Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Функпи» Г (х, у) =хе+уз-)-с!ху (1 — х — у)+ сзхяу (1 х у)+ сахзу (1 — х — !) (1.14.6) удовлетворяет красному усяонвю при любых значенних постоянных сг, се, сз. подстановка (1.14.61 в (1.14.4) вреврашает интеграл Дирихле е функцию Ф (сг, °, сэ1 переменных ст, сз, сш которые мзда выбрать тзз, чтобы зта функции голучила мвнивалььае значение. Приравняв нулю чвссные произвадныо ОФ ОФ сФ вЂ” — можно найти, что с, ю3,0401, се = се= — 0,0562. Приближенигн дег' дет' доз' решение задачи +У + су(1 — х —,в) (3 2401 — 00662(х-~-у)) ! П.з гл. !. влридционное исчисление 1.14.3.
Метод конечных разностей. Э!От метод, впервые примененный Эйлером, заключается в том, что функционал, например, у(у) = ) Р'(х, у, у') тух, рассматривается на ломаных, составленных из заданного числа я прямолинейных звеньев с задание)мн абсциссами вершин. При этом функцвонал превращается в функцию ординат вершин указанных ломаных и дальнеу)шая процед) ра минимизации проводится так же, как и в метоле Ритма (частным случаем которого может считаться и сам метод конечных разностей).
При м ер !.Н.4. Мпвнаюаировать функинопвл ! ) (у з+уз+2ху)дх, у (0)=у (!) О. о ! -о !трини масс ах — = 0.2, Имеем б у (О) -О, у, —.у (Цг!. ге =у (Он), у, = »(ОВ), у, =у (О Я),,=у (!) —.О, В качестве приближение~к виачснна производчык нршюиаем у (О)=» — ', О, у (0.2)=»з ", у (О,() =У"' 0,2 ' ' 0,2 ' 0.2 У' (О,б) = О, , ) '(О,В).= данный функционал заменяем суммой по формуле прямоугольников, тогда оп превра!дастся в функпию тетмрех переменных (,о,г/ 'т о,л ) 0,2,) +у +Одуз+ ( 2' ) +уз+1Луз+( — Л~ +уз+! бу4102. Имеем Отсюла у, = - О слаб. то!вне (да четвертого деснтнчного звяка) вначенпл неко ои функнпя » (О,т) = — 0,02!1, »(О,з) =.
О,ОЗП, у (О,б) = — О,ОЭЗК у (О,В) =- — 0.04 и. дф ду! оф дуя пф дуз дф дуз — — 42», 'ОН О, 2 (Уз — у з) 0,04 0,04 2(ул — Уи 203 — ) ),, 8 2 (!'з — !'л) 2 О'4 — Уз) 0.04 0,04 2(у, -уз) 2», 0,04 0.04 — +туз+ ),б О. !'л = — 0.0503 !'т = — 0 ОЫО !'4 - — 0.0(42. 1.!б.!! 4 )б, ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛОВ 07 $ 1й. Некоторые сведения иэ теории экстремума функционалов в линейных нормированных пространствах !.!5.1. Линейные нормированные пространства. Линейным нормированным прас)яраиством Е называется совокупность эле- ментов х, у, ..., для которых установлены операп)ш сложения и умножения на число, обладающие такиын свойствами; 1)х+у=у+х, 2) (х + у) + в = х + (у + а), 3) существует н) ль-элемент О такой, что я+ О = х для лю- бого л~Е, 4) для каждого х~ ~Е уравнение д'+у= О разрешимо.
Эле- мент у называется при этом противоположным элементу х, б) Л(нх) =(ЛР) х, Л, и — действнтельныс числа, 6) 1 х=х, 7) Л (х + у) = Лх + Лу, 8) (Л+Р) х= Лх+рх, 9) для ка!кдого хсЕ существует число, называемое нормой н обозначаемое,')х)', для которого ))х ) ) О, х~О! (!О)),=О! )))х() = ) л )(х';,)х-)-у((~)х~+~)у!). С помощью нормы можно мстрнзовать линейное нормированное пространство Е, введя понятие расстояния между элементами х и у, как р (х, у) =-))х — у)'.
Расстояние р (х, у) имеет следующие свойства: р(х, у)=р(у, х); р(х, х)=0; р(х, у)~р(х, а)+р(г, у). С помощью нормы вводится понятие сходимости в пространстве Е Последовательность элементов (х„), х„ С Е сходи!пся а себе, если !) х„— х„(! — О, и — со, т — со. Если каждая сходнщаяся последовательность сходитсн к некоторому пределу, явлнющемуся элементом того же пространства Е, то пространство называется полным. Полное линейное нормированное пространство называется пространством Баяаха или пространсяпвом типа В.
П р и н в р ы, 1. Кааяя фуикпий С!а, Ь), вопрярывныт на ивтярвадя !а, Ь), яваяотяя банатовын нрозтраиством. Саожониа функций и умножение на чиода определяется обычным образом. Норма опрядюяятся нак !к)о)! пик )кРО!. а ! Ь Л, Класс фумкций С !а, б! !си. 1.О.а) после ввадевия нормы !)к!О); — пык Ох!Ос,к !О!„..., !к' 'К)Н атутб становится банатовым пространством. 4 Ц ф л. Я. ГЛ !.
ВАЩтАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ О.га.2 Э, РаССМОтРИМ Миаисетаа гх ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВЮЕЛЬНОСтса Л НЛ, !) ! г, 2... ~аких, что лтл 1'! (со, Определим в аем сложение влементов е г=! л (!.) и у= (Ч.), кап л. у.= г!.-!.ч.), с =!, 2, ... ! Опредег!им палее умножение еле апов мномества гс на число по формуле Л.т = (Л'„.. !. ! = г, 2, с) Имеем л-г-тчг, гааги Все аксиомы, которыми опрелеллегсл линейное нормированное пространство, выполнаютсл, если в качестве нор. ы елемепта 1.та припать г)л(!=1 ~~ !1. г=! С.Л стерпиннСбл П!. 1.15.2.
Фактор-пространство. Пусть Е есть подпросхранстзо линейного пространстза Е: Элементы х и у назызаются эхаилалхенгпными относительно Е, если х — улей. Все просхранстао Е разбивается на классы Х, Г, ... взаимно зкаииалегнныд злементои. По определению Х+ )' есть класс, содержащий х+у, х~Х, у~ Г; ЛХ есть класс, содержащий Лх, х~~Х. Классы Х, У;... образую~ линейное пространство, называемое фихггьор-яростринсгяаом и обозначаемое ЕЕ.
Роль нуля и нем играет подпространстзо 1,. 1.1Б.З. Линейные функционалы. Числоиая функция У(х), определенная на некотором линейном пространстве Е, называется функционалом, Функционал у(х) назызается линейным, если У(х+ у) =У(х) +х" (у) для любых .к, усЕ; у(Лх) = Лз (х) дзя любого х~~Е и любого числа Л. Перечислим некоторые сзойстза линейных функционалов, которы! понадобится нам а дальнейшем, 1. Есдн — 0 при /~х,'/ О, то У(х) ми О.
у (х] 2. Множество нулей зинейного функционала у(х) образует подпространстзо Е,. Фактор-просгранстао Е(Е, одномерно. 3. Линейный функционал л(х), обращаощийся з нуль на множестве н)лей линейного функционала у(х), линейно зависит от х (х), т, е. с) щестаует такое число Л, что л(х) = Лу(х). 4. Линейные функционалы у! (х), ул (х), ..., уп (х) называются линейно яезинисимылги, если из хождестза с,ф(х) + сеул (х) +... + спуп (х) = 0 следует с, = с, = ... = с„= О.
Ураанениями уг(х)=0, ул(х)=0, ..., г'п(х)=0, 1.(5,5) 5 15. ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛОВ 99 где фУикциокйлы Ут(х), Уз(х),, Уп(х) линейно нелависрмы, выделяется подпространство Есо Фактор-пространство Е(Е„ п-мерно. 5. Линейный фтнкционаа е(х), обращающийся в нуль на Е„ (см.
4), имеет вил и (Х) = Л сг! (Х) + Лз)з (Х) -1- ... + Л, ~п (Х). Повсиеоив к своаствви С и 5. Можио одиозкзчиоопредезить Е (х) из квзссзк эзеиеитов Е, зквиввзеитиык огзоситезьио Е , и тем самым и' овредезить е(х! ив Е)Е' . В свмом деле, есзи хт, х бх. то Фуиипиоизкы (х) = с двв .с! и х ° (Ь =. 1, 2, ..., и). Тогдв Е (х! — хз) =-О оо условия ь а ебо х! — хвбдп.
Тзкпм образок, Фуикпаопвз е(х) одпозизчпо опредедеп ив колечко.мериом йрострвнстве (и-мерком) Е)Е„, что и дает утверждение 5. С . Лястершы и Собовев 111. Шилов 1!1. !.!54. Билинейные н квадратичные функционалы. Функционач у (у, г) называется болинейным, если он является линейным функционалом по каждому из своих аргументов. Если билинейный функционал у(у, г) непрерывен при у= =г=О, т. е.
по заданному з, к)0 л(ажно пайп! такое 5)О, что )у (у, г) ( (в при !У((( ь, (! г()(5, то дзя любых у и г ~У(у.)1 С)!Зг(((,г(( с фи(сированиой постоянной С. Если в билинейном функционале положить у=г, то функционал у(у, у) называется квадратичным. Если у" (у, у) — непрерывный квадратичный функционал, то из того, что длн последовательности (уз), !! Уь ) О !У(у у)( (! у(Е след)ет у"(У У)=О Непрерывный квадратичный функционал у(у, у) удовлетворяет неравенству (у(у, у) ((С;(у((в. Квадратичный функционал у (у, у) называется яолозкиотельяым, если у (у, у) ) О дли всех у, у~ О.
Квадратичный функционал у(у, у) называется еи.тьно полоз(сиятельным, есш! существует такая постоянная С) О, что ф(у, у) ) С() у()з дая всех у. См. Гельфанд и Фомин 1!1. (ивков 1!1. !.!5.5. Дифференцируемые функционалы. Если з (у)— — функционал, опрелеленный на Е, и его приращение в точке у'- Е дд = д (у+ И) — У (у), И с Е может быть предстзвлено в виде Вд(у) =!ф(+ п (И)( о О при )(И!!( О, где (,И вЂ” линейный ф)национал, то нослелний называется сильным диффереяциалолс или дифференциалом Фреже функционала з'(у) в точке у. 4' 100 ГЛ.
!. ВИРИИЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИИ )1.1З.З Обозначение; с<у (у, о). Если существует предел в смысле сходимостн по норме Е пгп,*!- ~,г!ге *)1,,-" — !лью:гл!!. то он называется слабым дц44еренциолол! или дифференциалом Го(по функционала У<у) в точке у. Еслп существует сильный дифференциал функционала, то существует н слабый дифференциал, причем ВУ(у, й) = дл'<у, <)).
Обратное имеет место не всегда. Ситьный лифференцнал обладает свойством линейности. Слабый дифференциал однороден, но аддитивность его не предполагается. Если в шаре ),у — уе,",(г существует слзбый дифференциал ту/<у, й), равномерйоь непрерывный по у и непрерывный по /1, то в неы существует и сильный дифференциал ду(у, А), при(ел( (КУ(у, й) = <лу(у, й), П р и и е р ы. 1. Варпацип Фувкционяла ()Л.(), данная формулой (1.!.2) па лучена как слабый дифференциал унаяапного фуннционела. Так как ь у(у+И) — у(у)-~)р(х, у+И, у +И) — р(х, у, у))ах. и то, применен формулу Тейлора к полыптегральному вырагкению, получи» Ь ы = ( (рл, и+ р' „и') л .,- о ()) и (!), а еле 1) и) — норма Функдии и кан елеиента пространства сг (а, ь).
Таким обрааом, мы получаем сильный днфферынциал функцвовела ь ау (у. Ь) = ) (р и + р из а . а Он выражаетсп той же форвгулой, что н слабый дифференциал. 2. В п. 1ЛЗЛ получена вариации фуцнцпонала (1.1З.!1 как слабый дифференциал етого функционала. Приращение укляаннаго Фувнциокала мажет быть чаннсано в Форме Л (и+ И) — У (л) = )ГГ) )Р(х, И «+И' "х+ Их ит+) у) О р( „, н п.)! ахл, = (((р и+ р и Ф! и ) ахну+о(()и)(), О гас (!И)! — норма Функции И (х, у), вычисляемее по формуле ,'1 И ) - пад () И 1, ) И й < И хм у Таким обраяои, силькьгй дифференциал рассматриваемого Функционала есть ал(н, и) =Ц(Р и+Ри их+)'н и ) амаль О Он выражаетсп той же формулой.
что и слабый дифференциал. Си, Люстерник н Соболев 11) !.гй.т! $ сз, тЕОРИя эКСтРЕМУмА ФУНКЦиОНАлОВ 1О! 1 15.6 3тцйой дифференциал фрпицмаиилл. Если приращение функционала У(у) может быть представлено в виде ДУ(У)=1/с+/в/т+(/()/с~(в, Р О ВРВ !)/с( О, где /сй — линейный, а /в/г — квадратичный функционалы, то /с/с есть ранее определенный сильный дифференциал, а 1вй называют впирым дифференциалом (сильнылс) функцттонаала У(у), Указанныл! разложением приращения функционала его второй диффересщнал опредедяется однозначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
