Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Соответственно характеристическим числам нумеруются собственные функции. 236. Билинейная формула. Пусть ядро К(х, 5) допускает разлом,ение в равномерно сходящийся ряд по ортонормированной системе своих собственных функций К(Х, 5) = ~ с712а (5) В=1 (2.З.3) и, следовательно, оа (Х) ма (3) Ге=1 Обратно, если ряд со Х' Еа (.т) Тв (3) ),и а 1 (2.3.10) (23.11) для каждого фиксированного значения х в случае непрерывного ядра или почти всех х в случае квадратично-суммир>емо-, го ядра. Имеем з аввы ~ К(х, 5) сув (з) с(з =~» срь (Х) (2.3.9) л„ а !г.т,а ' ГЛ. И.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ сходится равномерно или по крайней мере так, что любому положительному а соответствует такое целое положитедьйое число п„что то К(с,) '~' ть(г)РЬ(5) и! )ь Ь=1 Имеет место '1'е о р ем а. Ряд (2.3.11) сходится в среднем к ядру К(х, з) и К(х,з) =!.!. ю. У Т" *) ть ) (2.3.12) ь==! или, что то же ь ьГ а 12 Вш ~ ~ К(х, з) — У ' ' их да=О. (2.3.!3), Ъ1 а! (х) а! (5) а оа л а а Ь=1 Докааатальстаа си. Привалов О1, жихлаи 121, Трикоии 12!. Если симметричное ядро К(х, з) имеет лишь конечное число характеристических чисел, то оно вырожденное, ибо в этом случае К(х, 5) =- 1!а (2.3.14) Ь=-1 Ядро К(х, 5) называется полож!ля!ельне оиуаеделеяныж, если. для всех функций а(х), отличных от тождествеяного нуля, ьь ~ ) К(х, 5) Т (х) Т (5) дх дз ) О аа и шппь для т (х) ю О указанный выше квадратический функционал равен нулю.
!акое ядро имеет только положительные характеристические числа. Аналогично определяется отрицательно определенное лдрь. Т ее р е м а. Всякое симметричное непрерывное пвложнтельяо определенное (или отрицательяо определенное) ядро разлагается по собственным функциям в билинейный ряд, абсо-. лютно и равномерно сходящийся относительно переменных к, а (Мерсер). 2.2.21 $ 3. СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРЛНЬНЫЕ УРЛВНЕНИН 129 Теорема остаатся верной, если допустить, что ядра имеет конечное число отрицательных (соответственно положительныл) характеристических чисел. Доказательство см, Привалов 111, Трикоми 121. Теорема.
Если ядро К(х, з) симметрично, непрерывно в квадрате а(х, з~р и имеет в последнем равномерно ограниченные частные производные, то оно разлагаегся по собственным функциям в равномерно сходящийся билинейный ряд (Гаммерштейн). См. Ктраит — Гзьльберт 61. 2.3.7. Теорема Гильберта-Шмидта. Если функцию Г(х) можно представить в виде а Г" (х) = ~ К(х, з) п(з) лез, (2.3А5) а где ядро К(х, з) — квалратично-суммируемое, л(з) — некоторая квадратично-сумиируемая функция, го У'(х) может быть представлена своим рядом Фурье относительно ортонормированной системы собственныл функций ядра К(х, з): у (х) = ~ аамл (х), (2.3.16) а=1 где а„=(Т, Ть) (Л =1, 2, ...). Если, кроме того, ь ~ Ка (х, з) суз( А.Сор, а то ряд (2.3.16) сходится абсолютно и равномерно для каждой функции у(х) вида (2.3.15).
Доказательства см. Трикоми 121, Миллим 121, Привалов Рй ж3.8. Билинейные ряды итерированнык ядер. По опредет пению итернрованных ядер К,„ (х, з) = ~ К (х, л) К„,,(з, з) ьзл (и = 2, 3, ...), (2.3.17) а Коэффициенты Фурье аа(з) ядра Кю(х, з), рассматриваемого как функция х, относительно ортояормированной сястемы собственныл функций ядра К(х, з) равны ь ал(з) = ) Кю(х, з)ул(х) зух= —. (2.3.16) Та (з) а л~ 6 г( ф !39 ГЛ. Н.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !2.».з (2.3.20) сл (х) — Г (х) = ~ гр а«(х), ь=! с« — — ) (м(х) — У(х)) Гь(х) с(х= а ь ь = ~ у (х) м„(х) сух — ) г" (х) у«(х) сух = Е» -у». а а По теореме Гильбертз — Шмидта ь ст мт Е«Л Л ~ К(х, з)у(з) Кама у — уь(х) а «=! и, таким образом, Е«Л )«У« ЛУ» — = Е» — у», Е« = ' ., с« = .
(2.3.22) л Л«л Л» Л Следовательно, аа а (х) = г" (х) + Л ~~ „«и» (х). ь=! (2.3,23) Применение теоремы Гиль берт а †Шмидта к (2.3.П) дает К,„(х, з)= ~~~~ "«( Гь (и=2, 3, ...), (2.3.19) Лт В формуле (2.3.!9) сумма ряда пояил~ается как предел в сред- нем. Если гке дополнительно ь ) К'(х, з) с)з ( А (оэ, А = сопит, а то в формуле (2.3,!9) ряд сходится рзвяомерио. доквввтольстии см. Трикоми !21. Миссии !31, Привалов П!. 2.3.9. Решение неоднородного уравнении. Представим ин- тегральное уравнение ь у(х) — ) ~ К(х, з) а(з) сгз =г" (х), а где Л ие есть собственное значение, в виде р (х) — у'(х) =гЛ ~ К(х, з) р (з) суз (2.3.21) а и применим теорему Гильберта — Шмидта к функции у(х)— — Х (х): э.з.10 $ 3, симметРичные интеГРАлъные уРАВнения 131 Если же Л вЂ” характеристическое число: Л=Л =Л,=...=Л, -(2.3.24) то при йфр, р+1, ..., гр члены (2.3.23) сохраняют свой вид.
При й=р, р+ 1,, 1) из формулы (2.322) следует га = са "— Лл) и в силу (2,3.24) УР— УР,—...— — г =О. Последнее означает, что (у, Ря) = 0 при Д =р, Р + 1, ..., гр, т. е. свободный член уравнения лолжен быть ортогональным к собственным функциям, принадлежащим характеристическому числу Л. Решения уравнения (2.3.20) в этом случае имею~ вид Ч (х) = г(х) + Л ~~ л та (х) + 1)' са тл(х), (2.3.23) ьт та л=р где ш~рих в первой иэ сумм (2.3.23) означает, что должны быть опущены члены с номерами Рг =р, р+ 1, ..., д, при которых в этой сУмме одновРсменно обРащаютса в нУль Ул и Л вЂ” Л„, Коэффициенты сл во второй суиме — произвольные постоянные. См.
Митлнн (З), Триноми йй 2Л,!О. Альтернатива Фредгольма для симметричных интегральных уравнений. Результаты п. 2.3.9 можно объединить в сзелу1ощей альтернативной форне. Симметричное интегральное уравнение ь т (х) — ) ~ К(х, л) Т (л) аз =у (х) а при заланном л вибо имеет для всякой произвольно заданной функции у (х) ~~ Еэ(а, Ь) одно и только одно квадратично-суммируемое решение, в частности, т = 0 для у = О, либо соответствующее однородное уравнение имеет положительное конечное число г линейно независимых решений ть ам ...,и,.
Во втором случае неоднородное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда заданная функцияг (х) ортогональна функциям мо ро ..,, р, и решение определяется лишь с точностью до произвольной алдитивной линейной комбинации с, р, + с,ми+.,. + с т,. 2.3.!). Экстремальные свойства характеристических чисел и собственных функций. В силу теоремы Гильберта— Шмидта рс(х, э) р(з) из=ггя — л ра(х), ав=(р, чя). (2.3.23) а Ът ал а-1 б* ГЛ.
з!. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !2.33! Умножая это равенство нз 7 (х) и интегрирун, получим ь ь со ~ К(х, з) 7(х) р(з) ах!уз=,р —. (2,3.27) л а а ь-! Полагая в (2.3.27) р= 7, будем иметь ь ь ~ К(х, 5) рле (л) рлт (3) !Гх етз = —, 1 а а а при ж=! ь ь ! ~ К (х, з) р, (х) у, (з) !Гх !уз = — . ле' (23.23) (23.29) а а (2,3.39) Си. Нурвлт — Гильаерт !!1, Привалов 1!1, Митлии !2! Трииоии Гд. С дру~он стороны, 1 1 ! и из (2.3.27) и неравенства Бесселя следует, что ьь 11к!" и (*! !'> "а/ аа 7 л ! =6 —,Ум а~~е6 !А, $ ре (х) ах, (2,3.31) ь=! л- и откуда при 1,'р(! =1 Гь ь 1 1 ! А! ! (~ ~ ) К(х, з) Р(х) 7(з) !!хетт ~ . (2,3,32) аа !» ь Таким образом, ~ ~ ) К(х, з) р (х) 7 (з) е!х етз достигает максиаа мума на множестве нормированных квадраптчно-суммируемых функций; зто макгимальное значение достигается при р= 7! и равно ! Ат ! '.
Аналогично доказывается, что ьь 3~ 3' 11кс >е!>ес> * '! аа на множестве функции (а) й Ее (а, а) таких, что (,, „')=(,, 7,)=...=(, ...)=о. р 4. Интегральные преобразования и интегральные уравнения 2,4.!. Преобразование Фурье. Известно (см., например, В. И. Смирнов [2)), что лля функпин у<к), удовлетворяющей условиям Дирнкле на дюбом конечном игнервале и абсолютно интегрируемой на всей числовой оси, имеет лсесто формула 1 1' у (х) =- — бт асы ~ у(с) соз и (с — х) Ж, 0 — со (2.4.1) или 1(х) = — ~ би ~ У(С) соли (С вЂ” х) ссг.
(2.4.2) 1 2з Фсрьссзы !24.1) и (2,42) нззыввются пяюегральными форлсулами фурье. Так как функция с П) ип и (с — х) нечетная относительно ы, то 1 0=- — ~ г(и ~ У(С) ИП ы (С вЂ” Х) бт, (2.4.3) 2:с и складывая !2.4.2) и (2.4.6), умноженное на 1, получим инте- гральную фор.кулу Фурье е комплексной форме Е(Х) иы у!г) ЕС гсг-к> Ос( 1 Г (2,4.4) 2»с Обозначив (2.4,5) получим У (х) = ~ Р ( ) е с " б~. ! Р 2:» (2.4.6) Формулы (2.4.5) и (2.4.6) образуют пару взаилскых креобразоеакий Фурье, причем функцию с (ег) называют преобразованием Фурье функции у(к) (или же с»секи»ральной фуккчией). Формула (2.4.6) называется формулой обращения Фурье.
По поводу выводе фоаву. 12Л.Ь) в 1),4,В) св. также и, М. Гелсфввд 1)), В.4. и й 4 ИНТЕГРАЛЬНЪ!Е ПРЕОБРАЗОВАНИЯ !зз 184 (лиш ГЛ. Н. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ формула (2.4 б) может рассматриваться как интегральное уравнение первого рода оютосительно функции /(г). Формула обращения (2.4.8) дает решение этого интегрального уравнения. Из инте~ральной формулы Фурье можно полулитр так называемые синус- н косинус-преобразования Фурье. Так, считая /(Г) нечетной на ( — со, со), из (2.4.1) получаем 1 Г /'(х) = — ~ т/ш ~ у(О сов от сов их т//-(- о + — ~ атш ~ /(1) атп шс 51п их с// = — ~ с(ш з(п шх ~ /(/) атп ш/ ат/. и -'"а о о Отсюда, обозначая т 2 С Ра ('е) = у/ ) /(/) 51П и/ С//, о (2ий7) получим к2 Г / (х) = 1/ — 1 Ра ( т) з(п шх т/и, и.
о (2.4,8) Г2 С рс (и) = а/ — от у(/) соз шг т/Г, и. о /21" /(х) = у — ~ р,( ) соэ /с//. и. о (2.4.9) (2.4.10) И р и и е р 2.4.1. Решить иитеграаьиее уравиеиие сп г ) Л(х) в(пахах=/(х), тле /(х) ~ 2 * о О, х е. Переписав уравиеиие в виве /(х) )т — ) )г — Л(а)в(пахах У а)У о формулы (2.4.7) и (2.4,8) образуют пару взаимных синус-преобразований Фурье. Аналогично, если,/(х) — четная функция на интервале ( — со, со), получаются косинус-преобразования Фурье: '2.4.Ц $4, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ и рассматриваю его вак синус-вреобрлзоввния фуакции угя/йл(х), ири иомощи формулы обращения ишодим т/ к з(и«л — Енф )г — 1 — а(и ха(и:х Лх 2 32 )г 2! — лв 0 и, наконец з!и л л (л) 1 — лз' Лля иреобразавания Фурье, в также синус- и «осинус-преобразований Фурье составлены таблицы.
См. Ляткиа и Прудников (Ц, Бейтмен и Эрдейи (Ц. Кажаая вара взаимных ореабразоиаиий дает решшше лиух «заимаых интегральных уравнений. При помочи Формул (2мя) и (2.4,10) кожно настроить аример иефредголь. мова интегрального уразневи», собстеениаму значению ноторага соответствует бесконечное множество линейно независимых собственных Функций, Пример 2.4.2. Напишем (2.4.9) и (2.4,10) в виде т/2 Г т/2Г р(х) р' — ) /(!) соя х! иг, /(х) $г — 1 Р(г)соха/иь 0 0 то~да функция Р (т) + / (л) будет собственной Функцией интегралыгого ура вивана ' ° /2 Г р(х)+/(х)= ь — )(р (с) Ф/пц сох хгш.
0 соотзетствуикцей харантеристическому числу л у 2(,. Лостаточно заложить /(х)= — е 1, Р(х) 1'2р(ха+рх), р)0, чтобы получить беснонечиое мвоже. ство собсшениых Фуннций, ариаадлежа~ггих указанному характеристическому числу. Преобразование Фурье применяется и лля решения интеГральных уравнений, отличных от рассмотренных выше. П р и м е р 2А.Л. Найти решение инхегральаого уравнения Г(х) / (х) + ) Л (х — У) У (У) Лз. Обозначим ареобразаваиия Фт рье Функций / (л), л (х) и искомой у (х) соответственно через Е(и). К (и) и Ф (и). Имеем Ф(и)= — = 1 ~/(х)+ 1 й(х — у)у(3')иу е их= 1 г Г г ,1 (хи у'2= 1 ~ РОВ+= ~ 'О' ~ а(х — у)у(у)еьхи Гх 2 ° Р(и)+= гт у (у)иу ~ Л (х — у)с'хи их у'21г 3 р(щ+ — 1 с(риу (у) иу ~ 1 (Ш с(Чиня р (и) + у лв Ф (и) К (и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
