Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 11
Текст из файла (страница 11)
чале «оорлинат имеет уравнение ул=4нх. ч (х, уо у„, ..., у„) = О, то Х вЂ” длнны отрезков экстремалей, эакпо1енных между поверхностнми р = С, и и = ф— одинаковы. Наклонам поля экстрсмалей функционала (1.8.1) называют вектор-функпню Е/(х, у) = (и, (х, у), ..., и„(х, у)), атноснщтю каждой точке (хУп У„, ..мУ„) полн всктоР (У,' (х), У,', (х)г .., У'„(х)), 1.8.8.
Выражение геодезического расстояния между двумя точками через инвариантный интеграл Гильберта. В поле функционала (!.8.1) выражение — Них+ ~~ ~ртг(ут (1.8.2) где — Н = гю(х, у, и (х, у)) — ~ г" . (х у, и (х, у)) иг (х, у), 1=-1 рт= гу, (х, у, и(х,у)), (1.8,3) является полным днфференпиалам функции переменных х, уи у„..., угм Последнее устанавливается проверкой выполнения 1.8.2. Поле вистремалей. Область Р (и+ 1)-мерного пространства, покрытая просто (т. е.
без пересечений) селгействап экстремалей, трансверсальных некоторой поверхности, называется, собстесннылг (иаи общим) полем зкстрсмалгй. Область Р (п -1- 1)-мерного пространства, покрьпая просто семействам экстрсмалей, исходящих из одной то 1ки, находящейся вне области Р, называется центральным полем экстрсмалсй. Фигурирующие в обоих определениях семейства экстремалей лвляютсн п-параметрическими. Имеет место теорема: Если У (х, уь ущ ..., у ) есть решение уравнения Гамильтона — Якоби, то существ)ет поле экстремален, трансверсальных по отнопгению ко всем поверхностям л' = сапы и, в частности, к начальной поверхности л' = О.
В этом случае У лвляется геодезическим расстоянием от начальной поверхности в рассматриваемом поле экстремалей. Если поле зкстречалей илгеет в качестве начальной трансверсальной поверхности 5 поверхность !АЕЛ( 4 Л, СВЕдЕНИя ИЗ ТЕОРИЙ ПОЛЯ ЭКСТРЕМАЛЕЙ 49 равенств дН др;(х, а (х, у)) ду! дх др! дрл — — (!' = 1, 2, ..., и). дул ду; Фтнкпия, опрслелясмая дифференциалом (!.8.2) с точностью до постоянного слагаемого, есть !и! л — Н (х, у, р) дх+ чутр,дуг, (А1 г=! н называется иинариаигниын лллыгралолт Гииьогрл!и (пнвариант- ныы, поскольку он пе зависит от конттра интегрирования, на- ходящегося виттри поля).
Этот интеграл был введен Гильбертом в вариапионное исчисление в 1906 г. В силу бюрчул, выражаю- щих частные производные геодезического расстояния от началь- ной трансверсальной поверхности, с точностью ло постоянного слагаемого, зто !еодезичсское расстояние выражается инвариант- ным интегралом Гильберта.
Так как геодезическое расстояняе межлу точками Л и В моисио вы щслять как расстояние от тачки В до начальной трапсаерсазьной поверхности 8 поля, то, предполагая лля простоты, что точка Л принадлежит 8, из пре- дылущего находим !и! !и! л У(В) — У(А) =, ~ дУ = ) — Н дх-(- ~~ р; ду! = !А! (А! т=! г л = ~ ~р(х, у, и) — ~ итру, (х,у, и(х,уВ дх+ л + ~~ ст (х У ") ду! = т=! = )~Р(х,У,и)+ ~~ !„— ' — и Ры(х,У,п] дх. (1,8.5) !Ат ~т дх В формуле (!.8,5) выбор контура интегрирования не имеет зна'Гут чения, — вы шсляются вдоль выбранного контура.
' Ых Если точкп Л и В лежат на зкстремали поля, то — = и; ду! дх и из (1.8.5) получается введенное ранее выражение для геодезического расстояния между точками Л и В. Геория полн в варнационном исчислении впервые была разработана Вейерштрассом. Геометрическая теория поля, основанная на испоаьзовании геодезического расстояния, впервые была дана Киезеролт. инлеженне, деннее киже, следует книге курккте к гкльаертк1!1, т. !!. Геалетркческее теерке неки рккекте к книге Лккрентьеек к люстерннке 1!1. 50 ГЛ Н ВАРНАЦНОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ялл 1.8.4. Другие определения поля. )уолвм сруикиионала (1.8.1) называется область 0 (и+ 1)-мерного пространства вместе с вектор-функцией и (х, у) (и, (л., у), ..., и„(х, у) ), если в втой абласги В функции и;(х,у) имеют непрерывные частные производные первого порядка и интеграл 1 ильберта ~ ~ Р' (х, у, и) — ~ и; Р', (х, у, и) ~ йх + ~ су, (х, у, и) йуг сь л=1 1=1 не зависит от пути интегрированна С, а зависит,вишь от начальной н конечной тачки зинни С.
Это определение поля пркнадлсжиг Елисее (1914). Для того чтобы и-парамегрическое семейство зкстремазей уг = рг (х, Чь Чи ..., Зм) (1 = 1, 2, ..., я) (1.8.6) образовывало позе в области 1), необхадкмо и досгагочно, чтобы тождественно равнялись пума все скобки Ласрамэка — ", /ду1 др, ду, др11 злы, ',ддл дд ддя д18я) (1,8Л) зу уз аз ~У,'У,' с" г, ус ° ". р ° Узун Уаул Умум )" "ау Р,.~О, '' '' )О,... Улус руу ру у )О (1.8.8) (з,г=1,2,...,п); рг=ри,, и-парамсзрнческое семейство зкстремазей, для которого все скобки Лагранжа равны нулю, называюг лсайеровым свмейсгаволг, Онн были введены Майером в 1905 г.
При я = 1 всякое однопараметрическое семейсгво зкссрема- аей является майеровым. Если все зкстремази (!.8.8) выходят из одной точки, го та- кое семейство зксгремалей майерово, а порождаемое нм попе— центральное. Теорию поля. Рвнвияую нл осгюве венного выняе оврелеления, см у алис. ся РО нли Алиеверв Сукиественио иное опрелеление поля дава Гелволнлом и Фоминым Рй 1.8.5. Условия Лежандра н Якоби включении экстремали кя функционала Х(у) = ) с (х, ун .,., у„, у'„..., у„')дх в поле.
кя Упиленнылг условиелл Лежандра называется требование выпол- нения нсравснсгв 1.8д) О В. СВЕЛЕИИя ИЗ ТЕОРИИ ПОЛЯ ЭКСТРЕМАЛЕИ 81 при х,~х-=х„т. е. во всех точках рассматриваемой Вкстремали !ср. п. 1.3.4). Усиленным условием Якоби называют требование того, чтобы отрезок 1х„хх] не содержал точки, сопряженной с точкой х, 1ср. и. 1.3.6).
Выполнение усиленных условий Лежандра и Якоби до с т ат о ч н о для включения зкстреиади в поле. Для п=) локалщсльство св, Лагрснгьен и Дюстерник й!, Акчелер )11. Общий случаи см, Гельфапд и Фомка П!. Если хотя бы в одной точке )словие Лежандра не выполняется, то зкстремаль не всегда может быть включена в поле. П р и и е р 1,8,8, Дан функционал 1 ) !хху л+ 12>4) их, > ! — 1) — -1, у О) -1.
— 1 Уравнение Зг!лера-Лагранжа и 24У вЂ” — 12хту')=О или х"уо+2ху' — 12У=О, их об~гге решение полученного уравнения у = Схха + Сях — с; краевым чсловиям удовлетворяет ькстремаль у = хл, которую нельяя окружить полек, иба единственным ахнопараметрическим семейстеом вкстремалей, салержащкх ее. явлиетск у= рл.е. Это семейство якстремалей не покрывает области. содержаогей точку с абсциссой х = О.
В даннои примере Г, л 2х" и усиленное условие Лежандра не выполу тл няется врн х =- О, 1.8,6. Построение полей вкстремвлей для некоторых вариациониык задач е подвижными концами. Ниже указаны примеры полей, используемых при исследовании вариационнык задач с подвижными концами. П р и м е р 1,8.4, Дян фуикиионал у!у1=1 есх, у, о)их.
у=)ух, ую ...У„). у'= )ук уь ...у'). хх левый конец линий сравнения фивсирован, правый конец перемещаетсв па данной поверпюсти 5. Для ияучения фуввцианала рассматривается поле яксгремялей, траисверсальиых поверхности 5 1см, и. 1.6.2), включающее в себя .шнию, пахохреваемую на вкстрамум. Пример 1.8.6. Функционал тат же, чта и в примере 1.8.4. Левый конец ливий сравнения перемещается по поверхности 5х, правый — поповерхности 5. Если линия Е пахолреваетсн па экстремум, то строится поле вкстремтюей. вииючаю пее Е, трансверсальнае к ля. Обычна требуется, чтобы честь поверхности 5,, садержюпая левый конец ливии Е, лежала бы внутри построенного поля. П р и м е р 1.8.6.
Функционал тот же, чта и в примере 1.8.4. ковцы фиксн. рованы, линия Е. падахреваемая на экстремум, имеет угловую точиу С !х*, у,). Строится центральвае пале с центром в левом «онце линии Е, и какое- нибудь неценгральное пале, содержащее правый ианец ливии Е. Траисверсальные новерхности ьтнх полей соответственно О )х, у) сапя1 и 8„ !х, у) сопв1. Точка С лежит на поверхности О !х, у) — О.г 1х, у) 8 1х, у 1 — Оч !х* у » 82 Гл. 1. ВАРиАНионнов исчислинив [1Л.7 ат еляющей построенные поля.
Таким образом, одна часть линии Е принадлежат одному полю, а лругвв = второму пбла; точка с лежит внутри ббоия полей, хз Пример 187. Исслел)ется фуниционвл У()) ) Р(х у у)пх при огрвхг ннчевии у — т(х) -- Е, Ливня Е, позазревземвя нв зкстромум. состоит ив куска вкстремзли АКг, йускя границы КгКя (у = у(х)) и пуске зкстремяли КяВ; А и и — конечные точнн лтилии Е.
длв иссзезоввния ванного функц|онязв строится центряльиое поле с центром в А, причем КгКз принммзется в качестве грзнпцы построенного поля, после чего строится поле (пряное) из ькстрсмялей, квсяющизся границы. Обычйа требуется, чтобы правее позе содержало внутри себя тачку В. Полрабяое построение уквзвнныз вылов полей см. Гюнтер [Ц. 1.8.7. Определение поля для ввривцноиных задач в параметрической форме. В соответствии с и. [.8.4, полем функционала УС вЂ”вЂ” ~ Е''(х, у, х у) пгЕ называют всякую область О (принадлежащую области О плоскости х, у, в которой функция г" трижды непрерывно лифферснцируема), выесте с непрерывно днфференцнруемой в Е) функцией 6=6 (х,у), называемой наклоном ноля, если в Е) интеграл Гильберта ~ г (х, у, соз 6, Яп 6) пгх+ г (х, у, соз 6, вш 6) г[у х У не зависит от пути интегрирования Е, а зависит вишь от его начальной н конечной точек.
Однопвраметрическое семейство экстремзлей х= 7 (Е, 1[), у=ф(Е 6) р «у~рз покрывающее односвнзную область Е) плоскости х,у, образует поле, если 7, ф, 7, ф непрерывно дифференцируемы в прямоУгоаьной области (Е, ж Е «Еы Р, «6«уя] и в этой области д(ть ф) ~О. д(Е, 6) См. Аззезер [Ц, Блисс [Ц, Лвирентьев и Люстериик [Ц.
9 9. Достаточные условия экстремума 1.9.1. Достаточное условие Вейерштрасса. Если Š— экстреМаать О КОтОРОй ПРЕДПОЛатастеа, тПО Оиа ДОСтанзаст ЭКСТРЕМУМ функционалу з'(у), то длн выяснения характера этого экстремума неслед)'ется знак приращения функционала АУ= У(С) — У(В), 1.9.1! 9 9. ДОСТАТОЧН>МЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА бЗ где С вЂ” линия сраинения, принадлежащая сильной или слабой окрестности Е, изи же принадлежащая области определения Е Имеет место формула Ь./=~Е(х, у, и, у') Вх, (1.9.1) где Е(х, у, и, у') есть функция Вейерштрасса для пода Е (х, у, и, у') = Е (л., у, у') — Г (х, у, и)— — ~Л„(у,' — и;) Р',,(х, у, и), ! 1 (1.9.2) а и (х,у) — наклон поля зкстремалей функционала У(у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
