Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 9
Текст из файла (страница 9)
То жам 1. О, 2 соответствуют значения =О,,ч =-О, 1 О(Л вЂ” 1, 2, ..., п1. Многообразия Л(г, Л1", Л(з не пергсекают себя и друг друга, а также ре- гулярны дла л с Т .; (м А. )с Г: Ц' расчозо.кено . евее, а Л1Л вЂ” правее МО; й' Е-+5 — и (2 )-5 абоюгячают соответственно левую и правую подобласти, нв поторые Л!о делал Я.(-5, црп'ю 5- н 5г и ыют обпгую часть ндо,ть Ме. рассмотр ~и функцию Р(», У, Р) :=Р(аб Уг, Ул ..., У з, Рп Р,...,, Рн) =- Р (х.у. М, 1" ЕС ". (х,у) Е Е Ф5, — со(р(+аз, Р (х.у, р), РзЕС '.
(х.у) Е Л~ч-5, — оз(р(.)-со, Функции Р (х, у, р1 принадлежит «лассу С'а' для всех (х. у) б ЕЧ-5, — со(р( (+ оз, за исключением точек мне~ ообразня Ме, иа котором она претерпевает разрывы первого роза, Пусть Π— множество Функция у. (х) таких. что линни С, определяемые втнми фуициями, ле.гет пнутрн ТО состоят лз нонечного 1ОЯ' числа регузяриьп луг и однократно пересекают многообразая М1, Ме, МЯ, причем на Мо «агкдая иэ иил имеет угловую точку.
Пусть лана некоторая линии Егюнд О с угловов точной О. Требуетса найти условия, которым должна удовлетворять Его . чтобы Функюонал хо О1 .т.з (Н у(у)= ) Рг(х,у.у)кх+ ( Тз(х,дсу) цх, хг (в) хоф) вычисленный вдаль Егол, им*а отиосительныб минимум в классе гопустимыл функций О, такими условиями являютс»: 1. Лля гаго чтобы Егвл Е О реализовала минимум Функционала Л(у), иеоб. козимо, чтобы луги Его и Еел удовлетворяли уравнениям Эйлера в интеграль- нМ! Формг.
На дугат Е,е и Еее линии Егез, удовлетворяющей атому условию, справед. ливы уравнения Эйлера в дифференциальной форме, а в уг ювыл точкак (если оин сувгествуют) доллгньг выполняться условия Вейерштрасса-Эрдмана. Если алоаь дуг Рте и Еел выполняется условие: определители 1.бзй 2 а. РАзрыВные зАлАчн 2. На дугат Р,е и Рея должно выаоаняться условие Вейерштрасса Е (х, у, уч Г>уаб (й 1 соответствует дуге Есе, а й = 2 — дуге Еес!. а. должно выооянатьсн условие Лежандра ~Червия(Х>ВУ> 1,.1. О (АУ=(,г,...,в>, й = 2 — д>те Егм>.
С . Керимов (!> (Фор >воровки>, там же дан анааог условия Якоби; Керимов !2> (докаяатедьства> 1.65. Односторонние экстремумы. Ищется экстреи>.м функ- ционала У(у) = ~ Р(х, у, у') сух, х, при условии У вЂ” м(х) ~0 У(х )=а У(хя) =Ьо(1.6,8) (иди У вЂ” о (х) (0). (1.6.9) Ограничивающие усдовин могут быть более сложного вида, В этом случае зкстремаль может состоять из кусков, лежащих в уяазанной обдасжг, для которых удовлетворяется уравнение Эйлера — Лаграпвса, и кусков гранины данной обвести: у = и(х>.
В точках стыка указанных кусков экстремазь ь>ожет быть глад- кой, но мовсет иметь и угловые точки, Полагая, что у=у(х) доставляет минимум а'(у), и иринин ан у (х, а) =у+ ати т! (х,) = т (хя) = О, (1.6.10) т (х) =- О, 0 ~ а ( аш У (х, 0) =у (х) получим, что функщ>оная (1.6.8) превращаетсн в 2(У) =- $ Р(х,У, У) бсх= Ф (а), Ф (0) а У(у). (> 611) хс Имеем Ф (а) — Ф (0)~0, 0~«(ае, (16.12> и, следовательно, (1.6.13) Ф (О)~О, откуда обычными рассужденинми ноиучаем Р— — Г, «О. б' гух (1.6.14) Условие в точке стыка имеет вид Г(х У У) — Р(х У Р') — (Р' — У) Рт. (х, У,У')]х х =О. (1615) и где 1! — чиода такие.
что ~Д ~11> О Ф =- ! соответствует дуге Еш, а с=! 40 ГЛ. !. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (1.3.6 Оно в ьпе кает из следующего представления длн вариации данного функционала: ха хт 3./ = 3 ~ Р (х, у, у") + 3 ~ Р (х, у, у') гтх = 3./! + Бл'з = хт хо хе 1-бхе = [г + (Т' — у') РУ,[ йл — [ Р (х, Т (х), Г'(х)) бгх = ха = [Р (х, У, У') — тю (х, и (Х), Р' (х)) + (гр' — У) Рт,[х длю Здесь имеетсн в вид!, что для х, =л ~хо линни у=у(х) лежит в указанной области, и вариации йзг сводятся к рассмотрению линий сравнений с подвижным правым концом, а при вычистении йлл левый конец движется по линии у =и (х). Из условии ().6.)5) следует, что если Р,у,фб, то куски ВКСтрЕМапн В ТОЧКЕ СтЫКа (На ЛИНИИ у=ге(ХУ)) ИМЕЮТ ОбщуЮ касательную.
В настаащее время поавлнетсв много исследований еариацноннык залач с ограннчениами в форме неравенств. Си, например, Беллмен, Гликсберг, Грасс (1). П р и м е р (.б.а. Найти «ратчайюнй путь нз тачки А ( — 2, 31 е точку Н (2, 3), расположенный в области у хз (рпс. (.бд) Исследуемый Функцненал 2 у(у)= [ р! ул Л. — 2 Его екстремл.тн суть нремые у ах+ н, В ланном сл)чае у, =()' !Ф)') „=, тьо, уж' ' У'У' з 3(2 н п зтому винна, доставлвющан минимум, Рис. (.Б2. должна состовть из кусков прямых, квсвтельпыз к параболе у=.хт и куска етой параболы. Пусть точки касавин, а нх лае, вследстпне симметричности задачи имеют абсциссы х хе н х — хе. Имеем в точке касавин равенство ординат и рааенство углоныс коэффи.
циентов, т. е. обозначив угловои козффицсент «асатсльной н точке х„ через Вг, имеем Лг (ха)' 2х . гн.т т н= хк щ = 2х . откуда хт + и†О. С другой хо о' е е' е' ' е стороны, касагельнав нролодит через точку (2, 3), с. едонательгго, 3=2ю-(-» тын 3=4хо+н. Таким образом, хв — 4х +3=0 и интерес)ющее нас значение есть о о„ ха !( — 2<ха<2).'тогда Лг 2, Аналогичные рассуждевна прнводаткзаключенню, что ливня, подозрееаеман иа экстремум, есть у= хз — 2.с — 1, — 2 х — 1, — 1 л" 1, 2х — 1, (щх 2. Этой задаче можно дать обобщенную постааоеку: найти кратчайюее расстоание между точкамн А н д, сслн этн точки разделены каким-либо орепзь станем. 41 !.т.ц $ т.
кАнОничЕские уРАВнения ф 7. Кайоничесяие уравнения, Теория Гамильтона †Яно 1.7.1. Каноническая или гамильтонова форма уравнений Эйлера. Уравнение Эйлера †Лагран для функционала з= ~ «(» Ум уж "'' Уму»'Уз'" Ул)их (1.7.!) х» имеют впд (1.7.2) Если матрица "«тм, ~' (й й = 1, 2, ..., и) неособенная, то из уравнсни!» «г =р! (1=1, 2, ..., и) (1.7.3) дН д« ду! ду! ' дН др! — =т»(х,уоум ...,у,роро...,р„) (! = 1, 2, ..., и), (!.7.6) что дает (! =1,2,...,п).
(1Л.7) Уравяения (1.7Л) называ1отся каноник»акой или еамильтоновой гистпемой уравнений Эйлера — Лагранжа, при этом переменные у„у„..., у„, ро ра,, р„называются каноническими переменными. Они были введенй Гамильтоном (1331--1335гг.) можно выразить у,'. через .г, ун у, ..., у„, ро р, ..., р„: у,'.=от (х, у, уа, ..., Угв р, р„...,рл). (1.7,4) Гамильтониаком Н для фтнкционаза (1.7.1) называется ф) нкц~Я Н от х, У», Ум ..., У»м Р», Ра.. Рл ! «(' ' у»' ут' ' ' ' -»л' -»т' уй "' ' Ул) + а + Х У! «у'. (х У» Уо '"' Ул' У»~ Уй" Ул) (17.5) где ут'=Е(х, у», ув, ..., у„, р„рт, ...,р ), Для гамнзьтониана имеют место соотношенил, получающиеся дифференцированием, 42 гл.
!. вариационной исчислннин н.т.г у=) т' '+ус )г !+у' нх, Имсам у' Уха+ус ,а Ра у' хл.! са ра = — Усл -1-ул — ра н- — и+рр,! Ис«аман снстс«а лр Лх !'х фтл 'рс' лу Лх Уха '.!. сл! — рл Из (1.7.5) следует, что формула (1.3.9) может быть записана в виде л ).са дУ= — Ндх+ ~ руду!! . (1.7.8) 1= ! !«1 Условия трансверсальности (см.
(1.3.10)) на концах липни, достав- лщощей экстреа!уа1, имеют впд — Н дх+ ~3 р, ду; = О. 1=! (1,7.9) 1.7.2. Первые интегралы наноннческой системы. Вдоль экстремали оН дН дх дх (1.7.10) дН и есзп — =-О, т. е, Н не ззвисит от х (значит, и Р нс заавдх сит от х), то Н = сопят, (1.731) Фут!кция, сохраняющая постоянное значение вдоль каждой интегральной гошин заданной системы дифференциальных уравнений, называется иераалс интегралом этой системы. Таким образом, Н = сола! есть первый интеграл канонической системы уравнений Вйлерз — Лаграитна. Если даиз некоторая функция Ф (утюр« " ул ро р " рл) то вдоль экстрсмази л л и Якоби 11842 — 1843 гг.).
Однако уже Лагранж использовал диффереици1азьные урйвнения в канонической форме. Пр «мср 1,7,!. Нашюать «агююсчсс«ую снег«му ура«лен«а Эйлера Лла Фуанннсаала 43 1.7.31 3 7. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Выражение в правой части ( 1.7.! 2) наз ы в аетс я скобкой Пуассона и обозначается си м в о а о м [ Ф, Н[. П ри зт о и обозначении г(Ф вЂ”,=[Ф и[.
(1.7.13) Для того чтобы функция Ф (уо у„..., у, ро р„..., ра) была иервыч интегралом канояической системы )равнений Эйлера— 3)агрлнжа, необходимо и достаточно, чтобы (1.7.14) [Ф, Н[=-О. Если не только Н, но и Ф зависит от х явно, имеет место формула г(Ф дф — = — + [Ф, Н[. о'х дх (1.7.15) !.73.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
