Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 28
Текст из файла (страница 28)
дз дз" ' дз й' й дзо С другой стороны, дифференцируя (3.!.1) вдоль интересующей нас линни, получим тождество дзо г(х да ду дч д« вЂ” — + — ' — + — — = О. (3.1.8) дх дз ду гй д«дз Из (3.1.5) — (3.!.8) следует, что д)о 1!ох дз дх дз г(х (3.1.9) Из (3.1.5), (Зупб) н (3.1.9) вытекает, что дох дзу г)о« 515 о 5 515 др до др ' дх ду д« (З.)ИО) Согласно правилу множителей Лагранжа минимизируем функ- ционал 151 а.1.21 й !.
ЗАДАЧИ О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ )длХ длу дгз) Но вектор !†, — , †) колтинеарен главной нормали, а 1бз" дзл' дзв) ) др да да) вектор 1 —, —, — лт есть вектор нормали к поверхности (3.1.1). 1дх' ду' дд) Следовательно, в каждой точке искомой яииви направление главной нормади совпадает с нормалью поверхности. Дли получения зтого свойства главную роль играла стационарность ф)якционала (3.1.2) прн указанных выше )словних, а не минимальность расстоиния между точками А и Е. Впредь геодгзлчесхижи булут называться зкстремалн функционала ~ дз, где з — клина д)чи.
Си. Аквевер ('Ц, Лаврентьев и Люстерник )Ц,!2), Гюнтер,'Ц, В, Н, Смирнон )Ц, где Е=( — ) +( — ) +( — ), дх дд дуду, дд дг Е=- — — + — — + — —, ди до дидо диде' '=%'+',~'-.)в -('-'.)' (3.1П 3) Геодезические опрелеляются как. зкстремаяи функционала ~РгЕ+ 2Ео'+ 0о'л дш (3.1.!4) П р и и е р а,1.1. Дана сфера л в1п б сав у, у = юп 6 Мп у, л =- сов а. ЛР = ЛМ+ выл б Лтв. Геодевпческие определвютса как вкстреивли фуикпнонвла бг ( У)же)п а тала. бо Ураввеггне Эйлера — Лагракжа в даннои случае есть 1 юла а ° т' )б У)+ пса, откуда Мплбмх У)+ ° )пт а ° у'в Общий интеграл последнего уравнение имеет вид Сл с!Х 8 = сов ф + Св).
3.1.2. Отыскание геодезических в случае, когда поверхность задана параметрическими уравнениями. Пусть поверхность задана трзвнснвями .к = а (и, о), у = Ф (и, о), л = »[и, о). (3.1.11) Для квалрата элемента луги имеет место формула да' = дх'+ дув + длг = Е пи" + 2Е ди до + 0 пп', (3 1.12) !52 гл. Пе приложения вйрийционного исчисления плп Ес. и Сс =-О, то у.—.= сопят и теолезичаскиии оказываются все меридианы сферы, т. е.
больпсис крути, пролодящие через полюсы. Ее~и С, ~6, то общий интеграл можно записать в виде с !е 6 =- «сое Е + 6 е1 п Е. Переходя к декартозыи кооргщаатам ио формулам х=г сову. у=тюпу, л гота 6 (г Р'хл-)-ув), пол; чаем = ех ч-6>ч Сле оватетьио, и я ятои случае теолсзичсскими оказываются болычев круги, зп лучаюеспеся в есресечеиии сферы хл »-тй -и лт = ! и плоскости л = х Фзу. См. Лаврентьев и Лсостериик!С1, (т!. 3.1.3.
Отыскание геодезических на римановык многообразиях. В п-мерном евклнлоиом пространстве (хо хм ..., х„» элемент длины дуги определяется формулой «з' =- «х + «хе +... + «.т,',. (3.!.!5) Пространство, а котором эземент длины определяется формулой «ля = '~~~ лей(хо хя, ..., х ) сух; «.гй, (3.1.!б! т,й ! б)«з=б, (зл.!У» называются геодезттчеекнлти. Условие (3,!.!7) может быть записано иначе, если геодезическую параыетрнзолать посредстлом параметра у; ус т, / и ге %1 С!Хс П'Хй а,й — — — «у = й 1 р д «т = о.
(зл ля) с.й ! Уравнения Зуслера — Лагранжа а данном случзе с>ть 1 ~т 1 дб.'.зй с!х; «хй т( ~т йсу «х; 2 ЛЫ)тгб дХу «С «у «ул ')Я Сй .,й т (злля) Если л качестле параметра взята длина луги, то 3= 1 и (3.1.19) примет лид 1 %т дД;й «х; суха с! %т «х, 2 лга дху сй «з «л лгу Усй ' (3.1.20) ;,й где кладратичная форма справа — положительно определенная, дп.
= «йтч уйй (хо хс, ..., хп) — непрерывно дифференцируемые фуиксгии своих аргумснтол, называется рижлнолыж. Линии, вдоль которых 2.2,11 % 2 ВАриАпионные принципы мехАники 133 Эти уравнения можно привести к виду (3.1.21) где (3.1.22) Символы в левой чзстн (3.1.22) называются символал!и Криеюоффеля леутбоео рода. 11 р и м е р 3 1.2 Нзбтп геодезические ни цн.!индре. пусть ась Ог перел!!ельни образующим, в уривнении нзпрзвлвющел нз плоскости Оху суть х = р йу, у =' !г!. Выбрев в кгчелве параметра длину дути, будем иметь ,"З се) + О -- 1а! = 1, Коордипгты нз поверхности цилинлри суть е н г, тотди гел е ефесе, т.
е. Ем=язв 1, Ьтз Хг! О. Символы Кристоффезв резню нулю, нбо все я. постоенны, сл Уревнении ссодезических имеют внд "=О, откудв =Ах+о, и гм О, свелавзтельио, г = А,х + пь Если Афо, то С +С м геодезические опрелелвютсв урлпнениеми х т!еУ, У и!!, г Сто-(-Сд. Вто — в,штовые линии. См. В. и. Смпрнов !1!, Лаврентьев и Люстерник 111, 121. В 2. Вариациоииые принципы механики 3,2.1. Принцип Гамильтона — Остроградского. Пусть дана мсхзническвя системз без связей, состоящая из л точек, имеюЩнх массы юм тм ..., тип. КинетическзЯ знеРгиа састемы равна и т=-~- ~~ ют~(ф) +~$) +(ф~1. 1=! Предположим, что система имеет силовую функцию Ц зависящую от Зи+! переменных хн уы гь ..., х„, уим г„, т, т.
е. сила, действующая нз 1-ю точку, ййеет проекции на оси, соответственно равные д(У д() дП дхг ' дуг ' дг 1бя Гл Н1. ПРИлОЖенИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСчИСлЕНИЯ (з.з,1 Силы инерции, имеющие проекции дьхс дсус а"гт — т — ', — пт — ', — т — ' (1=1,2,... и) 'пи' ' дга ' ' дсь ' р будучи приаоженньыри к точкам системы, уничтожили бы уско- рение системы, Пусть движение с>истемы определяется функщщми х= — хс(1), У=У;(1), г=г;(1) (1=1, 2, ..., и) н каждая из точен получает смещение ьхс, зун зг>.
Всаедствие принципа Дазамбера совместная работа сиа, приложенных к точкам системы, и сна инерции вдоль любого виртуакьного перемещения равна нулю". и А= ~Р ~(-.— — спт — р)зх;+( — — тс — г) зут+ 1=1 где д'сс> Отсюда, учитывая, что Н аиаЛОГИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЗЯ и р ЗУ1 И вЂ”, Згн ПааУЧИМ Пгь зО+.зт=-,- У 1=1 (3.2.2) Есаи положения системы заданы дая моментов 1, н 1н то вариации Зхн Зун Згс Обращаются в нуаь при 1 = гр и 1= 1, и интегрирование посаеднсго соотношения дает з ~ (т+ О) пс = й. (3.2.1) 1, Если ввести потенциальную знсргию (с, Ь'= — у и функцию Лагранжа ь'= Т вЂ” (с, именуем>ю также кинетическим попсснциалом, то (3.2.1) принимает вид З )йдг=й. ср Мы ноаучнаи принцип Гамильтона — Остроградского: действительное двиясение системы выдеаяется из всех допустимых двнксений тем, что действие (по Гамильтону) ср ~ йдг (3.2.3) 1р з.г.ц г г.
вдрндцнаииып прннцнпы микднихи . 155 имеет стационарное значение (т, е. вариация указанного функционала равна нулю). В тол! скучае, ко~да сизовой функции нет, принцип Гамильтона †Остроградско плюет вид сс ~(ЗГ+ЗА) и!=о, са где через !А обозначена эзементарная работа активных спя (Хь Уг, 2!) на виРтУальных пеРемещениЯх бкс, ЗУп бэ!. В той же формулировке, которая приведена выше, принцип Гамильтона — Остроградского справедлив дзя случая, когда движение системы подчинено гоэономным связям: Иэ (.гс, Ус, гц ", кл, Ул, эл, !) = О (э =. 1, 2, ..., ЛЦ п! ( л).
(3.2.о) Учитывая, что в формулировке принципа Гамильтона— Остроградского фигурируют физические веэичины (кинетическая и потенциальная энергии, работа), его лсоясно применять к механическим системам с бесконечным количеством степеней свободы, что будет иллюстрировано нитке на ряде примеров.
Здесь же покажем, что, исходя из принципа' Гамильтона— Остроградского, можно поаучить уравнения динамики. Действительно, ссаи выполняется (3.2.2), то уравнения Эйлера — Лагранжа дяя функционала (3.2,2) суть и дй дй д! дх; дай — — — — =О (1=1, 2... л), (3.2.6) и аналогично выписываются остальные уравнения. В простейшем случае, из которого мы исходнаи, получаем с=! и, таким образом, получаем уравнения динамики югУ! = Хь Я!!9! мм Ун лсгг! = А. (3.2.7) Если от декартовых координат перейти к обобщенным коорди- натам Лагранжа хс=х! (с)с, суэ, "°, !)л, !), у! =у! (сус суэ, ° ", сул !) (3.2,8) я!=и!(с)с, с)э, " с)л !) то, учитывая инвариантность уравнений Эйлера — Лагранжа, по- яучаем, анааогично (3,2.6), уравнения движения в форме Ла- гранжа — — — —,=О (!=1, 2, ..., и), дУ. д дй дя! д! до,. (3.2.9) См. Аэиээер !Ц, Лээрэитьээ и Лсэстерлии !Ц, (г), Гсльфэяэ и Фэмисс (Ц, Курам!-Гильбэрт 1Ц.
156 гд ие приложения вяпилииоииого исчисления (з.з,з Так как в обобщенных координатах Лагранжа Т является однородной квалратичной формой т=, а,ао!4ь (1, 3=1, 2, ..., а), а„=а„н с а то имеет место соотношение и !1,! '—, =2Т, ,дт 1=! (3.2,1 1) и (3.2.!О) принимает аид — Т+ У= сопа1 или Т+ 1'=- сопа1 = й, (3.2.12) (3.2.13) т. с. с>мма кинетической и потенциальной энергий (полная энергия) сохраняет постоянное значение (имеет место закон сохранения энергии). Прн этих обстоятельствах, если функционал т. ат исследовать в клзссе линий, на которых полная энергия сохраняет свое значение, имеем У.= Т+ У=2Т вЂ” й, (3.2.14) и принцип Гамильтона — Остроградского принимает форму арикИиаа наименьшего дебел!лая Лагранжа: для движения расс!!атрнваемой системы при заданном значении полной энергии а имеет стационарное значение функщионал (действие по Лзгранжу) ~тш, (3.2.1о) т.
ш а()тпг=0, (3.2.16) Так как 2ти=Ь'7тр'2тбс= рГ~аг по! (аали+х', 3.2.2. Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа и Якоби. Допустим, что голономные связи (3.2.5) не содержат времени С явно (голономные склерономные связи) и силовая функция (у также явно нс содержит Г, тогда подынтегральное вйражение функционала (3.2,2) не содержит независимой переменной и потому уравнения Эйлера — Лагранжа функционала (3.2.2) допускают первый интеграл т+(у — ~~ а,'.—, = 1. 'до,' (3.2.10) 1=1 3.2.4! й 2 ВАРиАционные пРинципы мех»ники 157 то принципу наименьшего действия можно придать форму Якоби й ~ $«2Г+ А 1ут ~~~ ау»((т)(ит)» — О, (3.2.17) 11, в которой при помощи закона сохранения энергии исключено время.
Ясли считать, что имеет место закон сохранения энергнв, то из (3.2.!6), а таки(е из (3.2.17) вытекают уравнения движения. Си. А«петер (1(, Лапрентьев и Щостернпк ((1, !21, Курант — Гильберт (1!. 3.2.3. Принцип наименьшего действия и его связь с теорией геодезических. Принцип наименьшего действия в форме Якоби, записанный в виде соотношения (3.2.17), может быть трактован как задача о разыскании геодезических в римановом пространстве обобщенных координат (су„ту„..., суп), в которых элемент длины дуги определяется функцией и изт = (2У+ и) Х Кш т)Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
