Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 24
Текст из файла (страница 24)
ГО 20' ГЛ. и, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (2.2А РЕО Ото(ода подстановкой в исходное интегральное уравнение почу- чил( требуемую систему ь и ' — (511(1115'Е и,оз1 - 1=-лз, ., 11тздз а й=( н,ч н с; — ). ~ ан,сл =у( й.=( а;л — ~ Е( (з) ай (з) с(з, о (1= ), 2, ..., л), (2,2.6) 51=') ()1(З)У (З) 5(З. о Найдя отсюда сь получим ре(пенне о(х) в Форме (2.2,4), П р в и е р 2.2.4. Найти решение урана ние 1(1 (л)=. ) х~г(5)а*-( ')(~). о Обозначив 1(5 ( зт (51 45=-СЬ о получим о (л) = с,х ч-у (т). Нодетааовка в уравнение дает 1,'., слх+У(х) = ~ хх!515+)(5)(45+)(х) 0 1(5 1 или 51 — — 51 = ~ 5) (5) а5, 24 0 откуда 1(л 24 à — 5)(5) аз. 23 ) 0 Таким образом, 1(5 24 , (х) — х ~ 5 у (5) ах-Л у (х). о 2,2.4.
Аппроксимация невырожденного ядра вырожденным. Решение уравнения Фредгольма с невырожденным ядром может быть сведено к решена(о интегрального уравнении с вырожденным ядром путем разложения данного ядра на сумму вырожденного ядра н ядра с достаточно малой нормой. См. Митлии (3), Трикоии (2), Вулнх Рй Имеет место следующан Те о р е м а.
Если даны два ядра, А'(х, з) н А(х, з), причем $ ) К(х, „ А(.„)( .,-. И, а 22.4! В 2 ИНГЕГРА„7ЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА 1Е! а для резольвенгы //з(х, з, Л) ядра /4(х, з) имеет место неравенство ь $,'//з(.к, з, Л)'огз(В а н выполняется неравенство ! — АД (1 + ! Л ( В) ) О, то уравнение ь и (х) — ), ~ /('(х, з) р (з) ьгз =/(х) имеет единственное решение; уравнение ь /(х) — Л ! /г (х, з) ! (з) г/з =/" (х) а также имеет единственное решение, причем Аг) ) ) /1 (1+ ( Л) В)' )В(х)-Р(х)1~ !''Лд(!+ Л~В) "= пР'/(х)~ !и, ь) Дояазатеаьстао сн.
Кантороаие п Крыаоа РР П р и м е р 2.2.Ь. В уравнении г(я т(к) (Мпхяр(я)ля+/(х) О ааменим «дро Мп кя аарон хя. Имеем К(х, з)=-юпхт, Ь(х, я) хг н На г!а .таят !К(х, з)-Ь(х, г)(дг<~ — Дя= — <Оди(=Ь О ЗО!2 о О (при аыеесаении поаожияа к = Н2). Дяа уравнения '(а г (х) ~( хг 4 Н) да+ / (х), согаасно примеру 2.2.4, имеем резо.гьнеатное ядро Нг(х, я, Х) = †и, следа- 24 2З еатеяьно, г/, , из (х,, М ! Ля = -- х —, ~~ "-' - Ы— С О,ьу ОЗ 2 (О Ш О (где положено х 1!2). Приведенная ежи~а георга~а апет оцеияу т(х) — Г(х), < ' ' (О,ОО12АС А'.
О,ОО(. 1, 144 По поводу етого прпнера см, также Вуяиа !1!. !2,2.5 Гл. н интегРАлтн!ып РРАВнен!ия 122 2.юб. Теоремы Фредгольма. Ниже бтдет рассматрнватьсн неоднородное интегральное уравнение в 7 (х) — Д $ К (х, з) 7 (з) с(з = У (х), (2.2.7) а соответств)ющее ему однородное уравнение о (х) — Д ~ К(х, з) Ч (з] бз = 0 (2.2.8) а и союзное (изп сопряженное) с уравнением (2.2.7) уравнение а (х) — Х ) К(з, х! а (з) бз =у (х). (2.2.9) а Если ири некотором значении параметра д = 1, однородное уравнение Фредготьыа имеет нетривиальные решения (не равные тождественно нулю), то !., называется характеристическим числом, а соответствующие ему решения о, (х), е, (х), ..., В„(х)— собсзавенныжи !Рунесйиялги ядра к(х, 2).
Первая теорема Фредгольма. Если 1=-)е не явтяются характеригтическнм числом ядра, то неоднородное уравнение (2.27) однозначно разрешимо прн любой правой части у (х). Вторая теорема Фредгольма. Если Л=)е является характериспшегким числом однородного уравнения, то оио будет также характернстическзм! значением и для союзного уравнения з че (х) — 1, ~ К (з, х) а (з) с(з = О.
а Числа собственных функций уравнений (2.2.8) и союзного с ним )равнения, отвечающих однойу и тому же характеристическому числу, одинаковы. Третья теорема Фрсдгозьма. Если однородное уравнение имеет ненулевое реп!ение, то неоднородное уравнейие, вообще говоря, неразрешимо. Онв будет разрешимо тогда и только тогда, когда выполнены условия ортогональности (у, ф1,)=О (!!=1, 2, ..., и), где фа —— фа(х) (2=1, 2, ..., и) суть собственные !функции союзного ядра, принадлежащие данному характеристическому числу дв. Четвертая теорема Фредгольма. Множество характеристических чнсса интегрального уравнения (2.2.7) не имеет предельных точек па конечном расстоянии.
Если множество характеристических значений бесконечно, то его предельная точка находится на бесконечности. Доказательство св. Макаке 12!. 2дгг) $ з симметричные интеГРАльные УРАВнениЯ 123 Содержание первой н третьей теорем составляют так называемую альтернативу сйредгольма. См. тзкже п. 2.330.
Для интегральных )равнений с вырожленным ядром теоремы Фрсдтольма являются сзедствиями нз свойств линейных систем уравнений. р 3. Симметричные интегральные уравнения 2.3.1. Существование харантернстнческого числа. Сижмеюричыылси иытегрольыылси уравнениями называютси ) равнения, ядра которых симметричны, т. е. К(.к, 5) = К(5, х). Итерированные ядра симметричных травненнй симметричны. Например, ь ь К, (х, 5) = ~ К (х, Г) К(т, з) дт = ~ К(5, т) К(т, х) дз = К, (5, Х).
а и Каждое симметричное ядро, не равное тождественно нулю, имеет по крайней мере одно характеристическое число. Это утверждение справедливо как для непрерывных ядер, так и для квадратично-суммируемых ядер. Докеввсельствв см. Привалов ()), Ми»вин (2), Трикоми (2(. 2.3.2. Ортогоиальность собственных функций.
Собственные функиип симметричного ядра, соответствующие различным характеристическим числам, ортогональны. Деве»вительно, *ели ь ь вл(х) )с (к(», л)ел(юле, тл(»)=л (к(х, л)тл(л)лв, лсч'.ле, о а ь лх (к(х, л) тл(л) лв рйил а та откулв ь (Лт — Лл) ) олова» О, а и твк Квк ллЮлл, то ь ( щрлл. -о, н.з. и ь ь л,)т,овлх-л,л,) а а ь -л,л, ) а ь ь л, (т,т, ле — л,л,( а и ь „,()л ) К(», ) е(х)л», тт (Ивы) К(х, л)ол(х)их, а 124 ГЛ. 11. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 12.3.3 На сснованци полученного равенства в п. 2.3.3 будет доказана дейпвителыгость собствеинык чисел и собственмыт функций.
Тогда (2.3.!) означает артоганальность собствеиныд функций, соответствующих различным ларактеристическим числам, 2.3.3. Действительиость характеристических чисел. Характеристические числа сиыыетричиого ндра действительны. В саном дело, если 1, — коиплексаос характеристическое число, 5! = '(+!а С СОатостетаУЮЩЕй СОбСтВЕННОй фУНКЦИЕй тг (Х) а (Х) -(-(Ч (Х), тО ааРа ДОЛжиО об.ад«ть сопригкевцым характеристическим числом л„ = - '— гч. с собственной Функцией тз (х) == а (х) — гу (х).
В силу (2.3.1) иы икаем длт собсгвеаньж функций тг (х) и ра(х) 3 3 ) т ! 5. 55 = 1 1 З (х) + Р Г (х)1 Их = О, а а что возможнг ышь тогда, когда «(л! и 5(х) тождествг«гно (или зачти всюлу) Раним НУЛЮ, !)ОСЛЕДИЕЕ ПРатиеОРЕЧ!ГГ «ОИУ, ЧГО тг (Х) Щ О. П р и м е р 2.3.1. Ураниевне 1 т (х) =- д 1 (х -1- 5) р (5) Нл Π— симметричное с иыраждснным адрон. Имеем 1 1 т(Х) =Д ~Х) Р (5) 55+1 55 (5)аз~ =С,Х Г Сг. О 0 Из данного уравнение слелуег, что 1 с, х + ел = ) 1 (х ф 5) Ы г 5+ от) из.
О откуда 1, 1 сг = 2 с! ° — + )са 3 2' 1 с, =)сг — +)с . г откуда находим дарактериспыеские числа 1)З вЂ” б, ) 5 = — 5 )'1 — 3. Соответствующие собственные Функции. те (х) = (1 — 1/3 5). у г — уз тг (х)= = (1+У Зх), 1 Уг+ Уз Найдскные собственные функции ор*агональны: И» ты= (! ФУЗх)(1- Узх) Нх- (1-Зхг) их=О, 1 1 Уй+УЗ У2 — УЗ Условием совнест исти иослединл уравнений евлзетсе обращение в нуль оиредслителе системы, что дает Д г + ! 21 — 12 = О, 2.3.4) й 3, симметРичные интеГРАльные РРАвнения )2б П р и м е р 2.3.2.
Интегральное уравнеаие т(х) — Л (К(х, 5) г(5)дл-О с ядром Х 'и 5, симметрична. Найдем ега карактсрпстическпе числа и собственные функции. Имеем т (х) = Л вЂ” 1 5 (1 — х) т (5) Л5 + Л ° — ~ х Н вЂ” 5) Г О) 55 1 г 1 О х (2.3. 2) )х Г. г л г (х) — ~ — 55 (5) 55 + ~ (1 — 5) Р (5) г( — — ) лт (и Дл+ 0 х 0 Л +- ~14 (5) 55, (г.з.з) т" (х) — Лт,(х). Ив (2.3.2) слелует, что т(о) =уй) =о. (2.3.4) Общее решение дифференциального уравнении (2.З.З) есть т (х) ел сот т Л х + ел 5(п т'Л х. На т(0) - сг = О, паетаму «арантеристические ~нала истаднага интегрвгьиого уревнениа будут вайдсны ив условие т Гб о аа )гл 1, откуда н еи Удт=.ит н Л = —, (и 1, 2, ...). и 15 Соответствующие собственные функции суть и ° т (х) е1п — х н 1 и понтону, укатывав, что , ик 1 5)па — х Лх и' О получаем нормированную систему сабстаеаиыд функций 1/г .
д ° (х) = )г — ып — "х. и =р 7 Ортогональность втит функций на отреаке (О, 1) легко проверить. 2,3,4, Ортогонализация собственных функций. Если некоторому хардктеристнческому числу принадлежит нескодько ЛИНЕЙНО НЕЗаВИСИМЫХ СОбетВЕННЫХ фуНКцИй, НаПрИМЕр, г)5(Х), 95(х)Г г 1РЛ(Х), тО КажДаа' ИХ ЛИНЕйНан КОМбниаяна таКжс 12б ГЛ.
11. ИНТБГРАЛЬНЫП УРАВНИНИЯ (э,а.э является собственной фуикцией и эти лииейиме «пмби«мами могут быть выбраны так, что поаучаииые при этом собствеииые функции будут ортоиормироваиы. Действительно, функция ф,(к) = — имеет норму, равную у, (л] )) о единице. Образуем комбинацию вф, + тл и выберем и так, что (нфт+ ил, фт) = О, т. е. возьмем (р Фс) (у Ф ) а=— (Ф Фт) = ()Фт()' ' Функции л.. (2.3.б) действительно, есл» вафилсироиаи л. то ловффициеиты Фурье К !х, л) ио ортонормированной системе есо соаствее~ыл фуницнй суть ь г! !л) (К!х, лу, та) = ~ К !х, лУ „!х! Ух=в а вЛра и вследствие неравенства Бессеаа л !лу ~ Кт гх, 51 Лх, л а паоле интегрировании а л л а ва !ЛУ СГЛ = — ~ ~ КЛ !Х, ЛУ сух ЛЛ= па <се, л' аа ув ~ ~т,паял= —.— о вт=! Уй „уи афт + уа !!)афт + у )! ортогопазьиа к ф,(к) и ичеет норму, равную единице.
Далее выбирается комбинация ифс+!тфл+рл и постоянные и и р находятся из условий ортогоиадьиости (оф +ррл+р Фт)=-О* (иф +уф +у Ф,)=О. С найденными таким образом коэффициентами л и р функция ифт+ 8фа -'; мл (! вф ! + Бра + ра )( ортогоиааьиа к фи ф, и ииеет норму, равную единице, и т. д, При помощи укаэанного процесса ортогоиализации (Совива— Шаитхта) ПоСледОватЕЛьНоСть СОбственных функций симметричного ядра иожио ортоиормировать, 1то впредь и предполагается выполненным.
2.3.5. Количество собственных функций, соответствующих характеристическому числу, и распределение характеристических чисел. Каждому характеристическому числу соответствуе~ конечное число собсгаениых функций. Если обозначить это число через я, то имеет место нера- неиство 2.3.и) Е 3. ЕИММЕТР1ШНЫЕ 1РНТЕГРААЬНЫЕ РРАВНЕНИИ )27 В каждом конечном интервале ~ Л (( А ~ со может содержаться лишь конечное число характеристических чисел. Если обозначить зто число через тп, то имеет место неравенство т ( АхВв. (2.3.6) Считвв, что «вмдому характеристическому числу Лх, ..., ! принаддемит и по меньшей мере одна собствеииа.! функвив р 1х1,, , т (ю, получаем сно' в! собом, исповьвованным выше, неравенство ~д „'.'„- Вт, е=! х; (2.3.71 отктдв, учитьсвав, что !»,-х ) А-т, по!учаем неравенство (23 61, Из неравенства (2.3.7), в частности, следует сходнмость ряда Из доказанного выше следует также, что все характеристические числа можно расположить в порядке возрастания абсолютных величин и занумеровать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
