Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Дчь 1, »=-1 Возможные траектории, опрсдевяемые принципом наименьшего действия, совпадают с экстремазями функционала (3.2.19) т. е. с геодезическими. Так как форма л 3(»ртч» (. »=1 есть положительно опредеаенная квадратическая форма, то ддя функционала (3.2.17) выполнено усиленное уодовие Лежандра. Вези А — начааьная точка геодезической, то сопряженная с ней точка С (если таковая существует) находится от нее иа некотором, не равном нулю, расстоянии. Поэтому всякая дуга АВ рассматрнваЕлщй геоДсэиЧЕСкои, принадлежащая дуге АС, будет давать действию по Якоби слабый мянимум, и тем самым оправдано название «принцип наименьшего действия». Вместе с этим показано, что даи достаточно малых дъг геодезическая является кратчайшей линией.
См. Лаврентьев н Люстсрннк 111, 121, В. И. Смирнов РР 3,2.4. вывод уравмемня малых колебаний струмы. Гибкая иатерналь. нап лвння длины 1 с линейной плотностью р = р(х) вакрсплена а точках х=о и х= 1. Колебания струны происходят в плоскости Охм (рнс. 3 2.11, причем в начальный момент времеви форма н скорость струны нввестиьп и (' уо) = ч (х), пт(х т ) = й(х). 158 ГЛ.
И!. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (3.2.3 длшгу леформнровапной струны, а вса скобка- где интеграл в скобке выражает уллпнеиие струны. Учитывая, что колебавии— малые, црснебрегаем в бивомиальвом разложении радиняла )г 1 -(- и;, членами, содержвшими а в степени выше второй, х и получаем для потенциальной энергии деформации струны выражение — > и дх.
Если на струну воздейст- О чует внешняя сила р(х, !>, рассчитанная нв единицу мессы, то к потенциальной энергии следует добавить Рис. 3.2.1, ! чл и — ) рридх. Таким образом, О 1 потекцивльная энергии струны разин и' дх — ~ рри дх. О О Кинетическая енергив стр>ны равна 1 Г я — ~~,и,,!х. 2) О Согласно принципу Гамильтоне-Остроградского 11 3 2 ) ) (ри! — топ х+ 2руи) дх д! = О. 1,3 Отсюда следует уравнение Эйлера — Остроградского д ! 2рР+2Та — а — 2 — (ри ) = О дх х дг( ияи о)(ри ) = Теи + рр.
д (3.2.20! Если пдотность р постозннв, р(х! = ре. то пол>чаем, обозначив — = и-', Та ро ден д и — „=ае — „+Е. дИ д.ет (3.2.2!! Если внешняя сила отсутствует, Р= О, та получаем ояи „ дзи — ат —. д!з дх (3.2.22! Уравнена» (3.2.20! !!ли (3.2.21> дают уравнения вынужденных колебаний, в урав- нение (3.2.22! — свободных колебаний струны. Струне работает из растяжение (по не иа изгиб>, причем работа деформации выражается произведением натяжения струны То ва ее удлинение.
Этв работа равна Мы приходим к краевой зазачег Найти решение уравнения (3,2.20) или (3.2.21) или (3.2Л2) при начальных условияс а(х, /е) р(х). и/(х, /е)=ф(к) и краевых условиях и (О, /) =- О, и \/, О) = О, Вывод ураввенпв колебюшя струны при упругом закреплениз концов см, Гельфавл и Фомин (1(, 1'юнгер (1(, В. Н. Смирнов (1(, Курант — Гнльберт (1). йд.б. Вывед урааяеиия колебаний мембраны, Пусть в по.жжении равновесна ченбрана натниутя в плоскости О к т, ее плотность р =.
р (х у) От к тане. нне точек мембраны от поломаны раввовесггя обозначен через л .=. а (.т, у, Г) (рис. 3.2.2). Мембрана занреплгна вдоль своего «авгура; в вача.юю„й омеит / = 0 заданы поло;кение мем. брани у,/) и=/ (х, у) и скорости ее точек ди — ф(.с, у), д/ Квпетвческая ввергня мембраны равна Ц р и,' дх ду. О Рис. 3.2Л. Патенцназыыя звертив, пропсхалнщая от дефор ации растяжеюгн, равна Г)Г )й (х У) [1 ' "г, и)", — 11 бк д.гг ь 2 Г)Г )й (ггг~а+ гг,) дхд/А О О Потенциальная внергин, происходяшан от действующей нв ме брану внешней силы р(х, у, /1, направленной перпендикулярно к плоскости Оху и рассчитанной га едгннцу массы, равна — Ц зри дк бу. О Твкнм образо, патснцвальиан знергия мембраны равна )) [2 "(ила ч-пу) Рдп~ '/х "У.
О Согласца принципу Гамильтона †Остроградско имеем 3) ~ Ц )ри/ — а~с/к-~-иг) — , 'зяби) бед)) дг=о. О Отсюда па, учао уравнение Эйлера †Остроградско рр'- — (ри ) ф — (аи )-(- — (Ьг,)-О д, д д д/ / дк х ду У. илн дяа д / дпт д / дит рр — р — -~ — ( й — ) + — ( й — ) - о. ОМ дх~, ) ду(, у) (3,2.23) 3.2.3) й 2. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ 159 )ОО ГЛ. )П.
ПРИЛОЖРНИЯ ВКРИДЦИОННОГО ИСЦИСЛРНИЯ [32Л Таким образом, ураанегив выиуждеинык колебаний мембраны имеет аид (3.2.24) а прн Р: Ра й у—д : йе — =ил, йо Рэ Уравнение» свободныд «олсбаний иембрапы будет дги „Гоги дггг> дта '.д. -' дусУ" (3.2.23) (3.2.)б) Мы приходим к нраевой задаче. Найти решение уравнение (>.2.24) илгг [>.22п), нлн (3.2.2б) при начальных условиях и(х, у, О) = р (х, у), ди дт )Г -О и краевоч усаоввн (закрепление мсвбран ил ль конгура) и),=О, 15 и р(х), — =-«(х) дт Краевые >славна: и(о, г)=и(1, 1) =О, п)гв Г =- О.
ди) дгг( О. дх)х=-О дх)х 1 Кииетическаа энергия стержня равна г — 1 ри( дх. 2> О Потенциальна» внерги» элемента стержня принимается пропорциональной квадрату его крииизны — й (х) — ) дх, ~У( е) 1 что длэ мелит колебаний пРиблнжснаа Равно — а [х) вх дх. Таким обРазом. 2 с учетом действия внешней силы потенциальная звертив от*ржав равна ~ ~ — й (х) и»х — Рли~ дх. О тле 5 — комтгр мембраны. См. Гельфанд н Фомин )Л, Гюн. Рис. 3,2,3, тер (1), В. и, С ирнов [1), Куравт— Гильберт 11) 3.2.3. Вывод уравнения «олеба- ний стержни, заделанного ма концак. Пусть стержень [рнс 3.2.3) имеет ллниу 1, линейную плотность р [х); на стержень действует сила р1х, г), ваоравлеивае перпышикулврно к нему в положш вни равновесие, рассчиганнав на еди«нцу ассы.
Стержень работаег на иыырб (на ве на растэж ние). Направвм ось абсцисс по оси стэржнн и обозначим через и (х, 1) отклоне° ие точки стержне от положение равновесна. Начальные условии 161 з.з,ц й 3. ЗАЛАчА штуРмА — лиуВилля В сиду принципа Гамнзыона — Острограпского (з ( 3) пу) [ри/ — З» +арра)а О. г, о Отсюда подучвем уравнение Эйлера — Острогрздского д дт рр — — (ри) — —. (Лп )=О, дт Г дхх хх что дает уравнение вынуждеииык козебаннй с~ержне дзи ! де / десг! дм р дх" [ дх-',) зо иски Ржи Ре. а=аз, — о ап то (3.2.27! пРини асг вид Ре (3.2.27! дги деи — +аз И дм д.те (3.2.28! Из (3.2.27) и (3.2.28! омно позучшь соответствуююие уравнение «пободных колебании стержи» д"и , ! дз / дзи! ози .
дзп —.т- — — ! й — )=О и — „+пз — = — О. д(е р дхз ! дхз) дм дхе См, Гюнтер (Ц, Эзьсгодьд (Ц. Курант — Гидьберт (Ц. Применение приникла Гамильтоне-Остроградского к выводу уравнение козебзний пззстины см Куревт — Гидьберт (Ц, В. И. С ирнов (Ц, Гюнтер (Ц, Гельфанд и фомин !Ц; к выводу основных уравнений динамической теории упрусости с . В. И. С йрнов (Ц; к выводу осаоввьж урзвневнй гидродинамики см.
Вебстер сЦ. 3 3. Задача Штурма †Лиувил З.З.!. Постановка задачи. Выше при выводе уравнений колебаний струны, стержня, мембраны указывались те краевые задачи, которые связаны с решением полученных уравнений. Эти задачи рсшаютси методом разделении г(еремеииых (ми/ладом бьурье) следующим обрззом. Пусть, например, дано уравнение дси ди д"и Р— — + /7 — + (',уа = —;, дх' дх д(' ' х, 0)=у(х), ' ~ =д(х), у(х),д(х)~ С[а, Ь! ди (х, у) (3,3.3) Р=Р(х)~ С, [а, Ь[, ()=С(х)~ С[а, Ь(, /з=/т(х)С С[а, Ь[.
Требуется найти решение и(х, /) уравнения (3.3.1) 7)0, а~ ( х ( Ь, удовлетворию(цее краевым (Граничным) условиям «и(а,')+Ь д =О, Ти(Ь,')+3 д =О, (332) ди(а,/) ди(Ь, П дх дх где а, Ь, 7, й — постоинные, а'+ 8'ф О, уз+ 8'~~ О, и напальные! усдовним и5 102 Гл н!, пгилаткения вАРиАиианнаго исчисления (э.з.э Полагая и = Ф (х) Т(т), (3.3.4) находят частное решение уравнения (3.3.1). !1одстанозка (334) в (33.1) приводит к соотношению РЬ-+7(Э +(ЗФ Т" Ф Т ' (3.3 5) и тзк как левая часть (3.3.51 ззвнсит только от х, а правая— тол~ ко от т, то равенства (3.3.5) возможно тишь, когда отношения постоянны: РФ" +77Ф'+1)Ф Т" Ф = --, = — Л, Х = сопл(.
(3.3.6) Отсюда Ф и Т должны соответственно удовлетворять обыкновенным дифференциальным уравнениям РФ" + Т(Ф' -)- () Ф = — ХФ, 7'+ ТЕ= О. (3.3.7) (33.8) 5(ы приходим к краевой задаче (3.3.7), (3.3.9) для обыкновенного дифферсппизльного уравнения второго царапка, являющейся частныы случаем задачи Штурма--Лиувилля.
Ниже бтдут приведены условия, при которых последняя задача имеет йетривнальные (ненулевые) решения Ф, (х), Ф, (х), ... ..., Ф„(х], соответствующие бесконечному множеству значений параметра 1ы А~ " Ав ". Далее накопят Т из уравнения (3.3.8). При ),„)О это будет Т, (т) = Л„с Чт„(+ В„з УА„т, (З.ЗДО) после чего составляется ряд Т„(Г) Ф (х), а=-0 (З.ЗД() Если этот ряд равномерно сходится и допускает почленное дифференцирование по х и С (лважды), то его сумма и является ешением травнения (3,3.1), удовлетворяющим условиям (3.3.2).
о эаданныл| начальным условиям удается найти коэффициенты Л„и Вв и, таким образолб найти решение уравнения (3.3.1), удовлетворяюгцее условиям (ЗЛ.2) и (3.3,3). 3.3.2. Задача Штурма-Лиувилля. Дано дифференциальное уравнение второго порядка с('и ии — —,+Р(х) — +(Я(х) — Ат((х))и=О, (3.3.12) Для того чтобы (З.ЗЛ) удовлетворяло условиям (3.3.2), функция Ф должна удовлетворять краевым условиям аФ(а)+ЗФ'(и)=0, 7Ф(ь) ( эФ'(ь(=0, (3,39) з.з.з) % з. 3АдАчА штуРмл — л иувилля 163 гле Р(х), Я(х), /7(х)с С[а, Ь[, А — параметр.
Требуется найти его решения, удовлетворяющие краевым условиям /7, (и) = али (а) + али'(а) + а,и (Ь) + ала' (Ь) = О, 1 '1(З,ЗЛ3) /7с (и) ив и Рси (а) + Ьси'(а) + Зли (Ь) +Зли'(Ь) = О. У Подстановка (3.3.16) (3.3.17) Впредь данное дифференциальное уравнение будет рассматриваться в фо!элле (3.3.15) или (З.З.!7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
