Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 32
Текст из файла (страница 32)
"шеи и, аналогично, „(Ь вЂ” а) ". Следовательно, )лтлп " ", рмкк (Ь вЂ” )л '"'" '" г <Ь вЂ” а)л+ лаак шп Отсюда и из теоремы Штурмз о разделении нулей следует слщссгвованис бесчисленного множества собственных значений у исходной задачи Штлрма — Лнувплля, а также то, лшо ),„— +со при л- гю. Здесь и далее рассллагривастся задача (З.ЗА!), (3.3.42).
Величина собстяешлых значений зависит от пределов интеграции. При уменшпенпи отрезка [а, Ь) собстяепные значения нс убывают. Из полученной выше опенки следлст, шо если собственное значение рассматривать как функцию правого конца и~ттервала [а, Ь[ Л„= Ла (Ь), >.„(Ь) — + оз при Ь а. то где !'(х, у, у'! — олнородная функция четной степени 2Ь.
Предполагается, что !',г, ) 0 при любых у п у' прп 2)к =2 п У'У' !',, ) 0 ари ук+у'а!О дчя 2Д > 2. В атом салчае: !) СУлцегла)ет счетпаа посглстловатсльнг сть )ч ( Лг ... ~).„..... всщгстненньлх сг бствспных значений. 2) Числа )„раст)т как пла. Если же Ь возрастасг, то )ля(Ь) прн этол! ллоногонно убывает. Собственная функгшн и„(х), отаечаюлцая а-му по величине собственному значению кгл(Ь), обращается я — ! раз в нуль внллри интервала (а, Ь), Приведенная амше теория рлсорострапяется на обобщсннлю задачу Штурма — Лиувилля 2Д [л У Их г'( у,(а) = у (Ь] = О, 176 гл.
пк приложиния влрияпионного исчислзния )з.з.ш 3) Нули двух разных решений уравнения перемежаютсн. 4) Собственная функция у„(х), отвечающая и-му по величине собственному значению 1м, обращается и — 1 раз в нуль внутри интервала (и, Ь). 5) Расстояние между двумя смежными нулялси собственной функции у„(х) заключено между с,)п и св/и, с„ст) с, )О. 6) Назовем ссопряженнымит два нуля любого нетривиального решения уравнения Р',— — Р. = О. Для того чтобы функаСх 1' ционал е У(у) = ) Р(х, у, у') !Ух о бьш положительным, т. е, у(у) ) О, у(х) ый О, необходимо и до- статочно„чтобы закрытый справа интервал (и, й) не содержал значений, сопряженных н л. 7) Для того чтобы данное уравнение имело ровно й отри- цательных собственных значенйй„необходимо и достаточно, чтобы интервал (а, (т] заключал ровно й значений, сопряжен- ных к а.
6) Среди собственных функций ум(х) есть бесчисленное множество линейно независимых. См. Леврентьев и Люстервик !!), Люстерввк )1). 3.3.12. Метод Ритца. Используя экстремальные определения собственных значений, приведем нескоаько примеров прибли- женного вычисления их. Заметим, что фигурирующий в этих примерах квадратический функционал — положительно опреде- ленный, что обеспечивает применимость метода Ритка. 11 р и м е р э.зм. Небш нриблименео верное собственное енвчение ' велечи у +!у=о, У1-О=уп! о. Заметим, что влесь Су =у", г !х1 1, 1 1 1 ! — СУ, У! — ) УмУЛХ вЂ” УУ'(1,+ ) титсХ ) У'ШХ. — 1 — ! Твк квк у!х)- ( у !Олс, — 1 то нримеоение нсревенстве Буннкавскосо — Шварца лает сх !т х х ут4х1- ( у'!Ош ( у Шек ( Еп 1 — 1 — 1 откул в 1 1 1 у" [Х! 3 ) \ма !Х! ЛХ, ) у'!Х1ЛХ 4 ) у'4 !Х! ЛХ.
— ! — ! — 1 177 й 8. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ 3.332! Следовательно, 1 1 1 1 у дх) — 1 утдх, ( — Лу.у) — 1 утдх, а — 1 — 1 — 1 т. е. функционал ( — Ллч у) — положительно определенный. В качесше прибаи. женного значенпа Лз примем (ср. (3.3.47В 1 Лаю ( — Лу у) (у у) Положим Л = С И вЂ” хт). Эти функции удовлетворвют краевым усзавивм и условинм диффереицируемости.
Имеем В паннам примере точное значение Лз есть (з(2)т ю 2,(8740. ! К решению этой же задачи можно подойп! и следуюшим образом. Мини- 1 1 мизжтна функционала 1 у'тдх при условнвл у ( — 1) у (П вЂ” 0 и 1 уздх 1 — 1 — 1 «властев изопереметркческой задачей и сводится к мипимнэацин функционала 1 ,(- 1 (уз-лту!)дх. — 1 зй-в лй Возьмем последовате.!ьность функций н = х — х (а = 1, 2, .
) и будем минимизиронать у иа функциях у = А с и А =-1 Отраннчиаавсь первым членом цоследнега выраженнв, падучим ду 78 М, — = 2с1 ~ — — Лл) О, дс! (1 15* т)8 16 1б и так как должно быть с! ~ О, то, как и выше, получаем Лз 25. Если пзвть у с!и!+слит, то з)8 16 78 И Л л768 И У = с! ~ — — — Лз ) + 2стсэ ~ — — — Лз ) .).
св ~ — — — Лт), Лб 15 ! Л 15 105,) Л НВ 315 ду (16 32 ~ (' К! 32 дс! Л 3 15 ( (15 105 — = с! ( — — — Лв1! + ст ( — — — Лэ) = 0, ду ('!6 32 ~ (176 32 дел ! Гб 105 7 ',105 316 — = с,(-. — — Лт)+с,( — — — лт) 0. у — 1 Лэ ! ут — 1 1 д.т 1 ахт Кх — 1 2,5. 1 дх 1' (1 — хт)тдх — 1 ) 78 РЛ 1П ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАПИОННОРО *ИСЧИСЛЕНИЯ (3,8.12 Условном существования нснулевыл решений ст, сз нослслней системы ивлиетсв равенство нулю оареяслителв полученной системы, т.
е. откуда 14 28)Я + 63 = О Л ! '2,46744, 11 25,51256. Полученное значение з.тя 81 — весьма точное, тогш как .тля второго собствен. ного значения (= (Зкгт)т -22.2066!) получено грубое прибгижение. !! р н м е р З.ЗЛ. Нанта «ервае собственное значение задачи »а+,!.
(! Р.тЧ»-0, у ( — )) = у (!) =- О. 1)меем Р (х) 1, О (х) . О. '(к) 1+ к-*', (-1», г) = ! у'а дх. — 1 Клк н в примере 3.3. 1, а формуле ! уы дх (-1 т т') — ! (у у) (1 .(- хт) уа дх налагаем» = г (1 — хт) и получаем дт =2,1375, Если для отыскаввя ).! аримснить метод Ритва, используя нос.шдавзтелсы ность 4)уикннй и 1 — х (й =- !.
2...,), та, принимая ".й а у = с! (! — хе) + сз (1 — хл) и минимизируя Фу!гадив!гл.г 1 у- ) (ус-1(1 Рхт)уе)дх. — 1 получим т,г В 128 ! (16 64 ) (32 6888 »=с;', — — Х)+2стст~ — — — Л)+ се( — — — ).), ( 3 !05 ) ( 5 45 ,) (, 7 3465 ',) ' 'Г) Г В !28 ( , )!б 64 дс! (, 3 !05 ,) " ( 5 45 д», (16 64 г (32 5388 дев ) 5 45 ) (7 3465 — = 2ст ( — — — Л 1+ 2с (- — — Л) О, Из условия существования ненулсвыт решений с!.
ся аослелней системы получим 52),з — 10681 + 2070 О, откуда, взяв меньший корень, найдем 1! 2.1775. з.зла~ % з. злдлчл штгнил — ликвияпн 179 3.3.13. Теория Якоби второй вариации в простейшей задаче вврнационного исчисления. Вторая вариация функционала -г(у) ~ Р(х У, У) Нх, У(а) — Л, у(Ь)=В, л имеет вил ь Л«,/= ~ (Р«'+ Г(Ч'«) НХ, «(а) = «(Ь) =О, а где Пусть Д)0, а -л ==Ь. (лля того чтобы функционал Ьар был положительным, необходимо и достаточно, чтобы его наименьшее собственное значение было позоятптельным: Л, (Ь) ) О.
3)откно показать, что в атом случае имеет место неравенство ь ь Л«/~ И, ) «ь сг.с + Н«] «' т(х, о, ) О, Из ) О. а и Уравнение Эйлера — Лагрзнжа длн функционала Л«У сеть равнение Якоби и пвлястся частным случаем уравнения Птурма — Лиувилля при Л=О. Пусть а(а, х) — нетривиальное решение уравнения Якоби, лля которого д (а, а) =- О, Л' (а, а) =.!. Сопряженным с а з>шлепнем называют корни уравнения Л (а, х) =О, отличные от и. Для того чтобы все собственныс значении бьши неотрицательными, ль (Ь) -вО, необходвмо и достаточно, чтобы интервал (а, Ь) не заключал значений, сопряженных с а.
Ятя того чтобы все собственные значения Ль (Ь) бы:и положительными, необхолимо н достаточно, чтобы закрьпый справа полуинтервал (а, Ь] не заключал значений, сопряженных с а. Последнее ттвержленне эквиваяентно достаточному условию Якоби для минимума функционалз в простейшей задаче вариационного исчисления. Именно, если у в стационарная точка функционала л(у), то ь ь ду= У(у+ «) — /(у) = )~Р«а+ К«ь] ах+) [««3«+ ««Ч"-] с(х = а я ь ззл + ) [иъ~«+ е и «] Нх а где а[+в[0 при [[Ч [[ О, Ч «1 ' = птах ([д [, [Ч'[).
а л ь 180 Гл 1и, пРилОжения ВАРНАПНОИИОГО исчисления Геа.!з Если интервал (а, Ь) не содержит сопрнженпых с а точек, го Лву) О для любого тай. В гаком случае лля достаточно малых 11Е11, в силу привелепного выше неравенства, АУ~О, т. е. у доставлнет минивтум функционалу у(у). Связь между нзличием сопряженных точен и существованием отрицательных собственных знзчений функционала ЛеУ позволнег установить необходимое условие Якоби для минимума функционала У(у) (см.
1.1.9). Именно, если внутри интервала (а, Ь) сушествуют значения, сопрнженные а, то существуют отрицательные собственные значения функционала да/, т. е. вторая вариация может принимать и отрицательные значенин. В гаком случае функционал у(р) не имеет иипамума н рассматриваемой гочне.
См. Лаврентьев н Люетерннн )11, Геаьфасы н Фемтю )1). ЛИТЕРАТУРА Арсении В. Я. 1. Матемюическая физика, М., «Наука», 1666. А к везер Н. И. 1. Ленции по вариационному исчислению, М., Гостегнзаат, 1966. Бей«вен Г. и Эра ей и А. 1, Таблицы интегральных преобразований, т. 1 (серия «СМБ ). М., «Наука», 1969. Б е л ли а н Р. 1, Динамическое программирование, М., ИЛ, 1960. 2. Процессы регултирояаннв с адаптацией, М., <Наука, 1964.
Беллман Р.. Гликсберг И., Гросс О. 1. Некоторые вопросы математической теории процессов >правления, М., ИЛ. 1962. Бел лиан Р. Дрейфус С. 1. Прикладные задачи динамического программиропания, М., <Наука, 1966. Берез ин И. С, Живков И. П. 1. Метоаы вычислений, т.
П, нзд. 2, М., Физматгиз, 1962. Благе Г. А. 1, Лекции по вариационному исчислеиаю, М., ИЛ, 1960. Болтянский В. Г. 1 Достаточные условна оптимальности и обоснование мшоза динамического орограммироваиия, Иэе. АН СССР, серия ив«ем. 26, М 3 (1964). 461 — 614. 2, Математические методы оптимального «правление (серия Физвко-математическая библиотека инженера»), изл. 2, перераб., М., Наук», 1969.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
