Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Привалов (Ц. Мнллин !Э), Трииомн !Ц. В. И. Смирнов (!), Толстов И!. З.ЗЯ. Знак собственных значений. Пусть рассматривается самосопряжеиная задачз Еи =Лги, (З.з.зо) стс (и) = О, тгв(и) = О. (З.з.з!) Из (З.З.ЗУ) следует, что ь Ь ь ) ) гитах= ~ Еи мах=) [(ри')'+ с)и[ иахвм а а а ь Ь = рии' (~~ — ~ ри" их+ ~ с)ил ах. (3.3.32) а а Если ла — собственное значение, а и„— соответствующая собственная функция, то из (3,3.32) следует ь Ь вЂ” Х„= — ри„и' ~ + ~ри„'ах — ) с)и"„ах. (3.3.33) а а Из (3.3.33) следует, что при г(х)~0, с)«0 и ри и' (~~«0 все Ха неположительны.
Если же г(х) ~ О, с)(х) — произвольная непрерывная функция н ри„и„' ~ = О, то, учитывая непрерывность функции — сЕ(г на [а, Ь] и обозначая через ьт наимеиыпее значение этой функции, получим Ь ь ь Ь вЂ” у.= ~" + ~ — — ' --„~-Й рв.х+-~-„'- г а а а а откуда )см « — ль В этом случае существует наибольшее собственное знзчение н, следовательно, конечное число положительных собственных значений. Если г(х) <О и ри„и„' э=О, то имеется вишь конечное ! ь число отрицательных собственных значений, а прн г(х) <О, с) (х) <О, ри„и„'! ь «О все собственные значения положительны. См.
Привалов !Ц. В. И. Смирнов (Ц, Толстов (Ц. 170 гл. ш, приложения влрилционного исчисления (з.зд 3.3.9. Неоднородная краевая задача. Пусть дано дифференниальное уравнение Аи = хги + 3 (3.3.34) и самосопряженные краевые условия Р,(и)=0, Ра(и)=0 (3.3.35) Неоднородная краевая задача (3.3,348 (3.3.35) эквйвалентна неоднородному интегральному )равнению и (х) = ). ~ О(х, О г (з) и (з) из+у (х), л где и (х) непрерывна и т" (л') = ~ О(т, з) 3(з)йз. уравнение (3 3 36) Л может быть снмметрнзовано путем умножения обеих частей на Г г (х) (предползгаетсл, что г (х) ) О): 'р~г (х) и (х) = )* ) й (х, л) )г г (х) г ( з) )уг (з) и (а) из + р г (х) т (х). а (3,3.37) Уравнение (3.3.37) есть симметричное неоднородное интегральное уравнение. !!а основании альтернативы Фредгольма можно утаержлатгь что либо при данном Х однородная краевая задача имеет лишь тривиальное решение, и в этом слтчае неоднородная краевая задача имеет решение, и пртпом единственное, прн любой функпин рл либо для значения Х = )ч однородная краевая задача имеет нетривиальные решения (не более двух), и тогда для разрешимости неоднородной краевой зада~и необходимо п достаточно, чтобы выполннлись соотношения ~ г (л) и, (х) и (л) их = 0 а См.
Привалов О!. 3.3.10. Обобщенная функция Грина. Пусть самосопряженная задача Штурма †!нувиаля 1.и = Хги, йт, (и) =- О, Ра (и) = О (3.3.38) (З.З 30) имеет своим собственным значением 1 = О, т. е. система 1.и =-О, 11, (и) =О, Ра (и) =О (33.40) для всех собственных функний ип принадлежащих собственному значению Хо !у! з з злддчв шть нмя — лиз вилля а.т.ю! иьзеет нетривиальное решение. Обозначим зто рещение и, (х). В атом случае построение обычной фунш<ли Грина невозможно и строится обобщенная функция Грийа Пл(х, з), определяемая следующими свойствамп: 1, Пл (х, з) непрерывна на отрезке (а, б) прп каждом фнксированноьз значении з, а( з с б.
2. В каждом из ннтервааов а ~х < з, з < х <б функция Пл(х, з] имеет непрерывные производные первых двух порядков и удовлетворяет уравнению 1ш =-,— и, (л) ир(з). 3. Пл(х, з) удовлетворяет краевыи условиям (3.339). 4. Производйая функции Пл прн х =-з имеет скачок, рав! ный —, т. е. Р (з) Пл (з+ О, з) — сга (з — О, з) =— 1 л ' л. ' о(Ь) 5. Функция сгл ортогоназьна к и„(х), т.
е. з ~ Пл (х, з) г (з) и„(з) аз = О. а Указанньши свойствами обобщенная функция Грина опре- деляется единственным образом. Кроме то~ о, имеет место симметричность обобщенной функ- ции Грина. В случае, когда собственному числу Л = — О соответствуют две собственные функции и, (х) и и, <х), которые можно считать ортонормпрованнымн, построение обобщенной функции Грина неснозько изменяется.
Функция Грина стл (х, з) должна удовлет- ворять уравнению <п = — - и, <х) и, (з) — и, (х) и, (з); функция Грина Пл (х, з) долхзна быть ортогональной к и, (х) и и,' <х]. Если и(х) непрерывна, то утвержление, что и илзеет непре- рывную вторую производную, причем 1и = Лги, Р, <и) =- О, Ра (и) =О, Л ф О, равносильно утверждению, что ь и(х) = Л ~ Пл(х, з) г(з) и(з) аз, а Теорема разложения имеет следующую форму. Если Р<х) имеет непрерывную вторую про<(вводную, улов- летворяет краевым условиям Р, (и) =- О, Рь (и) = О и ортого- назьна к иа (х), то Р(х) = ~ Глил (х), л =-! где ь гл = ~ г (х) Р(х) ил (х) ах, а причем ряд сводится абсол1отно и равномерно. (7- ГЛ. Н1 ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (3.3.10 Наконец, неоднородная краевая задача Уи = Лги + у, йд (и) = О, ))т (и) = О, где ь ) д'(х) г (х) и, (х) сух = О, а а и(х) имеет непрерывную вторую производную, эквивалентна неоднородному интегральному уранненню ь и (х) = Л ') Оа (х, я) г (з) и (3) (Гз + у (х), а ь где и(х) непрерывна н Г'(х) = ~ сгн(х, 3) д(з) птх.
а сз Ат+Втх — — хз, 2 О (Х. я( сл Аз нг Вях — — ха, 2 О х(я. з(х 1. Из условия непрерывности О" (х, з! при х=-а имеем А, +В,з-А,+Вез; из условна разрыва производной П оц з( следует. что в,— в,=-!. Ив краевых условна следует ся Ат = Ая+ Вя — — ° 2 ' В, В.— с. се=1. Вя я — 1(2 ил=я+1(2. тз — Ат 1 ) а (х, Я1 ме Нз О дает О 1 Полученные саотношания лают: — з, Условие ортатональности ~ ~А1+(я — — ) х — — ] О к + ) '(Аз+с + 2) — 2 < лх-О откуда зл Я 1 Ая 2 2 12 и. накоаец. О«Х(5, з(х М(.
См. Привалов (Ц, Курант — Гильберт П!. В. И, Смирнов (Ц. Пример 3.3.3. Гтл=н'2 н(0! н(ц, н'(О! п'(Ц. 1 = О явлветс» собственным значением, соответствуюша» сабствеаная функция не = сапя1= с. ООООП(сипая фуНКцня 1'рниа дптмиа удпяпстяОрятЬ ураВНЕНИЮ Нм — Ся, и потому имеет внл 173 а.ал И 4 3. 3АдАчА штурмА — диуни.чля 3.3.1!.
Экстремальные свойства собственных значений и собственных функций. Как указывалось выше, решение само- сопряженной задачи Штурма — Лиувилля может быть сведено к решению эквивалентного ей симметричного интегрального уравнении. В и. 2.3.11 были приведены экстремальные свойства характеристических чисел и собственных функций симметричных интегральных уравнений. Этими же свойствами обладают собственные значении и собственные функции самосопряженной задачи Штурма — Лиувилля. Ниже приводится экстремальные определения собственных значений и собственных функций, использующие минимизацию некоторых функционалов.
Пусть дана самосопряженная задача Штурма — Лиувилля; Л!т -[- Лгп = О, Ли ==- (ри')' — дсп (3.3.41) а,и'(а) +а,и (а) =О, ат+ а', р'=О, ~ (3.3.42) Ь, (Ь) + Ь, (Ь) = О, Ь[ + Р] ~ О, р=р(х), р'(х)С С[а, Ь], а(х)С С[а, Ь[, г(х)С С[а, Ь], г (х) > О.
Собственное значение Ла задачи (3.3.41), (3.3.42) равно наименьшему значению функционала ( — У.и, и) = ~ — ирщ с!х = — [рии']э+ ~ (ри'+ дит) с(х (3.3.43) а а на множестве функций, дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, Ь] и удовлетворяющих краевым условиям (3.3.42), а также условиям б ) ги' ах = 1 (нормировка), (3.3.44) а б ) гиитах=О (с'=1, 2, ..., л — !) (ортогональность), (33афб) а Прн этом (3.3.46) )а ( Лип иа) Здесь а обозначает собственную функцию, соответствующую значению Л„.
См, В. И. Смирно» [Ц. З ам ее виие. В риде рукоподств в качестве опервторв прииимветсм либо Си: — — !Ра'1'+ Ча, либо са срп')'+ аа. Соотестствемво выбору операторе С ивмеекютси приведеваые выше формулировки. !74 ГЛ !И ПРИЛОЖЕНР!Я ВАРИАПИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (ЗЗ.Н а ~ гио! с(х = О и (1=1, 2, ..., п — 1), (3.348) где о, (л), ..., о„, (х) — произвольныс нусочцо-непрерывные на отрезке [а, Ь] функции с пнтегрируемыа! квадратом.
Тогда и-е собственное значение ) „задачи (3.3.41), (3.3.42) совпадает с наибольшим значением велй псны т(он оа, ..., о„,) при произвольном выбоРе фУнкций (оо оа, ..., онн.т), пРичем (3.3.49) См. Курант †Гнльбе Н(, и. И. Смнрнов НЬ Атневер Н), Лаврентьев м Люстернсса (с1, 12!. Исходя из экстрематьного определения собственных значе- ний, можно подучить ряд нх свойств.
Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля: Ьи+)!и=О, (З.ЗА1) а,и' (а) — а,и (а) = О, (3.3,42) Ьси' (Ь) + Ь и (Ь) = О, 1 «пав,Р„Зв)О, нет+а)Р:О, От+ 3)и=О. При изменении ноэффицнентов р (х) и с) (х) в определенную сторону собстнеяные значении меняются в ту же сторону. При изменении коэффициента г(х) в опредс, энную сторону собствснньее значения меннются в противоположную сторону. Из этих свойств вытекает возможность получить оценку для собственных значений. Пусть дана задача Штурма — Лиувилля 1.и + ),ги = — О, и (и) = и (Ь) = О. Наряду с ней рассчотрим задачи Ржали — Онюнп + ) гмы и и (и) = и (Ь) = О (3.3.4!) (3.3.42") и (а) = и (Ь) = О. Здесь р„„„= шах р(х), и т.
д. а л а Куранту принадлежит максимально-минимальное определеяие собствснных значений, не испольйующее последовательного отыскания собственных функций. Именно: пусть т (оо,.., о„,) есть наиатеньшее значение функционала ( — Ьи, и) (3.3.47) (ги, и) 'на множестве дважды непрерывно дпфференцируемых функций, удовлетворспощих краевын условиян (3.3.42) и условиям ортого- налышсти з.зл В а 3. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ Обозначив собственные значения приведенных выше трех задач соответстаенно через Хю Хллл, Х'„", получаем Но глшак (Ь а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
