Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Исаи прн условиях, формулированных выше, кусочно-гладкан кривая у(х) достзвляет экстремум в задаче Больца, то существует такая постоянная Л,, <вообще говорн, отличная от нуля) и функции Лг(х), что вектор-функция у(х) является безусловной зкстремалью для функционала ят ) Р(х, у, у', Л) г<х, хг Р'(х, у, У, Л)=ЛьУ,+Л,(х)Ч, +...+Л (х) и . где 1.11.Я. Правило множителей для задач.
Лагранжа, Майера и Больца. 3 а д а ч а Л а г р а н ж а. Бели при условиях, сформулированных выше, к)сочно-гладкая кривая у(х) доставляет экстха ремум функционалу /, <у) = ~ у, (х у у) с<х то существует такая Х1 постоянная ),, (зообще говори, отличная от пуая) и такие множители Л; (х)г что вектор-функция у<х) является безусловной зкстремалью для функционала 1л!.0! й 11. ЭАлдчи ИА услоииыи экстрсмуя 75 Условнаи ексгрсмаль задачи Больцв во второй формулировке явлиется безусловной зкстремалью функционала .т з ~ Р(х, у, у', уч Л) гух, х! где Р(д',у 1г а, 1)=)ар+Лгу!+ЛзУе+'' +ЛрУр+)зг(х)аг+...
". + Ни (х) Э, ГДС УУ(Х, У, У', Л, 2)=Ле/+А!Ус+...+). 1р+2,(Х)Р, +...+ + 2„(х) Рги Л,нмб, )1, — настоянные, 2; (х) — функции. Для етого случаи уравнения Эйлера — Лагранжа имеют наиболее простой вид — — =-Нх, — 1=П и — — '= — Изы )У =О. ЛП г(рг г)д! Лх " Йх= 'з Лх= Вывод прав!сея множ!медей см. Взнес (1!. Азиезер (1), Гюнтер )1!.
Выпад правидв множнтеяей. основанный иа методат функнвонааьного анадиаа, см. Лаврентьев и Люстерник )2!. См. акже 1.1б10. 11окажем на примере задачи Чапзыгиаа прим некие правила мвожитедев, С этой недьо найдем безусловный зкстреиум функнноааза 7' )г( 1 Гйг )2'Л Ю су) ' )а! (- (х — — у — ) +Л! ~ — — ов созе — а) +Лз ~ — — неюп 1) ак ")лг Ураивеннч Эйлера- Лагранжа имеют вид Л 1 1 !ну -( )г —; у-! 1,, ! —; — О. НГ 2 г' 2 Л! 1 Лх й)(ух+'-У+2 ну =' — 1 во соя в+Лспо зги е=-а. откуда Л! = 1ч Лт = — х гесди нропзво.
ьиые настоянные интегрирования счгжать раиными нулю за счет парадзедьяого переноса осей). Используя найденные выражени» ддв Л, и Л . получаем о -)-у 1п =О. 11о.юане х=гз!пч, т = — гсов н испопьзуя уравнении движанив самолета, имеем аг аг алу — — а на =О. вл ' он во 21' откуда после интегрировании подучим У хз Ч-у" - — у+ С, а во т. е.
по.учено уравнение езаинса с фокусом а иачаде координат, бозьшой осью, перпендикувврной к направлению ветра. и ексиентриситетом а)вз, Л„- О, )д — настоянные, ру(х) — функции, Условная чкстрсдюль в!дачи Баль та в третьей формулировке доставляет безусловный зкстремум функционалу ) Н (х„зч У', д, 2) г(х, х! тй ГЛ. 1. ВЛРНЛЦНОИМОК ИСЧИСЛБНИП 11.0. 1л 1.11.10. Условия трансверсальности.
Л л я з а д з ч н Б о л ь и а 1. Существуют такие постоянные с„, что на концах экстремали выполняготсл соотношения '((Р— 'Яуг Ву; ) ах + ~' Г, ау т ' + Лида+ е„бф =— О, фи = О при любом выборе дифференциалов дхо дуть дхс бу;е Д л я з а д а ч и Б о л ь ц а 2. Концевые точки экстремалп таковы, что тождественно для дхн буги дхь мути бал выпоз- ниется соотношение 11(тВ ХУ1Вуг~) дт+ХВутбу1~', +дгт+ 1)~Ва„балбх=О. .гг Д л я з а д а ч н Б о л ь ц а 3.
Концевые точки эксгремали таковы, что имеет место соотношенве хг У)Х,л — ~ ~~1Ут,л )+ ~л+ ~ Олдх=О. 1=1 Х1 Здесь нижний индекс Ь обозначает частные производные по аа, Трансверсальные условия для задач Лагранжа и Майера охватываются даннымн выше формулировками. Си. Бяисс 111, Понтрягин и яр, )1). 1.11.11. Необходимые условия экстремума Вейерштрасса и Клебша. Если экстремаль у(х) доставляет условный минимум и задаче Больна (лзя определенности в первой формулировке), то она явлиется безусловной экстремалью функционала хя $ В (х у, у', Л) бх, Р (х, у, у' » =- ЛоУ+ ) г (х) ит + ".
+ Лм (х) ии. хт Функпня Вейерппрасса Е (х, у, у', Л, У') = Р [х, у, 1", Л) — Р (х, у, у', Л)— —,у,'(~ — у',) Ру;. (х,у, у', Л) неотрицательна: В(х, у, у', Л, у) ~0 при всевозмолгных допусти- мых (х, у, У') ~~(х, у, у'), тэ —— О, где (х,у, у', л) — элемент кри- вой у(х) (необходимое условие Всйерштрасса). и Если Ц (( 1,2,..., н; ~Д~$Я,.~О) — система чисел, удо- 1-1 влетворяющая уравнениям и ~ 11„11 О, 1 1 тле (х, у, у', Л) — элемент, реализующий минимум кривой Е, то Ч" ,ругу„(х,у,у, »1;ил~о г,л (необходимое условие )тлгбша). Си. Бяиос )Ц. 1.11.13! 1 11.
ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 77 !.!1.12, Вторая вариация в задаче Больца 1. Вторая вариация в задаче Больна имеет вид З«7=2т [1„Ч!(х!), Ез, Л!(хз))+ ) 2" (» Е Ч') д-» Х! где 2м (Л, «ч ! ) = ~ (гт, «и«!А + 2Г„Л»ов!', + У««! „и Ч„:т)Ь), Са 27 = ~(ГУ вЂ” ~У,'.гтц) !!»а+ 2~~ ~г«ду; дх)', + 2д+ 2~ еьйв, д,»>-— -ха(0«дб 1дб, дх =х«а)0)дб=с дЬ, Ву! =Ойз (х, О) дб = „.
(х) дб, 2и — квадратичная форма относительно дхо дха, дуц, дуз, с козффациентамн, равными вторым производным от я, 2дч — то же для о„. Бслн кривзя Б неособенная, не иыеет у! ловых точек, доставляет минимум функционалу в чздаче Больца, то вдоль зкстремали у (») втораа вариация не отрицательна влоль Б: Ьзу) О. Ск.
В~вес 11!. 1.11.13. Присоединенная или акцессорная задача Больца. Задача Больца для функцнонзла Бзй нрн связях Фч = ~~Л (Чз, Бут + Ч,, Бу,з) = О, 1=1 «дф кт, дебит кт дф„ '=1, 1=! называется присоединенной или иицессорной, а ее экстрсмали— ярисоедияенкыл!и эксюремалялги, Уравнения Эйлера — Лагранжа в атом случае имеют вид д — а ° — В =-О, Ф вЂ” О, дх где Р(Х, т), «)', 1) =и+ ~~ ~)З(,) Фз, 1=! Канонические переменные х, «и, 11 связаны с переменными х, «„Ч,.', Х уравненинми 1; = Н„(х, ф «', Л), 0 = ФБ (х«ф «').
Значения л, и х„, соответствующие концаы Б, называются сопряженным к, если существу ет присоединенная зкстремалтч 78 гл т. илпилционной исчислений Вдцьг которая определяется функипямп, обращаюгцнмпся в нуль при х = х, и х = хм но не тождественно равными нулю.. 1.11.14. Достаточные условия сильного относительного минимума. Полелг называется область 0 пространства ху, которой соотвстствугот функции наклона р; (х, у) и ьгногкителп )., = 1, хэ(х, у1 (В= — 1, 2,..., т), имеющие в Ст пепрсрывгггяс частпыс ггроггзвггдныс первог.о порядка и об, адающис стел) гощпии свойствами.
Соотвсчсщуюгцис элстггнттл (т, у, р) ) човлетворяют )равнениям связей ф,,=тг ири лобик (х, 3) Г). Интеграл ,Гг я л Ув=~~ Š— к ргр,; ',»Е + ч Е,.; Ду; ~ не завгцит от пути ищсгрпровагптя в гй если арг)ментами в Е(ху, у', )) и сс производных служат .г, ун рг(с, у), )ч =-!. ;., (х,'у).' ' Всякое иоле сап~ кратно покрывается гг-параметрическим ссм»йствотг экстремален, опредсляемым дифференциальными )равнениями грег — р; (х, у).
На экстремали гголя Уе (Е) =- У (Е). Н)сть С вЂ” кривая, лежащая в поле и имеющая концы в точках х„у(х) и ха, у(х,) Тогда, учитывая свойство интеграла Хв, ф)ггкцня м (лц У (х,), .»а, У(х )) == Уе (С) + д(х„У(хг), хм У(х )) зависит только от координат кгягиов этой линии. Если Е' — экстремалго испытываемая на минимум, то с помощью фтнкцни ю получасы о(С) — у(( ) = ~ Е (лл у р (х, у), ) (х, в), у ) лх+ (ю (С) — ю (Е)(, с где Е (-», У, Р (», У), ). (х, У), У') = Е(х, У, У', )-) — Е (.», У, Р (.», Уй 1)-- я — ~ (у', — р; (х, у)) Е, (х, у, р (.»7 у), Ц г=~ т есть функпия Вейерштрасса поля, содержащего испытуемую экст емааь. удем ггредггола~ а»го что выиошгяется усиленное условие Вейерштрасса, т.
е. в поле Е (х, у, р (х, у), ), (х, у), у') ) О. Есаи экстремаль Е удовлетворяет правилу ынщкителей, уси, ленному условию Клебша (т, е, условиго Клебша, в котором исключен знак равенства) и вдоль С вторая вариация положнтель- уй ч щ оптимлпьпыи принципы 1.12,1! по определенна (сел' обращается в нуль только при ст =(л = = «и (.к) = 0), то эти т'словия обеспечивают строгую положительность разности ю (С) — ю (Е) ) О, а вместе с усизеиньщ угловисм Вейерштрасга являются достаточными усзовинми того, по Е является нсособой экстреиалью, содержащейся в такой окрестности, по лзя всякой допустимой зинни С нз )кззанной оьрсстиосп1 и нс совпадающей с Е (конць1 которой лежат дос1аточио близко от концов Е) выполняется неравенство у (С) — у(Е) ъм 0. См, алисе щ.
1.11.1б. Условие Якоби положительной определенности второй вариации. Есин вторли вариация положительно определенна па классе присоединенных экстремззей, улоалетворяющих присоединенным »сзовням дзя концов, и на интервале [хь х,[ нет то сск, сопРЯженных с точкой хн то втоРаЯ ваРиациа положительно определенна вдоль экстремалн Е. См. алисе;11, Ыа!»Земле . иле иал жение лаычи Б»л,ал с и Блисс !1й См. ~анже Гюнтер Чй Пантрюив!1!.
Пел»мам н Дреттфттс !1!. Лаврентьев н Дюстерник !2Ь 2 12. Оптимальные принципа Понтрягина. Постановка задифференциальных уранненнй 1.12.1. Принцип максимума дачи. рассцатрнвастгя системз стх' с(г и') ' (1= 1, 2,..., н), (1. 12.1) описывающая поведение некоторого объекта во времени. В момент времени Г псременныс х', х', ..., х" могут означать координаты точек, скорости и т, и. Лвнткением обьекта можно управлять. Это управление характеризуется точкщ»п и [ио ию ..., и«) некоторой г-мерной области управления ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
