Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Интегрза в левой части (26.1!) есть функция от аь аю..., аа. Приравстивая пулю частные производные этой функции по а„ а„., ан, получаем систему ! равнений для отыскании ап ав, ..., а„. В этом заклгочается метод наименьших квадратов, В методе Валеркина коэффициенты аь находят из условий ортогонааьпости Имеют место формулы (л,~= — 1рс —, сс В, '-)л)У в,„ ) ),, ) — з,' —, (2.6.16) ' — !л,! у' в,„ где В =А', — Ам.
См, Виарза П1, Миазии Р1, гримами !2!. ф 7. Некоторые нелинейные интегральные уравнения ж7.1. Нелинейные уравнения Вольтерра. Рассмотрим общее нединейное уравнение Воаьтерра: и (х) =у (х) + ~ г (.т, з, т (з)) стз. (2.7.1) Ь Предполовсения: 1) лзя лзобой пары г„за ! В(х, я, г) — В (х, з, л) ( ( а (х, з) (а„- л, (, 2) ! к ) с~ , ос мои~~ из где л к ) я (я) ~(х~дт, !ох ~ а (х, 3) Й(Аа, 0(з(х(й. Здесь А и М вЂ” постоянные, п(з) н а(х, з) — функции, суммируемые со своим квадратом. В этих предположсняях метод последовательных приближений приводит к решению ьравнения (2.7.1), причем последовательные приближения сходятся к решению почти всюду абсолзотно н равномерно. Указанное решение с точностью до функннй, почти всюду равных нулю, единственно.
доаазатсзьстао см. гримами !2!. 2.7.2. Уравнения типа Гаммерштейиа. Каноннческая форма этих уравнений тзкова: ! ф(х)+ ~ К(х, я)У(з, ф(я)) с(я=О. (272) о В прелположенни, что выполнены указываемые ниже !словня 1) — 3! метод последовательных приближений доставлззет решение уравнен!и (2.72).
Последовательные приближения сходятся к рсшенщо почти всюду абсодзатно и равномерно. . 27.2! а т. Нклиипниый нитигрдлвнып ррдинпини 143 144 ГЛ. П. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (2.Г.з Эти условия таковы: 1) Функция 1 2( (х)=)К (х,з)с(5 0 существует почти всюду на интервале (О, 1) и ннтегрируема на этом интервале; 2) функцил у'(з, и) удовлетворяет услоашо Липшнца [у(з, иН вЂ” у(з, и,) ((С(з)(и, — и, 1,' й) ! ~ А'(х) С'(х) с(х =Уйт с 1.
а Докззвтсльство см, Трккомк (21. Имеют место следующие теоремы. А. Уравнение (2.7,2) имеет непрерывное решение, если К(х, з) — кусочно-непрерыанос, симчетричное, положительна определенное и ограниченное ядро; функция у"(з, и) — непрсрыаная, суммируемая со слани квадратом по и (для любь1х фикснроаанных значений з нэ рассиатрияаемого отрезка [О, 1)), причем лл(з, о) с(огк — и' — С, А=сапа(, 9 2 а С=сопа1~0, (1~2ь где )ст есть наименьшее собстаенное значение ядра К(х, 2).
Б. Уравнение (2.7?) имеет непрерывное решение, если 1) ядро К(х, з) кусочно-непрерыано, симметрично и пола;кительно определенно; 2) непрерывная функция у'(х, и) тдоялетлоряет условиям и Г" (х, о) с(о гк — — из — С, 2 а (О~А~у,), [У (х, и] ( ~ Сс [ 11 [+ С„ может иметь непрерыапый спектр характеристисеских чисел и а том числе ~акис, что при переходе через них количество ре- где Сн Сз, С, — постоянные числа. Докоззтсльство см, Н, С, Смирнов РР Трккомк 121. 2.7.3.
Бифуркации решений. Нелинейное иитегрзльное уралнение о р (х) — Л $ К(х, з)у(з, о (з)) т(з = О о 2ЛП) й а. ОИНГРЛярнЫн интвгрлльныв ррлвннния 148 тпений уравнения иеняетсн, оставаясь конечныю. Такие значения Х пазывзются точкадии бибз)лркации. П р и м е р 2.7П. Дано уравнение 1 ч)») — Л) че)5)аз 1, о 1 Полагал ) Чт(з) аз='., получим р!х)ю!+Лт, и неладное уравнение стано- О внеси раниоснльпмч уравнению 1= 11+1:1)е.
Решая последнее уравнение, палучллм 1 — 21. -л У'1 — 4Л Отсею сзелует, чтп данное уравнение ичсет вел потаенные решения .шшь прн 1. 1 4. При 1<1;4 урашенае ииоот дяа рглллалллля, дри 1. =! 4 ашо решенно !крапюспл 21. прл 1,=-0 одно реале ше имеет иид г(л)=1. а второе леско лсчпо. Толка Л=!л4 — точка бифуркаплллл, гочка 1, Π— особая точна уравноиия, Ня примере рассматривасчто уравнения можно показать, чга н с.лучас нелннейвмд уравнений пз сушества гния рсшсчия однородного уравненая ие с.лс. дуст стплостиааания бесканечнога числа решение нзаднародллаго уравнения.
Доказалельстио лл причерм си, Тршгоин 12), См. также Краснасе.льскнб 111, вайнберг 1)1. р 8. Сингулярные интегральные уравнения )с— Ь е [1 гл.л *л- 1 гл лл ]. я О с+ ° (2.8.1) Главное значение интеграла называют также особым илн сингулярным интегралом. Длн этого обоэпзчсння применяют син- воты Ь Ь Ь ( У(х)бх, ~ Г(х) плх, ч, р.
)г г" (х) Огх, а о и (ч. р.— начальные буквы слов ча)не рппс)ра1е). П рн и ер 2.а.1. При а<х<Ь Ь Ь = пш 1!н ', г —.т)!» +)п)т — х))ь, Ь вЂ” х Ь вЂ” х 1и + 1лш 1!и е — 1п 1=1п— е О х — а' л.8.1. Главное значение несобственного интеграла. Гганны,и значением несобственного интеграла по отрезку )ц Ь) функции у(х), не ограниченной в окрестности точки с, а < с < Ь, называется предел (если он существует) 146 ГЛ.
Н. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !2,В.2 Если функция у(х) удовлетворяет на отрезке [а, б[ условию Липшица (у(х) — у(х") [(К! х' — х" [", (2.8.2) (о 8,1) ф (х) бх = О (2.8.6) где К вЂ” постоянная, О( в~1, х' и хл — произвольныс точки указанного интервала, то для любого х, аех(б существует Г Г (г] сингулярный игпсграл 1 — '-б(. Если функция г(Г) удовлетворяет а на отрезке [О, 2г) головню Липшица (2.8?), то существует син- 2 г — х гузярный интеграл б(Г) с1Š— бт. 2 о Интегральные уравнения, в которых интеграл понимается в смысле главного значсгшя, называготся огобылш или сингуляр- ными иятегральяыли у(лалнения.тги.
2.8.2. Преобразование Гильбертв — М. Рисса. Если У(х) уловлстворяст на ( — со, со) условию Липшнца с показзгслсзг а ) О, меньшим единицы, н квадратнчно-нгпсгрирусма на ( — со, со), то имеют место двойствснныс соотношения л(х) =- — ~ — бс, Г УП) (2.8.3) г(х) = — — ~ — й, Г л(1) г.
л г — х в которых интегралы понимаются в смысле главного значения. При этом л(х) удовастворлст тем жс условиям, что и г(х). Формулы (2.8.3) и (2,8.4) назывзют преобразованием Гиль- берта — А4. Рисса. Каждан пз этих формул можат рассматри- ваться как интегральное уравнение первого рода, тогда вторая формула дает решение этого уравнения. Таблицы длв унзвзввого ореобрззоовннн Гнгвз грез ножгго найти н «неге двшвнз н Прудннновз р).
Теория вреобрззовввнв Голоа ртз (2.8.31, 42.841 цз- ложенз в нннге Тнтонзр ов 111. Преобразование Гильбсрта рассматривается и в иной форме. Именно, интегральное уравнение 2н 1 Г с — х — о (Г) с1е — бс = ф (х), (2.8.5) где Т(х) и ф(д) удовлетворяют условиго Липшица с а, мень- шими 1, на отрезке [О, 2в] и при условии 2 2.2.2) 2 а. сингУЛЯРНыв интвгРЛЛЬНЫВ ВрлвнвНия 142 имеет решение 2п 1 Г, т — х Ф(х) = — — ф (т) с!я — йг, 2г 2 о (2.8,2> причем 2п а (х) т(л =О. (2.8.8) По этому поводу тм. Мутмэипнэпдп !11.
Посредством преобразования 1 пльбсрта — Рисса может быть рсэнсно иэнегральпое уравнение а (х) — ) т -' — и'у = у(х), Г а (у) .) у — х где у (л ) С (.э ( — со, оз). Решение этого уравнения имеет вид о(х)=-,, у(х)+2 т — эту . !+дэнн~ ' 0 у — х Ьэ Г (а'+ Ь') а (з) — — о (а) 1а = Р (з), (2.8.10) решенве которого есть 2 а (з) — э Ьэд (3) —, э, У (а) ств — 4(а+ иэ+ Ьд 2п(ам+ Ь*> 2п Ь' 2па (а' -)- Ьэ> (2.8.11) Здесь 1+ лэнд ~ О, 2(х) Я !.'( — о», со>. Сн. тупномп !21. 2.8.3. Сингулярное интегральное уравнение Гильберта. Так называют уравнение а — 3 ату (з) +,— сэ (а] стц — эта =У(з), (28.9) 2, > 2 в котором ядро и функция у" (з) удовлетворяют условию Линшица, Если а'+ Ьэ ~ О, то уравнению (2.8.9) эквивалентно уравнение Фредгозьма 148 ГЛ.
!!. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [2.а.а Если а'+Ь'=О, то уравнение (2.8.9) в общем случае неразрешимо. При а = О, Ь = 1 получается уравнение 2в 1 а — з 2кбт ' — е (а) сти — де =Р(з), о (2.8.12) Ь Р а — з ат (з) + — у (а) с1Я вЂ”,— де + К(з, е) Т (е) де=у(з), (2 813) ( в котором ядро К(з, е) и у(з) удовлетворяют условию Липшпнз. Регуляриэуетсл, но нс всегда равносильно, уравнение 2к 2п Ь(з) Г е — з а (3) Т (3) + 2 Т (а) с!к — йа + К(з..) Т (а) йа =у (3), (2.8.14) в котором а(з), Ь(з), К(з, е), /(з) удовлетворяют условию Ли пшика, Ом. Михлии 121, Гахев (Ц, Мусхелиюаили Нр 28 4.
Сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши. Главное энзчение интеграла рассматривается и дли интегралов от функпнй комплексной переменной. Сиигуляриылс интегральным уравнением с ядром Коши называет уравнение вида где Š— эамкнутыт! или незамкнутый контур, а и Ь вЂ” постоянные. Интегрзл понимается в смысле славного значения. Теерию см. Мускели шепли (Ц, Гахав Ой прилежсиих М и к л и и 121, М у с к е л и ш в и л и рр Г а х е в (ц. которое решается посредством применениа преобразования Гиль- берта.
Процесс приведения сингулярного уравнения к уравнению Фредгольма называется регуляриэацией сингулярного уравнения. Гели при этом нсколное сингулярное уравнение н поаучспное уравнение Фрелгольма эквивалентны, то говорят о равносильной регуляряэапии. Так можно произвести равносильную регуляризацию уравнения, более общего, чем (2.8.9)! 2 ес. Глава П! НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖГ.НИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ф О. Введение 3.0.!. Содержание главы. В настоящей главе излагаются сведения о векоторых приложениях взриацнонного исчисления и ннтегрзльиых уравнений. Сначала рассматриваются простейшие задачи о геодезнчесних, затем варнапионные принципы и их приложения к выводу некоторых уравнений математической физики и, наконец, приведены сведения о задаче Штурма †Лиувил.
Соответственгю рассматриваемым разделам ниже указывается литература. $ 1. Задачи о геодезических 3.1.1. Задача о геодезических в трехмерном евклидовом пространстве. )Аз курса математического анализа известно, что винтовые линни х= а сову, у = а мп т, расположенные нз цилиндре х'+у' = а', обладают геодезическим свойством: расстояние между друмя точкани винтовой линии являетсл кратчайшим расстоянием между этими точками на цнлиндре. Ставится задача: дана ноэерхность е (х, у, а) = 0 (ЗАЛ) и на ней две точки А (х„у„а,) н В(хо уо л,).
Требуется провести на поверхности линию, соединяющую точки А и В тах, чтобы по ней рэсстонние от А до Ю было наименьшим. Это — задача на условный экстремум функционала лг У=- ) У1+у'(х)+з'(х) ах (3.1.2) лэ 159 ГЛ. П!. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАНИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Н1.1 при условиях в(х, у, «) =О, У (ХО) = УО «(Л'О) мо «О У(хг) = тон «(Хг) =«г. тг ] [)' 1+ум+ «ч + Лч (х, у, «)] длч «о что дает уравнении до ду дх )'! + у'" + «тв ' .дч д д«дх)'!+ум+«'" (3.!.4) Учитывая, что ) ! +уз+«" дх= дз, получим Л вЂ” = — 1 — — 1= —,— др д гудат Нуггз ди дз ЛЪ дх, дзо дх (33.5) и, аналооично, дч вч«дз Л вЂ” = —— д«гй' дх' (3.1.8) Иэ тождества следует, что дх вых ду доу д«г(о« вЂ” '-:+ — — -+ — — =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
