Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 6
Текст из файла (страница 6)
К противоречию мы придем, однако, ') Недавно вышла в свет книга, впоше пригодная лая того, чтобы ознакомить философов со строем математических идей: О. Но!бег, П!е ша!Ьешайаспе Ме!Побе, Вег1!и 1924. По теории множеств см. в особенное!и А. Гга ел ие 1, Е!п!е1- Шпд 1п сйе Меппеп!епге, 3-е изд., Вег!!и !ь29; по вопросу о сведении математики к логике: В. кпзз е11, Е!п1дпшпй 1п б!е ша!пеша!!аспе РЛ!1озорйие, Мапспеп !923 !ием. перевод). ') Тах, если применять лишь лва служащих иам в примере правила, то при кратности применения Равной, получаютсч числа 0 1 1 2 2 3, 4 3 б,к,з 4 7, 9, 10, 12, 16! а дааном случае а=!1. !3 только тогда, когда в число наших действий включим е>це нижеследу>о,ций дополнительный пршщяп построения (Я), именно; требуется при заданном и образовать нзимеиьшее из всех тех чисел, ко~орые нельзя получи~ь из 1 путем применения максимум и раз подряд наших действий, включая и сам изложенный только что принцип пос т р о е н и я '). Теперь уиге диз набранного разрядкой) очевиден с>гсп!пз г>Возня, в силу которого подобный принцип оказывается лишенным асин!ого смысла.
Ан иномпи теории множеств составлены в том же, напоминающем собо>о античный пара юкс о лг>щем критянин., духе. Проще других одна пз них, предложенная Расселен. В ней дело идет о „множестве М всех множеств, не содержащих себя сачих в качестве своего элемента". Правда, вначале вообще представляется нелепой даже мысль о возможности того, чтобы множество содержало само себя в качестве элемента, но множество всех вещ й !о ко!ором говорить допустимо, поскольку люоая вшць либо принадлежит к нему, либо нет) тотчас же доставляет нам пример подобного множества. Теперь спрашивается, содержит ли себя в качестве своего элемента или же нет ресселево множество М) Если оно не содержит себя в качестве элемента, то оно принадлежиг к числу тех множеств, которые, согласно определению М, являются элементами М; если же оно содержигся в М, то оно, подобно всем элементам М, оказывается множеством, не содержащим себя самого в качестве своего элемента.
Таким образом, каждое из обшх допущений имеет своим следствием другое, противоположное. С точки зрения своего п о с т р о е н и я антиномия эта разрешается аналогично рншайозой, но она та к иге п оказывает, что нельзя допустить существования некоей определенной в себе и замкнутой совокупности всех возможных множеств натуральных чисел или всех возможных свойств натуральных чисел.
Не всякое „определенное по содержанию", т. е. то шо н одно>нашо установленное понятие 5, является о б ъ е м и о о п р е д с л е н н ы м; в часы>ости это относится к понятию „свойство натуральных чисел". Когда мы говорим, что понятие б объемноопретеленно, то это означае~ не только то, что для люоо>о определяемого понягиеи 1> предмета Х и какого-либо определенного в области этих предметов свойства 'Л имеет вполне точный смысл вопрос: „облзд"ет ли Х свойством 91?" !вопрос, ответ на который заключается в некотором определенном самом по себе фактическом обстоянии), но также и то, что имеет сиысл вопрос экзистенциального п оРядка „су>цествует ли среди опредсляемых понятием в предметов предмет со свойством 91г".
Допустим, что каким-нибудь !конструктив:.'ым) образом удалось выделить некоторый объемноопределенный кру" свойств натуральных чисел, — эти свойства я назову Й-своиствами,— и пусть 91 будет некоторьш определенным свойством свойств натуральных чисел (вроде такого. какое задается следующим, мапример, опРеделением: свойсгзо Е наг>ральных чисел называется свойством рода Л, если оно присуще чзслу 1).
В этом случае имеет ясный смысл следующее ') Ведь тогда, с другой стороиьп можно иерей>и от 1 ка всего лишь в трв приема: двазогы умножав ва 2 и затем применяя принцип 11. Ф 19 определение Ей выражение, что ж обладает свойством Е, обозначает, что существует некоторое Й-свойство рода Я, присущсе числу х. Но это свойство Е, по самому своему существу, очевидно, находится вне круга п-свойств, оио принадлежит к более высохому, так сказать, типу своде~в, чем Й-своПства. Когда мы имеем дело с определенной категорией предметов — как в данном случае с категорией натура,ьных чисел, — то исходить следует из некоторых непосредственно вместе с ней задашиах, присущих.
предметам этой категории свойств н отношений. Лля натуральных чисел годобным основным отношением является то единственное огношение, которое существует между любым числом и непосредственно за ним следующим. Из этих свойств можно путем логических постро ний получать новые свойства и отношения, причем, однако, выраягения „все" и „существует" могут быть применяемы исключительно к предметам основной категории, (Например, если уже образовано между двумя произвольными числами и, и отношение и =2т, то можно следующим образом опр:делить свойство быть, четным": и — четное число, есаи существует такое число т, что и = 2т,) Этн свойства образуют низший тип свойств.
Свойства второго типа получаютсв, например, по схеме 0 — в результате примене;ия выражений „все" и „существует" к объемиоопределенному кругу свойств первого типа; пользуясь теми же сырахгениями, но уже в применении к сволствам второго типа, можно образовать новые своде~за, принадлеакащие уже к появляющемуся при этом третьему типу, и т. д. Необходимость подобной иерархии типов была впервые отчетливо осо нана Рессслем.
Отказавшись от нее и без ограничений применяя выражения „все" и „существует" ко вс,м свойствам, мы ~ еизбежно очутились бы в бсзвыхолном порочном кр)ге. Но вместе с тем, последствия тсоретико-множественныт антиномий проникают уже в самую сертпевину анализа. Л-йствительно, построение верхней границы ьиожсства х1 вещественных чисел производило:ь как раз по схеме В, не принимая во внимание наличия рссселевой иерархии типов.
Стоит только вспомнить, что, согласно Ледскинду, вещественное число (Е) есть множество рациональных ч ~сел„соответствующее со своей сто:оны некоторому свойсаву Е в области гаггнональных чисел; выражение: „рациональное число х меньше 1Е)" обозначает то же самое, что и выражение: „х обладает.своде~воя Е". Значит, верхняя граница т соответствует в действительности такому свойству Езы которым рациональное число х может обла.ать тогда и только то~да, когда вообще сушес твует свойство рациональных чисел рода 6, присущее х.
В результате единое ~ онятие числа распадается, и мы получаем вещественные числа 1-го, 2-го, З-го,... тгпов, ~ак что, например, верхняя граница множеств чисел перв го тгпа в общем случае сама не является числом того же ро ~а, а принадлежит ко второму типу. Подобный ст>пенчатый анализ совершенно неп;игодсн. Правая, этой дилеммы было бы возлюжнл избежать, если Сы справетлива была теорема, утверждающая, что всякое свойство Е, второго анна совпадает если не по содержанию, то по о 6ъ с.му с каким-либ ~ свойсгвом Е, первого т,па. Никогда, однако, не быто сделана попыгок доказать так:ю теорему, и не существует нн малейших указаний ма,о, чт- возможно ястааовить настолько мощные 20 конструктивные принципы для свойств первого типа, чтобы опи могли гар нтировать ее правильно ть. Это и а рпог! столь чудовищно невероятно, что, здраво размышляя, нельзя себе прелставнгь, что кто-либо займется поисками таких принципов.
Рессель нашел из создавшегося по. ложення довольно абструзный выход, постулнровавшн эту сов! ршенно неподдающ>юся доказательству теорему в качестве аксиомы (ах!ош о1 гебцсйз!11!у)'). Сам я в появившемся в 1918 г. сочинении, „Континуум", добросовестно вывел все вытекающие из указанной дилеммы последствиях). Назовем э в к л и д о в ы л! ч и с л о и такое число, которое может быть получено из 1 прп помощи любой комбинации первых четырех действий, а также пятого действия извлечения квадратного корня нз (уже образованного ранее) положительного числа..В таком случае точки,.координаты которых в некоторой определенной системе координат явля|отся эвклидовыми числами, образуют по отношению к построениям эвклидовой геометрии, использующим только линейку и циркуль, замкнутую систему Е, поскольку всякое построение эвклидовой геометрии, оперирующее этими точками, достзвляет снова лишь тезки этой же самой системы.
Таким образом при построении эвклидовой геометрии можно ограничиться исключительно системой точек Е. Эта сисгема образует собой объемноопрелеленное поле для построений, за пределы которого не выводит ни одна из операций эвклидовой геометрии. При этом мы нигде не наталкиваемся на заполняющий все поры между этими точками континуальный,пространственный соус". Приняв за основу вместо первых четырех действий и извлечения квадратного корня несколько др>гих лопзческих правил построения, мне удалось вылепить объемноопреаеленную числовую систему, в пределах которой оказалось возможным неограниченное применение не только построений эвклидовой геометрии, но также и гораздо более общих построений анализа (поскольку они не страдают пороком гйгсцй ч!!го!!.
Это была действительно атомисти ческая теория континуум а, логически выдержанная и вместе с тем насильственно-вымученная. При помощи теоретико-познавательного анализа я старался выввить возможно более резко ту глубокую пропасть, которая отделяет наши математические построения от непосредственно переживаемой нами непрерывн сти. При этом пришлось отказаться от значительной части того, что в математике издавна почитается вполне обеспеченным ее достоянием.
В особенно сильной иере страдают отмеченным недостатком и закл.очают в себе порочный круг построения понязий и доказательства, подобные упоминавшейся выше дедекнндовой теории цепей. И итерацн>! процесса, правило действия „еще один раз", вновь возрождается в качестве изначальной, несводимой далее идеи. ') С теорией Ресселя, в выавей степени детально и глубоко разработа!и!ой в опубликованных им совместно с Уайтхелом „Рг!пс1р!а Ма!Кеша!!са' (3 тома, Кембридж !У!Π— !9!3), можно полробвее ознаном ться по его вышегитироваиной кинге.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
