесконечно малые величины, бесконечно близкие точки на кривых и т. и. действительно существуют. С бесконечными рядами оперировали, не обращая внимания на вопрос об их сходимости. И хотя при этом все-таки ощущались некоторые затруднения и то в одном, то в другом пункте возникали неразрешимые противоречия, но что все это означало по сравнению с грандиозными успехами анализа и базирующегося на нем математического естествознания: „АПек еп ачап! е! 1а !о! чона ч!епбга" '). Лишь крайне медленно развилась более осторожная теория пределов; только в начале Х1Х в.

Характеристики

Список файлов книги