Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В книге Михлина [9] ядро — компленсная функция переменных (х, з), суммируемйя со своим квадратом при а~х, з(Ь; а и Ь могут быть как конечными, так и бесконечными, свободный член — комплексная функция, квадратично суммируемая на [а, Ь]. В книге Трикоми ядро и своболный член — действительные квадратично суммируемые функции, соответственно на квадрате а (х, зч-Ь и на отрезке [а, Ь]; а и Ь вЂ” конечные.
Здесь Т(х) — нскгмая функция, л" (х) — данная функция, егазываелгая сзободнылг членом интегрального уравнения; К(х, з), а -:х, з ~Ь вЂ” данная действительная функция, называемзя ядром уразяенпя (20.12); Т вЂ” параьгетр. При у(х) =„' 0 уравнение (2.0.12) называется яеоднороднылгг если же у(х) = О, то уравнение (2.0.12) называется однородным. Так, например, у рзвнснис (2 0 б) — однородное линейное интегральное уравнение, уравнение (2.0.8) — неоднородное линейное интегральное уравнение. Пример 2.0.1 показывает полезность введения параметра в уравнения.
Это дает возможность одноврсмешгого исследования частот всех возможных колебаний струны, Важным классом линейных интегральных уравнений является класс интегральных уравнений Фредгольлга второго рода. Это— уравнения вида (2,012), в которых на ядро и свободный член наложены специальные условия.
Так, в книге В. И. Смирнова ядро счичается непрерывной комплексной функцией переменных х, з, одределепной в квадрате ач х, з =-Ь, где а и Ь вЂ” конечные числа, свободный член считается комплексной функцией, непрерывной в отрезке [а,,Ь]. В книге Михлина [8] ядро — непрерывная комплексная функция переменных х, з, определенная в квадрате а ~х, з (Ь, а и Ь вЂ” конечные; если же ядро разрывное, то предполагается, что ьь ] ~ , 'К(х, з),' ах аз (оз, аа РВВ ГЛ. 11. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 12.0.
а В настоящей книге ядро и свободный член — действительные функции, остатьные ограничения приводятся по мере надобности. Если ядро интегрального урзвнения симметрично, т. е. К(х, а<=К(ь, х), то интегральное уравнение называется сижжетричяыл<. В тех случаях, когда рассматриваются комплексные ядра, симметричность определяется соотнон<ением К (х, 5) = К !5, х'). Основные результаты в теории симметричных интегральных уравнений принадлежат Гиаьбсрту и П!мнлту. Уравнение Фредгольл<а первого рода имеет вид ь ~К(.', з)Р(з) Ля=у(х). (2.010) а Ограничения, накладываемые на ядро н своболный член в уравнении (2,0.13), те же, что и в уравнении Фрелгольма второго рода.
При известной функции и (х) и искомой У (у) уравнение (20Л) есть уравнение Фрелгольма первого рода. Частным случаем уравнения Фредгольма, имеющим самостоятельное значш<не, является интегральное уравнение Воль- терра 11(х) — Х ~ К Г», з) у(а)да=у(х). а (2.0.14) $У(х) дх а Как и выше, различают уравнения Вольтерра второго и первого родов. 2.0.3. Сведения об интеграле Лебега. Для дальнейших рассмотрений существенным яваяется понятие определенного интегрирования ио Лебегу. В курсе математического анализа определенный интеграл (яо Ричаяу) строилсв следующим образом. Пусть лана функция у'(х), определенная и ограниченная на отрезке [а, Ь[.
Обозначим через х< (1=0, 1, ..., я) произвольные точки отрезка [а, Ь[, причем а =ха <х, < х, « ... х„, < х„=Ь. Обозначим палее через 1< (< = 1, ..., я) произвольные точки отрезков [х< о х;[, причем а,= хо <Я< <х,<1< =.х< < ... < «~с <хя тЬ. Определенный интеграа функции у'(х) ь % о. пвпдннип а.о.т) опредеяяется как предеа (есан таковой существует) интегральных сумм я ~у (с!) Ьхе, бх! = х! — хт, е=! прн шах Ах!-О, не зависящий от выбора точек х; и Ь!. Пусть т; и М; соответственно точная нижняя и точная верхняп грзни функции у(х) на !жрезкс [х; о х;) (дзя непрерывных функций это соответственно наименьшее и наибольшее значения у(х) на отрезке [х; о х;[).
Нижней и верхней еуллгалги Дарбу фуннции У(х) на отрезке [а, Ь) назывзются соответственно интегральные суммы и я ~~~ тедх! и ~ , 'Мезе!. г= ! г=! Дан того чтобы сущестнозза определенный интеграл функции у'(х) на отрезке [а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы при шах Дх! О суммы Дарбу имели общий предел. Исаи ввешн понятие конебаяия еч функции г" (х) на отрезке [л! о х;) посредством формулы ы; = М; — ть то вь!поаненне соотношения ))ш ~ , 'ыгбх! = О теа лх,. О ! яваяется необходимым н достаточным усаовием существовании определенного и!пеграаа функции г" (х) на отрезке [а, Ь[. Указанным выше условиям удоваетворяют: а) функции, непрерывные на отрезке [а, Ь); б! функции, ограниченные на отрезке [а, Ь) и имеющие конечное число тачек рззрыва на этом отрезке', в) функция, ограннчеиныс и монотонные на отрезке [а, Ь[ (в этом случае функцни мог)т иметь бесконечное количество точек разрыва).
Критерий ннтегрируемости функции по риману можно сформуанровать иначе, если воспользоваться понятием множества меры нудь. Так называют множества, которые можно заключить в конечное няи бесконечное коаичество интервалов, сумма длин которых может быль задана скоаь угодно малой. Множества точек разрыва функиий, указанных выгие, имеют меру нуль. Необходимым и достаточным усаовием интегрируемости функции по Рнману является то, что множество точек разрыва имеет меру нуль. Приведем теперь пример ограниченной функции, неинтегрнруемой по Римант Это ), если х — нррацнонааьное число, Х(х) = 2, если х — рациональное число. ГЛ.
И. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ 12.з.з Н а любом частичном отрезке Дх! и 1пп ~и~ ~нейх! = 1 ф О. мат ах. О; а!=!, ~3~медке=! е=! Таким образом, неинтегрируемость данной функции показана. Покажем теперь, что эта функпня может быть представлена а виде предела неубывающей посзедоватезьносю! интегрируемых функций Используя несокрапемые дроби, которые будем брать в порядке возрастания знаменателя, занумеруем асс рациональные числа отрезка [О, 1]: 1 2 1 3 1 и =0 га= ге= —, г,= —, га= —, ге= —., г 2' 3' 3' '" 4' 4'' и положим 2, х =го г! (х) = -('; =,: 1, х=х го =Г: 2, х =- ! „ Га, ( 2, х=ео га, „,, гн Л(х)= ' ' ',..., Л(х)=~( ' Функции уе(х) интегрируемы и образуют не)бывающ)ю последовательность, причем ! ]у!(х) ах=! и у(х) = !'Нп уе(г). 6 ! СО Кроме того, стщеста)ет предел 1'пп ] е'! (х) йх = !.
Имея в виду этот пример, обобщим понятие риманова интеграла следующим образом: Рассмотрим класс ограниченных на отрезке [а, Ь] функций, являющихся пределами неубывающих последовательностей интегрируемых цо Риману функций, а также пределами разностей таких последовательностей, Этот класс функций, содержащий в себе, в частности, все иепегрируемые по Риману функции, называют классом измеримых функций и обозначают е,! [а, Ь], В качестве интегрзаа а смысле Лебега ограниченной измеримой функции принимают предел интегралов последовательности интегрируемых (по Риману) функций, определяющих рассматриваемуео функцию. Указанным способом интеграл Лебега определяется однозначно, а для функций, интегрируемых по Риману, совпадает с обьечным определенным интегралом. Таким образом, функции, принадлежащие классу Т.е[а, Ь], интегрируечы по Лебегу; их называют также суммирусмыми, Лля интеграла Лебега используется обычное обозначение.
жа.а1 5 о. Виедение Для указанной выше фуняции «(х) имеем ~у (х) с(х=1. 11еречислим некоторые свойства интеграла Лебега: ь ь ь ь ь ~ (у+ д) с(х = [у'г)х+ ] них, ~ ту с(х =- с [у'стх, г] у' с(х г в О, если ~) О, ь ь ~ У сгх ем ~ д Дх, - если ~) Ьч а а ь ~улдх — О, если ул О. Если Ул (х) сс й' [а, Ь], (Ул (х)) — неУбьсвасощал последовательность, г" (х)) = 1!нт ул (х), то у(х) е б' [о, Ь] и л са ь ь ]у'(х) ст.т = !Нп ] у:л (х) с)х. а л са Если функции У(к) и д(х) измеримы на отрезке [а, Ь] и отличаются друг от друга лишь на множестве меры нуль (такие функции называют равяылги поели всюду), то их интегралы совпадают.
Понятия, указанные выше, распространяют и на интегрирование по бесконечному интервалу, используя для этого последовательности интегрируемых функций, равныд нулю вне некоторого конечного интервала, своего для каждой функции. Для приложений весьма важны функции, суммируемые амесше со своим ггвадраглом. Множество таких функций обозначают «а [а, Ь]. Произведение, сумма н разность двух фчнкций, принадлевсашнх к «т [Ь, а], также принадлежат Ев [а, Ь]. Если для послеловательности (гл (х]), ул (х) Е у.' [а, Ь] сушествует такая гйункция г(х) С У.а[а, Ь], что ь !(пг ] [ул (х) — У(х)]а с(х = О, л сь;с то говорят, что данная последовательность сходцшся в среднем к функции ~(х), и записывают в форме !.
1, ш,у'„(х) =у'(х) л са (1, !. ш — )пиеа!и шеб!о — предел в срелнем). Если последовательность (ул(х)) сходится к,г(х) равномерно, то она сходится к у'(х) и в среднем. 112 Гл. !г. интРГРАльныР уРАВнЕния (т.ол Имеет Место важная Теорема Фишера — Рисса. Необхцднлцам и достаточным условием сходимости в среднем йосйедйвательиасти (у„(х)), у„(х) Е йа [а, Ь] к некоторой функции у(х) Е йа [а, Ь] лвляется выполнение равенства ь 1~ш ] (~„(х) — ут (х)]'а!х= О.
Оэ а т сь Ниже при рассмотренилх квадратично-суммируемых функций используется обозначение ь ]у(х) а(х) йх=(у, й), а в котором интеграл слева называетсл скалярным произаедениелт функций Г(х) и д(х). Далее, нормои функции у(х) называется выражение ь ~ уч (х) йх, кото ое кратко записываетсл в виде [(у 1(. налогнчио вводятся понятия, связанные с кратными интегралами Лебега. Здесь важным оказывается тот гракт, что из стществованил двойного инте~рада ьа ~ ] у (х, у) ах г(у ас следует существование функции ~у(х, у) ау, принадлежащей ь' [а, Ь].
20.4. Последовательности и ряды ортогональных функций. Последовательность (Р (хП(т=й, 1, 2, ...), Р (х)~ ~ й' [а, Ь] называется ортогональной на (а, Ь), если (Рь, тг) =О для й ~~ й Если, кроме того, (( Ра (( = 1 длл любого й, то последовательность называстсл орта армированной или ортонормалькоа. Если у(х)~ ьа [а, Ь] и последовательность а (х) ортонормированнал, то числа аь=ф, ва) называются «оэффициентами Фурье функции у(х) относительно данной ортонормироваиной системы. Каждой функции у(х) С й' [а, Ь] соответствует ее ряд Фурье: Г'(х) а,а„(х) + агу, (х) + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
