Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Обозначение второго дифференциала: иыУ(у, /т). с/ Если двУ (у, /!) существует, то существует и —,, У(у+1/!) асс в /=о, прис!ел! а" д/в !т-о — „У(у+гй) ~ = аыУ(у, И). П р и и е р. Вторые варивдин фуивциоиввов, рвссиотреииыд в втой главе, суть рые дифф реваи. ы втит фуинсси иолов.
Си. Лавретьев и Люстериид Р!, Гельфанд и Фоиии ОО П!ивов !!!, 1.15.7. Необходимые условия экстремума. Пусть У(у)— некоторый дифференпнруемый фуннционал, определенный на Е. Тон!та у, называется тостяой отнасипсельного минилсума [лщясимума) функционала, если длн всех у, достаточно близких к уы выполняется неравенство АУ=У(у)-У(у) О (АУ=У(у) — У(у) О). Если указанное неравенство выполняется для всех ус Е, то точка у, называется точяои' абсолютного минимума (маясилтулта) функционала.
Значение У(у,) называетсн лсинилсальным (лсаясимальнылс) значением функционала. Если точка уе является точкой экстремума дифференцируемого срункционала У(у), то его дифференциал ранен нулю: ЛУ(у„ й) = О. Последнее следует нз того, что если с/У (у„ /с) ф О прн некотором Б = Ьы то при достаточно малых 1 приращение функционала ЛУ = ЛУ (УФ /И) + О ( $1/с $ ) = 1 дУ (Уы Ь,) + О(! т ) ( И, 1), имеет тот же знак, что и / ау(ую /с,). Си. Лаврентьев и Люстсриес !!(, Гельфюц и Фоиив (с!. Если точка у, является точкой минимума (максимума) дважды дифсреренцируемого функционала У(у), то д'У(уы Ь)гвО (с/'У(уы /!) ~О).
В Самом деле, если при некотором /се '" /(Уот /'о) = О ' 102 ГЛ. !. ВАРИАБИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (1. Рдт то приращение фуняциодйла И = У (», + тИ,) — У (У) ею и (Ую г)г,) + ПЧ (»и г)г,) + о П г)г„( ) = =т' пгяу(уь, И,)+ о (!') = (' С+ о(т') при достаточно малых Г может быть сделано отрнпательным. см. лаврентьев в люстерннк (1(, Гельфанд и Фомин (1). пимов (1(. 1.15.8. Достаточные условия вцстремума. Если точка у, является стационарной то!кой дважды дифференцируеыого фтнк- ционала У(»), т. е. с(л'(Ую ь) = О, а втоРой д!гффеРснциал в этой точке агвл'(у„гг) явлнется сильно положительным квад- РатНЧНЫМ фУНКЦИОНаЛОМ ПО )1, тО Уа ДОСтаВЛЯЕт МИНИМУМ ФУНК- ционалу у(у). Аналогично формулируется достаточное условие максимума.
Одной только положительности в!араго лнффсренцйлла г(яу (», ))) в стационарной точке у, недостаточно длн обеспечения иннимумл функционала у(у). П р и и е р ы. 1. Для функционллв 1 у (») 1 уя (х — ») лх, о рассматриваемого в плассе С (О, 1), точк໠— О является стационярнай. Второй вифференвиал етого функционала в точке» ю О равен ! ЛЯ»(О, Л)=(хьлдх, ИЫО. о однако в любой окрестности нуля функциавял 3(») принимает н отрицательные внвчения. 2. В пра«трвнстве гя ввдви функционал ит хп не ~а и п=) и 1 Точка х О является стяционлрной.
я второй дифференциал равен % ь'„ Л»(О, «„)- ю», -т п=) н положителен лля всех Л ЮО. ОДНВКа ДЛЯ Х = (О, О, ..., О, 1гл, О...,) ВМЕЕН Г (Х) — — — ( О. пе и' Таким обрлвом, »(х)(Н(О) и минниуи отсутствует. если ме второй диффереидиы ля»(», ь) является длл любой точки» ноломнтельяым «ввдрвпюным функционалом по *, то точка»а, такая, чта ну(»а, л) О, нвляется точкой инвниуив функционала. См. Гельфанд и Фаина йй Колмогоров и Фанни (1(, Шилов (1(, Яитлии (О).
1.15.9. Изопернметричесияя задача. Правило множителей. Даны дифференцируемые функционалы уо(у), уг(»), ..., уа(у) и постоянные С(, л',„... г Ьй. ОРеди элементов области определения !.!5.!01 э !5, теОРия экстРемумА Функнт!Ондлов 103 функционала /, (у), !довлетворяюших уравнениям Лх (У) =- (.ь х' = 1, 2... й, требуется найти элемент, доставлнюший у,(у) наименьшее значение. П р е д и о л о же н н я. Области определения функционалов у,(у), ..., эа(у! имеют непустое пересечение, ПеРвые диффеРенциааы фУнкпионалов У! (У), Ух(у), ", хл (У) линейно независимы, следовательно, существуют такие элементы йо й„..., й„, для которых «Ух(уь "х) «Уа(уо (хх) ".
«Ла(уь йх) «Ух (Ум (хт) «-(а (Ум (ха) " «4а (Уэ ()а) сб «У (У, хха) «ха(у, аа) ... «ла(У, йа) Если элемент у, доставляет минимум фухпхцноналу у„(у) при указанных выше уравнениях связей, то его дифференциал обращается в нуль на пересечении множеств нулей дифференциалов функционалов «ух(у„й), (=1, 2, ..., й. В эхом случае (сн. 1.15.3) дифференциал «Уа(ун (х) явлнется линейной комбинацией дифференциалов аЧ;(у„ 6),1 = 1, 2,..., й. Таким образом, в точке экстремума «у,(у„й) = ~ Х! «л! (Ум И) (Х! — числа) или Мы получили правило множителей Лагранжа для изоперимехрической задачи; ср.
1.!1.1-2. С . И!илов 1!1, Махлин 151. 1.1ВПО. Обшаи задача на условный экстремум. Пусть у(у) — функционал, определенный на банаховоь! пространстве Е, Т(у) — функция, определенная на этом же пространсхве с областью значений в банаховом пространстве Ь!. Если дчя всех у,'у (у) = О, из неко~арой окрестности точки уа, Т (у,) = О выполняется неравенство у(у)-у(у ) (у(у) у(у )) то точка у, называется точкой условного минилхума (микаил!Ума) функционала у(у) при условии Т(у) =О. Если точка у, условного экстремума функционала у(у) при условии р(у) = О есть «рааильяая точка многообразия я (у) =О, !04 ГЛ.
!. ВАРИАЦИОННОЕ ИСеНИСЛЕНИЕ Назло то существует такой линейный функционал 1, определенный на пространстве Еее что для функционала и'(у) — (о(у) имеем д(У-(Е)(УИ И) =О при любых Ь из Е. Дадим определение правильной точки многообразия. Если имеет место равенство о (у. + Л) - Ч (уо) = (й+ (уо 6) где (й — линейная ф)нкция от й, зависящан, вообще говоря, от уе н !! ю (Уо й) !!= о(! й!!), то (й называется гильнмле дифференциалом илй диФференциалом Фраже функции о(у) в точке у„ соответствующим приращению й аргумента, и обозначается дн (уее й).
Линейный оператор !линейную функцию) 1, вообще зависящий от у„называют сильной производной или производной Фрекен функции еу(у) в точке у,. Если 1= 1'(у,) отображает пространство Е на все пространство Еа то точку у, называют ираеильной точкой леногообразия Е(у) =О. Правила множителей, приведенные в 1.11, нвляются частными случаямн приведенной выше теоремы. Сн.
Люеееанне н Соболев 1!!. Глава П ИНТЕГРАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ ф О. Введение — х (! — »), 1 ут й(.т, у)= 1 — у((-х), т!- х Ю >с х >у. (20 !) Действительно, проектирование снл на ось Ои в силу условий равновесия дает Тып к+ Тип О 1.
(2.0.2) Рнс. 2.0.1. й (х) . й !х) вследствие малости колебаний юп а 12 » †,юп О 12 О = Г ь, тде й(х)— х' Т вЂ” х' смешение струны в точке х. Иа (2.0.2) следует, что тй(х) ~ — + — ~ ! и й (х) Г1 1 1 х р — х) 12.0,3) 1 — ! 77 Рассмотрим случай хюу. Иа подобия треугольяикое АВС н А!В!С слелует, что й(х, у) 1 — у — и «(х) 1- х й (х, >) хи — у) Тг Аналогичво выводится вторая часть формулы (2.0,1). Коли на струпу действует непрерывно распределеннаи сила с плотностью /(у), то на интервал данны а у действует сила / (у) ау. которую при малом ау можно считать сосредоточенной в точке т, и тогда К точке х возникает снешс иие й (т, у) /(у) ьу. Под действием асей нагрузки отклонение м (х) будет приближенно равно ~, 'й(т, у) /(у) а т, что при еу 0 переходит в и (х) 1 й(х, >)/(у)ау.
(2.0.4 0 2.0.1. Определение, Примеры. Ингяагуальны.нн ууааненияма называ!от уравнения, в которые неизвестные функпин входят под знаком интеграла. Г)р и и ер 2.0.1. Рассмотрим малые колебания струны длюси 1. Пусть ОС вЂ” поюжение равновесия (рис. 2.0.1), 7' — натяжение *труаы. 11сд действием единичной силы, помеюснной в токмо х, смещение й(х, у) в точке >' аадастся формулой !Об ГЛ. И, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ )2.0.1 Функция й(х, у) носит наазанне фум ции л.гилхлл, 1)рн «ыводе (2,04) была использована «нмметрнчность етой функивн: й(у, х) =й (х, у).
Еслн на струну внешнне снлы це возлействуют. та прн нарушенцн ее равновесия возннкают свободные колебанвя струны, Пусть и (х, !) — отклонение от положення равновесия в момент временн (; дзи(х, !) ускорение в точке х в момент «реме ш ! Равно Обозначая через р лмнейную плотность струны, получнм массу злементв струны ду н анде р ду. Из урзвнення равновесна (2.0.4) получается уравнснне дел (у, !) лвнження, если У(у)д) заменить ка — яду ., т. е. дю в(х, !)=- — ~ й(х, у) яду. дзн(у, !) д(с о (2 О,б) Еслм «отебанна гармоннческом а(х, !).—.-п(х)з1п г, то. подстав!ля зга выражение а (2.0А).
получаем урааневпе дл» определения л (х): «(х) = р ' ( й(х. у) м (у) (у. (2.0.6) О Если на струну воздействует внешнее нерполн гсское воабуждеане !',)(х, !)=0(х)я1п !. то, предполагая, что н ртруна будет колебатьсе с тем же периодом, можно нз уравнения (2.0.4) получить. прнменяя прннпнп Даламбера, и(х)ыпм(=) й(х, у)(р())а1пмг+р язш !)ду О нлн и (х) .= л т )" й (х, у) и (у) ду+ / й (х, у) О И ) ду, О 0 (2 0.7) что можно запнсвть в внле и(х) Гмз)ей(х, у)и(у)ду+й(х), О (2.0.8) Такнм образом, н в случае сяободныт колебаний н в случае вынужденнык колебаний функция н(х) определяется нз ннтегральнык уравнений; соответственно (2.0.6) н (2.0.8).
Прн и ер 2.0.2 (зпдочо Абеля). Материальная точка под действием снлы тяжестн движется в вертикальной плоскости (с, ц) цо неьошрай кривой (рнс. 2.0.2). Требуется определить жу кривую так. чтобы материальная точка, начав свое движение без начальной скаростн в точке кривой с ордмнатой у, достигла осн ", за время ! 7(г), тле функция у(у) задана заранее. Абсолютная вслпчина скоростн двнжущейся точкн э .=)72д ( у —,). Еслн а — угол наклона касательной к осн с, то д, — — У уй(у — ц) з(по, (2,00) д! и, д! =— . (2.0.10) У22(у — Рюпо Рнс.
2,0.2, Интегрируя (2.0.!О) в пределак от 0 до у, получнм ннтегральное уравнение 107 $ о введениР т.о з) Лзьля = - — Узх Пу), гт( ач 31,— ч о гдол 1) гхе ч(чг= —. л~я 2.0.2. Классификация интегральных уравнений, В данном пункте даяттся сведения, главным обрззглм о .линейных интегральных уравнениях вида 7(х) — Т '] К(х, з) в(з) аз =У(хк а=х~Ь. (2012) а свободный член — функция, интегрируемая со своим квадратом на отрезке [а, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
