Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 26
Текст из файла (страница 26)
)Зб Гл. н. интеГРАльные уРАВнения )2М.2 Отсюда я !и) ф !и)= — —— 1 — У2 К(и) н, следоважльно. т !х) — ) е г!и. г 1'(и) - !хи Р')с Л ! — У'2гК!и) далее. р (х) — у !х) == †.. ( У'2г 1 г ' — Р(и)е 1 ии [ г" гл) ! — 1 г:.К!и) 1'з. К !в) -гхи )г !и! . — е Ог. 1 — !'2к К !п) Обозначив и г(х! - — Н !и) е ии, (' -гхи Уук Уз. Д «) я 'и) ! — ) ук й ги) можно пол)чиль аьончетельггый результат в виде г!Х) У!Х)+ ( Г(Х вЂ” й)((й)ЛЕ Прггиелеггггйге выше вычисление носили формалышй характер, поскольку не указаны свойства которыми ой.залают дсшвые фуггкагии и класс функций, в ноторои огыскгыа гсп ре~гзеггие. В санном примере достаточно предположить, что ((х) Е сл ! — оз, со), 1 й)л) Е Ы 1-оз, со), К!и) имеет верхнюю грань, меньшую —.
Полученное ре- 1' 2 шсвие ариишлежит Сл 1- со, со) и с точностью до фуикшги, равной почти всюду нулю, единственно, Ем. титчиарш (!1, Свсддогт )1!. 2.4.2. Преобразование Лапласа. Н интегральной формуле Фурье положим !ми х — г гт хг соню (à — х) '! т ттн да, прсднода! ая дооодиителшш, что У (х) = О при х С О, будем ил!сто у(х) = — ~ е! лны ~ у'(с) е 1™г(г, х)0. ( 2я Пусть у(х) прииадле кит к классу функций, для которых интеграл ~ )у (г) (е йгс(1 сдодится, если г выбрано достаточно большим й 4 НХТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВДННЯ 1ЗТ 2.4,2! положительным.
Имеем 1 ЕШ-(.~хбш ~ у(у) Е-(б-(и (б, у(Х) 2я — са и Положив и — (ы=р, бы = — —., будем иметь бр я -(- з о» со 1 2к( — ерхбр ~ у'(У) е Р(б( =У(х), (2.4.! 1) Функция у(р) = ) у(С(е р(б( о (2.4.12) носит назианис нреобризовиния .7иплиси функпии У(СЦ Имеет место формула обращсяпя (обрашное преобризовиние Лвндвсв) (-( (со У(с) = — ~ у (р) ерхбр. 1 (2.4.)З) В последней форзпли применяется интегрирование функции комплексной переменной у (р). Для пары взвимныт преобразований (2.4.!2( и (24.(т( составлены обп нрп»е табшшы, поторые полезны пои решении яекотарыт ннтесралыыт»р, нт, См. деткин и Кузнецов (ц.
Д»пкпн и прулникав П). Бсйтмен н Эрлеан (ц. П р и и е р 2.4.4. Найти решение интегрального уразеолил Вольтсрра х с (х) = / (х) -(- ( а (х — б у (О е(. б Ограничимся Рарчвлыпыи решенпеч. Обозна пш преобразование Лапласа 4»ункций у (х), й(х) и иска»ой т(х) соотаетс»нанна через у(р). а(р). е(р). Тогда, повторяя вы в»еленик примера 2 4 3, припек к уравнению т (Р) = у (В)+ л (Р( у(Р) откуда е (Р) = У (Р) + — У(Р).
( — а (р) Решение получается посредством форм».»ы абра (енин, См. Де с (Ц. Диткин и Кузнецов (Ц. Д»пкпн и Пруднинов (Ц. Преобразования Лапласа применяются и к рсшсншо ряда друп(х типов интегральных »равнений. 199 ГЛ Н. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ьхь.! 2 5. Уравнения лфредгольма первого рода 2.5.1. Теорема Пикара. Пусть дано уравнение Фредгольма первого рода ь ~ К(х, з) р(з) с(з =г'(х). (2.5.1) О Есзп ядро есть много'шеи по х: К(х, з) = а, (з) хил+ а, (з) хс» '-!-... -!- аж (з) х-[- а„,„, (з), (2.5.2) то леваа часть (25.!) пРимс! внд Ь,хм+ Ьвхы '+... +Ьж„! и, следовательно, такой же внд должна иметь и правая часть (25.1). Отсюда следует, что сели у(х) — произвольная непрерывная на [а, Ь1 Функция, то при данном ядре (2.5.2! уравнение (2.5П) не имеет решения.
Можно показать, что если К(х, з) — непрерывное ядро, а „г'(х) — некоторая непрерывная функция, то в классе С [а, Ь[ уравнснпе (2.5.!) моясст не иметь решения. Если К(х, з) — симметричное ядро, квадратично-суммнруемос в квадрате а~х, з(Ь, у(х) квадратично-суммируема на [а, Ь], то интегральное уравнение <25.!) имеет квадратичпо-с)ммнруемое решение тогда и только тогда, когла ряд Л,-"у;+ Л;"у;+... + ),у.в+... сходится.
Здесь хь -: характеристические числа ядра К(х, з), гав коэффициенты Фурье функции У(х) по системе собственных функций ядра (предполагается полнота укаэанной системы собственных функций). В атом заключается теорема Пикара (1910 г.). См. Привалов !ГЬ !'уров !!1, Трикоми !2!. 2.5.2. Метод последовательных приближений. Пусть К(х, з) — симметричное квалратично-с)ммируемое положительно определенное ядро и пусть уравнение ь ~ К(х, з) р (з) с!з = у (х), / (х) ц л.в [а, Ь1 О разрешимо.
Тогда последовательность [р»(х)), определнемая рекуррентным соотношением Т» (х) = Т»-л (х) + )с [У (х) — лл»-! (т)1 где 0 < Л < 2л, тв(х) Е ~'[а, Ь1, у. (х) =) К(х, з) Т. (з) 'з, а йб.а) 5 б. уРАВнения ФредГОльмА пеРВОГО РОДА 139 и Л! — наименьшее характеристическое число ядра К(я, л); сходится я среднем к решению уравнения (2,5.1).
Эта теорема принадлежит Фридману (Ц. См. также Положил и др. (Ц. 2д.а. Решение некоторык имтегральныд урвваений первого рода. Пример 2,б.!. Уравнение К(х — з) у(л) яз /(х) может быть при помаши преобразования Фурье приведена к виду р(и) р 2 Ф(а)К(я), гле Р(и), Ф иф к(и) — соответственна преобразования Функций /(х). у (х), д (х). Имеем далее Ф (и) = — —, ! У(и) у'2е К(Ю и применение обратного прсабразаванио Фурье дает у (х) = — ! — е би. г рон тхп 2 ) К(и) Решение данного ураввени~ существует н принадлежит к Ст ( — со, со), г (и) если /(х) б Ст(- о, со), я (х) б !г( — ш, со), — б С-'( — со, аэ). К пг) См, Титчмапш (Ц.
Пример 2,5.2. О уравнении е '" л лу (л) бл.=-/(. ) ядро является произвадяшейфуиаиией для пслнномов Эрмита Н (л), т. е. имеет л место састношенве Ъ- (,з л е Н (л)х л! л=о причем Нле Ях 2 л(уе Данное уравнение, если положить в мем у(л) - х) алНи(И, л=о сводится к виду /(х) )гк 2' а 2лхл и О 2Л н аояффипиеиты У е ил2 онрелелаютсн кап ковффипиентм степеняаго разложения фуинпии /(х). Последняя фуикпия, таким обохяла», должна быть впали. тической. По поводу етого примера. а также другил, в которых используются произ водящие функции, см. Морс и Ф еш бал (Ц. 140 ГЛ, Н.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РДЬ! ф 6. Приближенные методы решения интегральных уравнений 2.6.1. Метод последовательных приближенна решения уравнения Фредгольма второго рода. Пусть дано уравнение м (х) — Л ( К (х, 5) ер (5) из = У (5), (2.6.1) а Если м(х) — точное ретпенне уранпения (2.6.1), а ал (х) есть п-е последовательное приближение (см. пп. 2.2.1 и 2.2.2), то л, еВл ~ г (.
) — Г (х), 1) Ь С, — ' — ', (2.6.2) л, г~ ~) ~Ве в предположении, чта ялро кусочно-непрерывное, ~ К'(х, 5) 65 (Со а ьз ) ~ К' (х, 5) г(х а'з = В', ') тн (х) а'х ( О, а С, = сап51, (2.6.3) () = соп51. Последовательные приближения сходятся к решению равномерно при (Л) «В '. См. Миилин 121.
Более грубая оценка мажет быть получена прн следующих предноложенвях: ядро непрерывна, причем , 'К(х, з) ~ «М, Функция У(х) непрерывна на (о, Ь) и (т(х) ~ «Аг; тогда АГ(1 1(М 1Ь вЂ” а))л"' — (х) 1 ~ (264 Сход!!масс! пряблпжения к решению равномерна. См. Березин и Жвннов 1!1. Если ядро н свободный член квадратично-сучмируемы и почти всюду имеют место неравенства (2.6.3), то сохраняется и оценка (2.6.2) яочтн всюду на отрезке (а, Ь).
Аналогичное замечание можно сделать н относительно оценки (2.6.4). См. Триномн 121, Мивлин 151. 26.2. Метод механических квадратур. В интегральном уРавнении ь Е (х) — Л ~ К(х, 5) и (5) Из =ив(х) (2.6.5) а 6.6.61 й 6, НРИВЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 141 предположим, что ядро и свободный член непрерывны. Заменим в (2.6.5) интеграл квадратурной формулой Чебышева: ь л ~ ф (х) бгх = А ~ ф (хл)г(х + р, (2.6.6) о Ь 1 где Ь вЂ” а Ь вЂ” а 1л! Ь вЂ” а х,.= + х,л 2 2 ' л А=— н х!"! — точки Чебышева, р — остаточный член.
формула Чебы- шева применима прн и =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, Точки Чебыимва табулированы. См., наории р, Береаив и живков 111. Таи жс оривелены аырангевия лля остаточного члена Вармульг Чебышева. Используя (2.6.6), заменим уравнение (2.6,5) системой уравнений л р (х;) — ЛА у,' К(хп хл) гр (хь) =у (х;) + Лр! (2.6.7) В=! (1=1, 2, ..., л), где р1=р (х;). Отбрасывая в (2,6.7) малые величины р1, получаем систему уравнений Т(х!) — ЛА ~ К(хг,х„)гР(хь)=У(хь) (1=1,2,..., л).
(268) Ь-1 найдя из (2.6.8) значения т(х,), т(хе),..., м(хл) прн помаши грормул игперполирования, можйо указать приближенное значение функции гр (х). В случае, когда ядро и свободный член периодпчны с периодом Ь вЂ” а, рекомендуется использование формулы прямоугольи и ко в. с . канторович и крылов 111, гае север атея ок нни к греыностей ва сны интегрального урввневия системаи линейныя ураинений.
См. также Миялин 131. 263. Метод наименьших квадратов и метод Галйркииа. Приближенное решение Ф (х) уравнения ь ср(х) — Л ( К(х, а) р (б) с(а=У(х) (2.6,9) а отыскивают в виде Ф (х) = .У, 'вы*(х), (2.6.10) 142 тл, н. НнтеГРАдьные уРАВнения !алка где тт (х), те (х), ..., тм (х) — линейно независимые на [ее й) функции. Коэффициенты ал находят из условия ) (Ф (х) — Л $ К (х, з) Ф (з) с(з — у (х)) в с(х = ш ! п, (2 6 11) а а или ь 11 '! Ц ~~ аь ~аь(х) — Л ) К(х, з) мь(з) ссз1/ — у(х)~ стх = гп!п. а ь=! а ьр ь Π— с)см ) ()~ — и ~1т ~ ~ %е а а (й = 1, 2, ., я)., (2.6.12) Условие применимости етит методов и ин обосноввиие см. Митвин !Ч!.
2.6.4. Формулы для отыскания характеристических чисел, Методы, изложенные выше, позволяют находить характеристические числа и собственные функции интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Удобным является метод следов; тл-и следом ялра К (х, з) называется число ь Авт = ~ К„,(х, з) асз, а (2.6.13) где Км (х, з) есть т-е итерированное ядро. Из формулы (2 3.!9) слелует, что 1 А„= '() — „ (яд=2, 3,...) (2.6.1 4) Для достаточно большого ш преобладзющим членом по абсолютной величине является 1!Лис. Это приводит к приближенным ! формулам А, =1!Лэт, А, „э-1(Л21" +э, откуда (2.6.!5) Формула (2.6А5) дает значение ! Л,) с избытком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
