Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Под усиленны»1 услт!Нивж Ввйершшуисси ЗАЕС~ ПОЛРазумевается выполнение неравенства Е (х, у, у', Л, «") = Е (х, у, )", Х) — Е (х, у, у', Л)— в — ~ ( >'1 — у,>) е (х, у, у', М > 6 1=1 во всех точках указанной окрестности. Сн, занес !!!. !.11Л. Задачи Лагранжа, Майера и Больца. Ниже даются формулировки задач Лагранжа, Майера и Бвльцз. ! !аиболее общей из ннх является последняя, включающая в себя кан частные случаи изопериметрическую задачу (сл!. п. 1.11.1), а также задачи Лагранжа и Майера.
Ввид> распространенности приложений этих задач каждая из ннх формулируется отдельно, 3 ад а ч а Л а г р а н ж а. Среди всех к>сочно-гладких вектор- функций у найти ту, которая доставляет экстремум функционалу 7 (У) >У (х МУ)йх вл 70 гд. !. влнилционнон исчислкнип 1!.О.т прн ~вязях у <х,у,у')=0 (Р=! 2, ..., яг(я) и усяовнях на концах фа(хо у(х,), к„у(ла)) = 0 (й =1, 2, ..., ряд2я+2). П р е д и о л о ж е н и я. Функции ут ( г, у, г) (< =- О, 1, ', ..., т) определены и имеют непрерывные по совокупности всех своих аргументов. частные производные третьего порядка. Матрипа дуа ) —, !) имеет ранг т во всех точнах (х, у), принадлежащих нскооу торой области пространства (к, у), когда вектор е пробегает любые значении на концах.
дфа дф!, дфа дфа Матрица 1! — ' — ' — ' — 1! имеет ранг р. !! дк, дун дл., дуге, Функции фа обдала!от непрерывными частными пронзводнымн третьего порядка. Далее предполагается, что рассматриваются такие линии (вектор-функции) сравнения у; (х), для которых выполняется условие — ранг матрицы дфя чтут дф дфя т дфв + у — ~ у',. (к,) — !+ у — — у,'(х,) г=! г=! равен двум (условие некаеания). 3 а м е ч а н н е. Связь у! (х у у) = 0 называется голономной, если она не содержит производных или может быть приведена к виду, не содержащему производных; в противно»! случае она именуется яегояояотяой.
3 а д а ч а М а й е р а. Среди систем гладких функций уе (х), у, (х), ..., У„(х), удовлетворяющих связям уг(к У У)=О (<=О 1 2,, т(п) и условием на концах у, <х,) = ам у, (х,) = ао ..., У„(х,) = а„, у,(х,) =во ..., У„(х,) =йт найти ту систему, в которой уе (х) имеет при х = х, зкстремудг, Задача Майера »!ожет ставиться и как задача с подвижнымн концами, например, среди систем гладких функций у,(х), у, (х), ..., У„(х), удовлетворяющих связям и условиям на койцах Чт(х,у,у)=0 (<=О, 1, ..., т(п), у,(х,)=а„у,(х,)=ао ..., У„(к,)=а„, фч (х„у, (х,), ..., У„(х,)) = О, О ~1 ( и+ 1, найти ту систему, в которой у,(х,) имеет максимум на правом конце.
пн.71 ч н здддчи нл услопнын экстяеыкх 71 Предположения, ирп которых рассматриваетсн задача Майера, э хватываются предпозожениямн, приведенными ниже в задаче Больна. 3 а д а ч а Б о а ь и а <первая формулировка). Среди всех кусочно-гладких вектор-ф) нкпий у (уо у„ ..., У„) найти ту, которая доставляет экстремум фтнкпионалу а У„<У< = ~ У (х, У, У') дх + а (хо У (х,), х„У (х,)) дэ при связях тэ(х У У)=0 (р=1, 2, ..., т~п) и условиях на концах ф„(хо У(х,), х„У(х,)) =-0 (и=1, 2, .„, Рей2п+2).
Предположения. Функции чз и У имеют непрерывные шстные производные третьего порядка по совокупности всех своих аргументов в некоторой открытой области (2п+ 1]-мерного пространства. " доз Матрица ', ~~(< = 1, 2,..., п) имеет ранг ьч во всех точках ду,' указанной выше области. Функции ф и д обчадают непрерывными частными производными по совокупности всех своих аргументов в (2п+ 2)- мерной области пространства точек (хну(х,), х„у(х,)], а матрица дф дф„дф, дфя дх, ду;, дх, дуы ~~ имеет ранг р во всех точках указанной области. Кроме того, дозжно выполняться так называемое условие некасания, приведенное выше в задаче Лагранжа. 3 а д а ч а Б о ч ь ц а <вторая формулировка), Среди систем параметров н функций 'ма=аз (и=1, 2, ..., г) юг+э=у~(х) (х, =х~х,) найти ту, которая доставлнет экстремум функционалу з'=й[а хэ У(х,), х„у(х,)]+ )у<а, х,у,у) дх при связях т;<а,х,У,У)=0 <2=1, 2, ..., т(п), а=(ан ам...,а,), /а = аа (а, х, у (х, ), хм у (х,) ) + ха + ) Уа (а, х, У, У') дх = 0 <Д = 1, 2, ..., Р).
хэ 72 гл. !. вдридционнов исчислвнив ПЛ!.7 3 а д а ч а Б о л ь ц а (третья формулировка). Среди систем параметров шй=аг, (6=1, 2, ..., г), функций га е; =уй (х) (! = 1, 2, ..., я) и фтнкцпй саг+м.у — 81(х) (2=1, 2, ..., лз; х,~Х~хя) найти ту, которая доставляет экстремум функционалу л' = сг(а) + ~ у (а, х, у, 0) агх х! при связях тгг: = Р! (а, х, Зг, 0), х,=х (а), уй(х,)= у)л(а) Уа = па (а) + г) )а (а, х, у, 0) гух.
.г ! (з = 1, 2), Втаруя и третью формулировку см. Х е с т е н с 1!1. Прим ер ! ПЗ !задача Чаи дыгина!, По какой замкнутойнрнвой в гори!о!паленой плоскости должен двигатьсв центр тяжести са»апета, имеющего собственную скорость по, чтобы за время Г облететь наибольшую плошадь, если дано постоянное направление и постоянная в*личина а ( пе скорости ветра" Пусть скорость ветра на~ранлеаа по оси Ох, а †уг между направлением оси самолета и осью Ок, х 08 и у (г) — координаты цевтра тнжестн самолета.
Задача сводится к отысканию максимуча функционала г з)( ги улг) о при неголономныт связят лк — =весов»+а, щ а!' — = — пе Мн е, сн Это — задача Лагранжа. Далее см. стр, 75. П р и м е р !.!!.4. Идеальная ракета движется в вертикальной плоскости. Вели рассиатрвяать ракету кая частицу, на которую действует сила тяжести и реактивная сила постоянной вела»вше й с перемсшш» углом наклона р(и ие действует сила сопротивления воздуха), то уравневив движения имеют виК !прн единичаой массе) азх — г сов исз аяу — р вгп т — Л. |па Задача о нахождении пути, вдоль кагорпго на полет затрачивается наименыпее время при соответствующих начшьнсж и конечных условинх, состоит Ограничения на участвующие во второй и третьей форм)- лировкзх задачи Больна параметры и функции не отличаются в существенном от ограничений, указанных в первой формулировке.
1.11.З) й 11. ЗАДАЧИ НА УСДОВНЫИ ЭКСТРЕМУМ 73 в отысканяк среди всех фуякцкй н-лрн у у(гь т у(О. о~с«у пря укявянвых днфференцкальвых связях фуннцня. мпнпмяэнрупкцей время налета Т. Это — задача Майера. В самом леле, вяменнв Х, л, у.х, у ва 1. Уь уь уз, уз. получаем дкфференцянльные связи в ваде ус=уз, утз-уь уз рсоа р, т,- рз)п т — г к услоямз на концах ст о, гз= т, у.(1 ). У. (л 1, 2). Требуется влйтп тан>ю систему фуакцяй ус. Уя, уз, ус, прн которой величина Т была наяяеяыпей.
Более подробные сведения по втой задаче см, Хестенс 111. 1.11.8. Связь задач изопериметрической, Лагранжа, Майера и Больца. Изопериметрическая задача может бьыь сведена к задаче Лагранжа, есаи ввести функции г)=) у)(х,у, у)ах (1=1, 2, ..., ят). лх Тогда изоперил)етрическая задача превращается в задачу Лагранжа отыскания знстремума функционала ха Л (у) = ~ у, (х, у, у') ах гт при дифференциальных связях г,' = у) (х, у, у ) (1 = 1, 2, „, т), УеаОВНЛХ На КОНЦаХ г;(Х,) = О, г;(Хз) = Е) И УСДОВИЯХ Па КОНЦаХ исходной нзопериметрической задачи.
Изопериметрнческвя задача является частным случаем задачи Больца (смм например, вторую формулировку) Задача Бодьца зквивалентна задаче Лагранжа, в которой среди всех кусочно-гладких вектор-функций ус(х), у„+, (х) (1 = 1, 2,..., и; хт я- х ~ хз) отыскивается та, которая доставляет экстремум функционалу у = ~ (уо+уп+х) г(х при связях у;=о, у„„=о, фа=о, у„„(х,) — — — =о. 8 х,— х, Задача Майера приводится к задаче Лагранжа, в которой среди всех кусочно-гладких вектор-функций у(х) отыскиваешься 74 гл г, вариационной исчисппиин <пи.з та, которая доставляет экстремум функционалу ') у„'(х)г<х яг при связях е; (х, у, у') = О, у~ (хг) = "г -.
° уя (з"г) = ля У~ <хз) ="г " Уя(хе) л йл. у,<х,) =а„, ~ Р<х, у, у', ),) г<х, где Р(х, у, у', Л) =Л,У,+Л, <х)й, +... +Лм(х)е,„. 3 а д а ч а М а й е р а. Если у <х)доставляет экстремум в задаче Майера, то существ) ют такие множители Л, (х), ..., Лм (х), что указанная условная экстремаль является безусловной экстремазью функционала хл ) Р(х. У, У, Л) (х, где Р(х, у, у, ),)=Л,(х)ею+... +Л (х)й 3 а д а ч а Б о л ь ц а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
