Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(15 20) В этих обозначениях необходимое условие Вейерштрасса в случае минимума зактючается в выполнении неравенства Е(х, у; соя Э, Яп Э; сов Э', Яп Э') .. О (1.5.21) вдоль дуги, доставллющей минимум, прн любых значенилх усла ЭЧ В случае максимума должно аыполнлтьсл условие Е(х, у; соя В, яп Э; сов В', а)п В') (О. (1.5.22) Здесь осе В, яп  — направляющие косин) сы положительного направления касательной к экстрема„ти. Имеет место формула Вейерштрасса Е (х, у; созЭ, Яп В; сов Э', Яп Э') = = (1 — сом(В' — В)) Рл (х, У; сов ВН асп Э,], (1,5,23) где Э Вс ( Э', Из формул (1.52!) — <1.523) вытекают условия Лежандра. 1.бд) й а, ЗАПАчи В пАРАмнтричкскои еорын зз 1,5.9.
Четвертое необходимое условие экстремума— условие Якоби. Уравнением Якоби для функционала (1 5 4) называется уравнение Эйлера — Лагранжа для функционала (!.о.!7): — (Рз — / — Р;и = О. и l бсит ,й (, дг~ (1.5.24) Сопряженной точкой г„' к точке Г, называется такая точка, в которой обращается в нуль решение уравнения (!.5.24) и(Г), для которого и(1„1=0. Прп этом предполагается, что и(т),-ЕО д.!я Ге < Г < Г„.
Условие Якоби заключается в том, что линия, доставляющая экстремум функционалу (1.5.4), не содержит точек, сопряженных с точкой г,, Подробное изложение см. Влисс !!1, Гурсл 1!1. 1.5.9. Условия трвнсверсвльностн. Если рассматривается функционал У~=~ Е(, у, Д, У) '. ЕЕ(лы уо (тхн ь(у,) йх, + Р)(х„уп с(х„ду,) аул=О. (!.5?6) Если оба конца линии С подвижны, то на обоих концах выполняются ) словия трансверсааьности в форме (!.о,2о) или (1.5.26). Пм., нлпример, Акпез р (11. П р н м е р (.о.т, Исследанлть Еункционел (х.
д) улу'слх (е, 01 прн условии, что превый конец линий сревненн» скользит по пркмой 1 у — (з — х). 2 Тлк кви возмомны екстремлли, которые пересекзюзсл прнмыми, пврвллельными оси Оу более, чем в одной точке, то перейдем к рзссмотренпю етой зедачи в параметрической Форме.
Исследуемый еуикционзл принимзет вид (х, у) ут — '. ля йт (О, 01 2 Цлзбз ГЬ на совокупности линий, олин из концов (при с = Г,) которых фиксирован, а другой скользит по гладкой линии 5: х = у«), у=9(т), ом (т)+(Гз(т) ~0,, =.с --... то для аннин С: х= =к (Г), у =у П), доставляющей экстремум этому функционалу, во-первых, выполняются уравнении Эйлера — Лагранжа, и, во-вторых, выполняется условие трансверсатьности Е„р «)+Е;,ф (с)!. 0=0.
(1,5.25) Если координаты начальной точки С суть(хс,у,), а их дифференциалы вдочь С суть бсХ„ с(уо а вдоль й суть йхо йУо то условие (1.5.251 прннпиает вид 34 ГЛ !. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (1.6,1 Иэ первого уравнения (1.6.1 И следует, что — (у «)-О, уз~„— ) рз (изи же уз рз( — ) ), откуда Посзе интегриразепиэ последнего уравнения получаем дзя ы<стремазей ураипе. ние у" = 2р» -1- С, пр~ чем из усзовия прошждениз зкстремазей через начало координат следует, что С =- О. Экстремвзи суть парабазы уз 2рх.
1 Заниюем урввневве прямой г — (3 — х) в виде к = т, « =- — (3 — т). 2 2 тогда из (1.6.26) следует уэтэ эг / 1! хэ к 2,!хь У!) нзи и, учнтывэв что т«' = р, имеем р (я+ уз! = О. ф 6. Разрывные задачи. Односторонние эистремуыы 1.6.1. Разрывные задачи первого рода для простейшего функционала. Простейшие ф) икциоиады — это функционалы вида з = ) Р(х, у, у') с/х. .сг В задачах первого рода разыскиваются ломаные экстремалн, при этом функция Р(х, у, у) непрерывна и обладает иепрерыннызш частными производными до некоторого порялка по всем аргументам. Пример 1.6.1.
Выяснить, имеются зи зомаиые экстремази в задаче ва экстре ум 2 (у' — бу' ) Лх, у (О) О у (2) О. откудэ вытенает, что ибо р = О знбо р = — 3,, Гсзп р = О, то из Ы = 2рх сзедует, что уг =О и, завит, хг=3. В этом сяучзе Еункпионв. имеет стввио. неонов знвчейпе, резное пуз|а, и принимает его вэ о~резке осн Ох, соедпннюЮем гочки !О, О) и (3, О).
э Есзи жо р= — ! г, го в скзу урапвыюй у, =2( — «г)х, п у, = — (3 — хг), 2 хг = — 1, уз = 2 Еункпиоияз нринпмэст на дуге параболы, соедиггяющей точки (О, О) н (- 1, 2), ствннонарное значение — 4 ( праэыи конем оказался левее нв. чэзз кооржгнят). !.6.2) 6 6. РАЗРЫВНЫЕ ЗАДАЧИ Иадынтеграаьпае функцня Р =у' — бу' не солержнт у, Р О. Экстре. 64,й У маля — прямье у =сх-(-Сг. Если углован гочка нмеетсв н ее абсцисса х хь то ломаная вкстремаль нмее1 такой внд: 0 х хе. у — — тгх (екстремаль нрололнт чеРез точку (О. 0)), хе х '2.
у=же (х — Э (екстремаль пралоднг через точку (2, О)). В угловой точке вкстремаль непрерывна шгхо гвй (хо — 2), У (Ясно, что юг ~':шт в слУчае, с*ля Угловая точка нмееже,) Условие Вейер втресса — Эрдмана ((.!.(6) лает 4шй — 12ш .= 4!па — 12п! н я Нпг (пг — ш ) (же + гл 1п, -'1- пгг — 3) О. 1 й 1 1 й У!лов!!е Эейерштрасса — Эрдмана ((,(,Щ) две» вЂ” Зш 4 .(- бп!с — Зш4 + быт 1 1 е нлп (шй — гп,.",) (шт -)- шй — 2! = 0 1 Е 1 й Рнс.
1.6.1. значенкя шг н т. находятся нй снстем уравнений (на шг — шй ФО полу- чешгые равенства сокраш пы)! 1) Шг, ШЯ=О, тй+ш ш +пг-„— 3=0 откуда шг )гз, та= — ) 3 клн юг= — т'3, шй=у'3; 2) шй+шй+ш пг =3, 1 ' й 1 Л шй+ шй — 2 О, 1 откупа юг=же=1, что исключено. Таким обрееом, абсцнсса угловой гочки возможной ломаной вкстремаан натадягсе нл Форму.ты 2тй хо= = 1. пгт — и!1 Вовможные ломаные вкстремалн суть (рпс, 1,6.1) О х 1, Э'3 х, У= -р'з (х — г), 1 х-2, -э'з .», У= )га (.» — 2), 0 .1 1, 1 х 2. 1.6.2. разрывные задачи второго рода. В этик задачзк предполагащся разрывной подынтегральная функция Функционала х„ У (у) = — ~ Е (х, у, у') а(х.
Хг Если, например, Е(х, у, у') претерпевает разрыв вдоль линии у = Ф (х), то в случае существования минимизирующей ломаной экстремал~ последняя состоит из кусков экстремалей, имеющих общую точку (хы Ф(х,)), х,(хе~хе. 2' 36 ГЛ. 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИОЛЕНИР !1,6.3 Если Р (х, у, У) соответственно равна Рз (х, у, У ) и Рз (х, у, у ) по одну и по др ) г у ю стороны ли ни и у = Ф (х), то хо х л' (У) = ( Рз (х, У, У) гтх+ ( Рз (х, У, У) лх = лз (У) -(-,уе (У), «г хо (1.6.!) и варьирование данного функционала приведется к варьированию функционалов лг(у) и лз(у), причем линии сравнения первого из них имеют подвижнь)м правый конел, а зинин сравнения второго имеют подвижным левый конец.
Из (!.6.!) следует, что ЗУ= (Рт + (ф У) Рту']«=«а — ой)о (гй+(ф -У)гу)~=~,~-ойх~ (!62) Необходимое условие экстремума: йз'(у) =0 имеет своим следствием равенство Рт + (ф' — У') ~ту )х „, , = Рв + (ф' - У') Рву.!« (1.6.3) П р н м е р 1.6.2. Для функционала о 1(У) ) А(х, у) уг!+У' Лх а условие (1.6.3) дает Ат (х. У1 — ' 1+Фу' 1 А (х, у) А ' + П.бм) )Г)+У'Я х «о — О )г)+Уз х «л+О Если» вЂ” угол между касателыюй к кривой у Ф(х) и осью абсцисс, а углы нанлонв к оси абсцисс левой и правой иасательвыз к вкстремалн в тачке (го Ф (хай сУть Гг н Рз. то у'1 гай у'1 )айь Ф'(. Ы=)еа.
1«я — О ' )«о+О Тогда из условна (1,бм) получим соя 1» — йг) Аз (.т, у) саз(«-Рв) Аг(х, У)' если у Ф )х) — линна раздела дауд оптическит сред. в которьп свет распро 1 ! сграияется соответственно са скоростями иг = и из —, то ноАт(х у) Аз(х у)' следнее равенство выражает обобптсние закона вреловлення света (закона Спел. лпуса).
1.6.3. Разрывные задачи для функционала, зависящего от нескольких функций. Если функция Р (х, У, У') = — Р(х, УР у, ..., Уы у,', у,', ..., Ув) непрерывна по всем аргументам и имеет истныс производные до третьего порядка, то при существовании томаных вкстремалей !.6.41 $6. РАЗРЫПНЫП ЗАДАЧИ в )гловык точках должны выполняться условия Вейерп(трасса — Эрдмана (1 = 1, 2,..., я): дп' ( дс' ')У! (х о ду» (хеФо (1.6.5) ъз .дР %з,дРР— Мра У,.' —, = Р— У У! —, . (1.6.6) м',( ' ду,: л~( ду,: » =1 .те — б .,+. Если Р(х,у,у') имеет разный внл по разные стороны поверхности Ф (х, уп ую ..., У„) = О н «о .) (У) = ~ Р' (х, ун у, ..., у„, у,', у,', ..., у„') дх + хг х. + ) Рт (х, УР УР ..., у, у,', у,', ..., у„') дх, ла Ф (хю у, (х„), у, (х,), ..., У„(х,)) вп О, то нз 62(у) =О следуют усдовия (,дх)хе ду„' <х дрт О У„~«е л.б д ' (1.6.т) (дФ» ') (дупг « пм, Гюнтер [!1.
1,6.4. Разрывные аадачн с подвижными ионнами в пространстве. Пусть (х, у, у, ..., у 1= (х у(-точка (в+ 0 мерного евклидова простра~гства пит». и пространство Пает дана область и с границеб М Пусть внутри П рас. пОЛОжсиа НспптОРа» ЛаМаааа ЛИНИЯ ПГЕВ. СОСтОЕП»ав ИЗ ЛУГ ПГЕ Н Пал. ЛИНИИ П газ представлена > равнение ми Р,.
(х(, т,= У( 66 л.г ся «»Н хе п=( л,,... п). хе х«хт Здесь у. (х( и у. (х( однозначны и имеют непрерывные первые производные. Линие г П,ез пеРсыкаегсе соответственно в точках 1. О, З и-меРными многообРазнами Мг, ме мт, причем в уклзаиньп точках дуги, составлающне линию л'юв ие косаютса многообразие Мг, Л(е, М», зв ГЛ.
1. ВАРИАНИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (1,6,4 Многообразии М1, Мо, .11з Мг х=х (), 1 1 Мог х х (Р) М г х=х (1) ланы уравненияни ,г 1'1=-)'; (1). Р у<жб ((,у=(,2,...н) /1 (й 1 соответствует дуге Его, а (г 2 — луге Еел), то на Егл и Еоз справедливы также уравнения Эйлера в развернутой форме. Лалее необходима. чтобьг в точкак 1, 2, О ыполн». сь сов етст е ио у овне траисверса,тьносги и условие разрыва 1=-1 1=1 Р— ~у Р )Цх +ЯР, Лу О, !х У() У 1 1 1 Тл — ~ Р', — Р— ~~~у Р, Лх'Л-~ Р'„— Р,, ЛУ. О, где а, Л, 1 принадлежат соотпетственпа ограни ггннын и за кнутым множествам Т, Т, Т, иа гютоРьж опРсделевы ФУвюпш .т' '( О т,)(«): .т О) Угу(Р)г -т П1. р' у! (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
