Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Из (3.3.17)„(З.З.!3) следует, что залача Штурма — Лиувилля всегда имеет тривиальное решение и =О, Тс значения У., при которых задача Штурма — Лиувилля имеет нетривиальные решения, называются собснсзсннылш значсниялси этой задачи, а соответствующие им решения — собслчзснными фУяхциями. Тяв"с н 1!1, В И С З.З.З. Формула Грина. Самосопряженные краевые задачи, Проверкой легко убедиться в справедливости формулы Грина (/и, о) — (и, Ео) =р [и'о — ив [! (3 3.18) где и=и(х) и о=о(х) — функции класса С,[а, Ь[. Формула Грана может быть записана и так: (Еи, о) — (и, Ео) =р(Ь) ! ~ — р (а) ! и (Ь) о (Ь) ! ! и (а) о (а) и'(Ь) о'(Ь) ~ ~ и'(а) о' (а) (З.З.)О) Если и и о удовлетворяют краевым условиям (33,13), лсесто равенства аги 1а) + леи'(а) + али (Ь) + а,и' (Ь) = О, 3, и (а) + Зли' (а) + З,и (Ь) -(- Зли' (Ь) = — О, а,о (а) + а о'(а) + а,о (Ь) + а,о'(Ь) = О, Ьто (а) + Зло'(а) + Зло (Ь) .( Ьло'(Ь) = О, то имеют ! Ркс ГРал ' Р ах р=с[ ', я=Яс[, г=/7с! (3.3.14) приводит уравнение (3.3.12) к виду — [р (х) — †' д (х) и = Аг (х) и .
б / би) с1х [, их/ (З.З. Гб) Из (З.3 14) следует, что р (х) ) О и р' (х) Я С [а, Ь). Введем !операторное) обозначение (ср. 3.3.11). и / ии) Е и == — ! р (х) — ' + 7 (х) и . с/х ~ бх/ Тогда (Зхй15) примет вид Еи = Ьги. или в матричной форме, Ь,~~1 и'(а) о'(а)~$ ~ — р, — рь! /и'(Ь) о'(Ь)~)' что дает ~ «ь «в ~~и (а) о (а) ! «ь «4 !) и (Ь) о (Ь)~ Иэ (3.3.20) и (3.3.19) следует, что если р (Ь)( / = р (а)! (3.3,21) то (у,и, о) = (и, йо). (3.3.22) В свойстве (3.3.22) при укаэанных условиях заключается так называемая гажосоярязмеяносльь олеральора Шльурма — Лиулилля. Условие (3.3.'21) выполняется для краевых условий: А) и (а) = и (Ь) =О.
Б) «,и (а)+ «,и'(а) =-О, Ььи (Ь) + рьи'(Ь) = О. В этом случае «л=«ь=р,=йи=О, «,"+«~~0, Ьл+Ьь.~О, В) и (Ь) = и(а), и'(Ь) =- и'(а), р(Ь) =р(а) (условия периодичности). Здесь «,= — 1, «,=1, и,= — 1, Ьь=1. На множествах функций, определяемых условиями А), Б), В), оператор Штурма — Лиувилля является самосопряженным. См, Привалов 111, Мьььлии 121, Трам«ми 01, В. И. Смирнов Рй 3Л.4. Функция Грина самосопряжениой краевой задачи Штурма — Лиувилля. Пусть дана самосопряженная краевая за- дача (3.3.23) (3.3?4) Еи ='лги, )2ь(и)=0, Рв(и)=О, где оператор 2 определен формулой (3.3.16), а выражения 222 (и) и 22в (и) определены формулами (3.3.13).!(роме того, мы считаем, что выполняется условие (3.3.21).
Предположим, что )ь = 0 не является собственным значением задачи (3.3.23), (3.3.24). Функцией Грина этой задачи называется функция П(х, з), которая, как функция х, при любом з, а(з(Ь, имеет следующие свойства: 1) П(х, з) непрерывнэ на отрезке (а, Ь). 2) В каждом из интервалов а(х(з, з(х(Ь функция П(х, з) имеет непрерывную вторую производную и удовлетворяет уравнению ЕП = О.
3) Функция П удовлетворяет краевым условиям (3.3.24). 164 ГЛ. 1Н. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАПИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1э.а.з 165 жэм) $ 3. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУНИЛЛЯ 4) Первая производная функции 0 имеет прн х = з скачок, 1 равный —: р (з) ' 1 0' (з + О, з) — 0' (з — О, з) = —, р (з)' 1 С'(з, а+О) — С'(з, з — О) = — —, р (з) Функция Грина полностью определяется этими условиями. Так как 0 является решением уравнений ВО=О, то, если известны линейно независимые решения и и о этого уравнения, имеют место формулы 0(х, з)= А,и+В,о, и~х(з, 0(х, з)=Л,и+В,о, з(хч--Ь, где Ан А„Вн В, суть функции з, подлежащие определению.
Иэ условия непрерывности О(х, з) и разрыва ее произволной следует Л, и (з) + В,о (з) = А, и (з) + В,о (з), 1 А,и' (з) + В,о' (з) = Л,и' (з) + Вго' (з) + р(з) ' Иэ этой системы однозначно определяются разности Л, — А, и В,— В,. Подставляя теперь выражения для 0(х, з) в краевые условия, получим систему АЯг (и) + ВгВг (о) = К„ А,Ща (и) + ВЯа (о) = К„ где К, и К, — известные функции, выражающиеся через найденные величины А.— А, и В, — В,. Определитель ~ Вг (и) Вг (о) ~ Яа(и) Вз(о) отличен от нуля, так как в противном случае можно было бы найти константы С, н См ие равнтае одновреьтенг(о нулю, такие, что Сто (и) + СаВг (о) = О, СтВ, (и) + СаВз (о) = О, откуда Вг(С и+Со) =О, Ва(Сги+С о)=О.
Таким образом, С,и+ С,о является нетривизльной собственной функцией, соответствующей А=О, что противоречит предположеникы Следовательно, Ь~-'О н функции Ли Во а затем н Аз и В, Определяются однозначно. 1бб гл. Пн приложвния влридционного исчислнния-!з.ул Фуницня Грина симметрична. Действительно, положив ст (х, 3,) = и, ст(х, з,) =о н учитывая (3.3.21), будем иметь (си, о) — (и, (,о) = О = =р [ио — ио] ф+р [ио — но[ (~~а+ р [ив — но[!О = = о (3,) — и (зл) = ст (зь зл) — (т (за, 3,), С».
Приваюв бй Моллин (2), триками (1), В. И. Смирнов (11. И р и м о р 3.3.1. (о = тач у (О):=- 1' (1) = О, Л= — О нй,.ванесса собствеинйм звачснисч. Имеем дли пастраеииа функиии Грина следую иве условие: О(х, з) Аз+Влх прн О«кСз, О(х. з) Аз+В х при з к 1. ЛО =О, Лли условии непрерывности $ункдип Грина при х=-з' имеем ла+нзз=д, рв,л; из тс,,ози~ рюрыва производной ивсе» Вз — Вз.=). Из нраенык условию Л,=О, л,+в,=о Итак, Ат О, В, з — 1, Ае — з.
Вл=з и, наканеи. (з — 1)х, О хсз, О (х, з) = (х — 1)л, лСх 1. П Р и м е Р 3 3 2, ) У = Уи — У, 2 (О) = У (1), У' (О) =У' (!), Л =О не ивлнетса собственным значением, Из Лу О слслует у Сте -1- Сте к. Следовательно. Але +Взе к, О(х, л) = Авек-)-Взе к, О«хСЗ, зсх 1. Условие нснрерывности О(к, з) при х=е дает А,ел+Все з А ез+Взе Условие разрывнасти О (х, з) при х з лает Азез — Вас з — Атее-!.Взе а =1. Краев(ае условие дают Ат+Вз Азе+Взе 1, -Л Аз — ВЛ Азе — Взе Нийд» величины Ал, Вз, Аз, Вз, получим К-з.1-1 ! Л-К 2 (1 — е) О(к, л)= з-хтз „ к-л 2 (1 — е) О хС5, т.
е. (т (з„зл) = (л (зю зз). Если краевые )словни не удоилетворя(от условию слмосонряженносн(, то функция Гринв не будет симметричной. 167 з 3. ЗАДАЧА П!ТУРМА — ЛИУВИЛЛя а.алй 3.3.5. Теорема Гильберта. Бели / (х) Е С' [„Ь) ь Р(Х) .=- ~ Ст'(Х, З) у(З) а(З (3.3.25) имеет непРеРывнУю втоРУю ЛРоизводнУю, адов„, ференпизльному травнению ЕРмму и крз„„, - 'овлетворяет диф- 771(Р) =- О, Л'а (Р) =- О. 'езым условиим Обратно, если функпия Р(х) обладает непрерызн й в второй производной и удовлетворяет краевым усл,ми „ 77а (Р) = О, то стацсств) ст такая непрерызнан фтнкмпияу(х) ° о Ь Р(х) = $ 0(х, з)у(з) а(з, а именно, у= Е.Р.
Доказательство проводится посредством проверки того, что (3.3.25) действительно тдовлетворяет указанным дифференииальному ) рзвненню и краевым тсловинм. Гели в форм) ле (3.3,25) положить у (х) = Л г (х) и (х), Р(х)вм и (х), то получим интегразьное уравнение Ь и(х) = Л~ 0(х, з) г(з) и(з) зз, (3.3.26) а (3.3,23) эквивалентное нраевой задаче йи =)ги, 771(и) =О, 77а(и) =О. См. Прива.ов 11), Милами 121. гривами 111, В. П.
Сммриои 111. 336. Эквивалентность самосопряженной задачи Штурма — Лиувилля симметричному интегральному уравнению. Применил формулу Грина с о = 0(х, з), имеем а Ь (Си, О) = (Ли, О) — (и, СО) = ) -~- [ (р (х) [и'Π— и0'))' а(х = й а =р'77)ь ригг'а — р Сг 1,'= =ри01ь — риГ~'11„'+ р (з) и (з) [О' (а+ О, з)— — О'(з — О, з)[= = р (и'0 — и0') [ь+ и (з). (3.3.27) В силу самосопряженпоств нраевых условий р(1УΠ— иСР) ~ =О, а так как Еи = Лги, то из (3.3.27) следует, что и удовлетворяет интегральному уравнению Ь и (х) = Л ~ г (з) 0(х, з) и (з) а)з. а 133 гл.
ш. ппиложиния вдйидционного исчнслдния !ззт Последнее уравнение имеет несимметричное ядро. Однако в слу- чае, когда г(х) ) О, уравнение ь и ! !.с >-г(оо, ! лг!'ог!' !! (уе, !вуги! а является симметричным интегральным уравнениел! с ядром 3. Если ряд 'цч и„!х) к„(з) равномерно сходится, го его "л я=! сумма равна 0(х, з). Указанный ряд всегда скопится в среднем к 0(х, з). 4. Всякая функция вндз ь г'(х) = ) 6(х, з) г(з) )т'(з)!(з а разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по собственныи функциям )гя г(х)= ~ гяия(х)= у — "и„(Х), )» п=! л ! где ь гя = ~ Г (3) г (з) цл (5) г(з, а ь 1(я — ') г (з) )т(з) п„(з) стз. а К(х, з) =- 6(х, з) ггг (х) г (з).
Обратно, решение уравнения (3.3.29) или (3.3.23) является ре- шением самосопряженной задачи Штурма — Лиувнлля. 3.3Л. Свойства собственных значений и собственных функций самосопрвженной задачи Штурма — Лиувнлли. Исходя из общих свойств дифференциальных урзвнений второго порядка и симметричных интегральных уравнений, можно уста- новить следу ющее. 1, Существует бесконечное множество собственных чисел и все они действйтеаьны. 2. Каждому собственному числу соответствует не более двух линейно независимых собственных функций и все они образуют ортонормированную систему с весом г(х): ) г(х) и„(х) лж(х) их=О, пф яг, а ь ~г(х) ия(х)г(х=1 (и=1, 2, ...), а !69 з.з.в! Э 3.
ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ 5. Если У(х)СС[а, Ь] обладает кусочно-гладкой (возможно, разрывной) производной н удовлетворяет краевым условиям задачи, то ряд Фурье по собственным функциям сходится к у'(х) абсолютно и равномерно. 6. Если г" (х) — кусочно-гладкая иа [а, Ь] функция (разрывная нлн непрерывная), то ряд Фурье функпии у'(х) по собственным функциям сходится в открытом интервале а<х<Ь и имеет своей суммой у(.х) в каждой точке непрерывности и зна- У(х+О)+У(х — О) чение в каждой точке разрыва, 2 Система собственных функций полив в классе Ев(а,Ь). См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
