Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В качестве и„ил,,.., и, могут служить коющество подаваемого в двигатель топлива, температ) ра и т. д. По смыслу этих параметров ясно, что опн удовлетворяют некоторым ограниченияи. Предполагается, что ф»нации,к»непрерывны по совокупности всех арг)ментов и непрерывно шсфференцнрусмы по совокул- НОСТИ «фаЗОВЬ1Х» КООРДИНат Х', Х'. мт".
Есзп задать (обычно кусочно-непрерывные, ограниченные с разрывами первого рода) функции и' П), пл (г),..., и" (г) со значениями из ((, то при заданных начальных условинх система (1.!2.1) имеет единственное решение. ЕО ГЛ. Г. НАРИАННОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ плгл Нарнду с системой (1.!2.1) рассматривается интегральный функционал гт у = 5 у' (х (г) и Н)) лг = ~ У' (х' (г), " , х" (г), и, (г),..., и, (г)) г(г, го го (!.12,2) где функция ро (х', .к',, х", а„иы ..., иг! непрерывно лифференцируема по говокупногтп всех аротментов п длл всех рассыатриваемых значений аргт ментов. В фазовом пространстве Х, образованноло векторатпо (х',Аз., .х"), даны две точки .к, и х,.
Среди всех допустимых т правлении и = — и (Г), переводящих точку из положения х, в полотггсппс .ко иапо найти такое, для которого функционал l ! а) =- ~ Р бе Й), и (г)) г(г !о принимает наименьшее возможное зпачсипе. Здесь х(Г) — решение снстсьпл (!.!2.1) с начальньыо Условием х (Го) = хо, соответствтющим управлению и Н), а Г, — молтепт прохождения этого решения через точку х,. Таким обрззом, Г, и г, не задаются, а нахолятся из условий х (г,) =- х„.к (Г, ) = хь Уггравлсние и (Г), дшощее решение этой залачн, называется оголямильиым улриалгяиг,я, а соответствующая траскторня— оялщлтльной глраекшоригй. Ваягный частный случай, когда уэ [х, и) = 1, соответствует залачам об оптимальном быстродействии. Если ввести ф) нкцшо х'(г) так, что г ! х о — =Уо(х, и), х'(Г ) =О, то получающаяся прп этом система дифференциальных )равнений г(хг — =у!(х, и) (1=-0, 1,..., и) г(г (!Н2.!') н функционал з'(и) =( у" (х, и) г(Г =х(г,) (1.!2.2') го позволяют формтлировать )казанную вьппс задачу, как задачу о розыскании управления и(Г), при котором решение системы (1.!2.1') прн )словцах х'(г,) =х! (1=1, 2, ..., л), х'(г,)=-О,дает наилгепьшее значение х' (Г,).
Вглшс было указано, что из физических соображений следует огпаниченногть параметров и', например, ! ио!но 1. Если имеет место случай строггн'о ясравспства, ', иг! ( 1, то сформу- >ил.21 ч ш. оптимлльнып пнмнпипы я — — (1=-0, 1,,) (1.12.З) =о имеет единственное решение ф (фм фо,.., ф„) при любых начальных условиях для фн С помощью полученных функций фг строится функция и ня" (ф,х, и) = ~ ', ф,„(ь (х, и). «=-О (1 12.4) Для оптимальности управления и(Г) п траектории хрЛ необходил1о существование такой непулевой непрерывной вектор-функции ф(г) = (ф, (г), ..., ф„(Г)), соответствующей функциям и (Г) и х(г), что прн любом г, г ~се~го функция оЯ (ф(г), х(г), и) перетяенного и (- (Г достигает в точке и = и (Г) максимума.
В конечный мол~сит т, ф,(Г,) ~0, ~ ф„(Г )Уь(Х(Г«), и (Г,)) =О. (1.125) «О кроме того, если ф(г), х (г), и (г) удовлетворяют сястемам (1.121) и (1.123), то функции ф,(г) и ~ ф«(г)у (х(г), и(г)) переменного «=о Г являются постоянными н в головни (!.125) тачку Г, можно заменять любой др>гой. Для оптимальных по быстродействию управления и (Г) н траектории х(Г) необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции ф (Г) = (ф, (т), ..., ф„(Г)), соответствующей функциям и (Г) и х (Г), что для всех С (г, -- Г: С,) функция г( (ф, х, и) =- ~ ф„у«(х, и) «=! лированная задача есть частный случай задачи Лагранжа, а следующий далее принцип максимума совпадает с необходимым >саовием минимума Вейерштрасса. Если же имеет место неравенство )иг ~1, важное в прикладных задачах, то >словие Вейерштрасса становится неприменимым, тогда кзк принцип максимума работает. Принпнп максимума и его приложения разработаны Л.
С. Понтряггнтыи и его тченпканп — В. Г. Ьолтянским, Р. В. Ганкрелидзе, Е. Ф. (Ынщспко и др. (1955 г. и позднее). Он имеет большое значение дзя решения проблем автоматического регулирования н ар. !.!2.2. Формулировка пригципа максимума. Если выбрано доп>стицос управление и (Г) н полученз фазовая траектория х (Г) с начальным условием х !Г„) = х„ то система ГЛ 1. ПАР(1АЦИОННОП ИСЧНСДБНИС (1.12.2 переменного и ц У достигает максимума в точке и = и(Г).
В конечный' момент Г, Н(ф (Г,), х(уз), пН,)) ~0. (1.12.6) Если величины' ф (Г), к (Г), и (Г) удовлетворяют системе г(лл дН «ф! «Н ((=1,2,..., и) и пьщолиепо условие максим> па, то функция Н(ф! (Г), х(Г), и (Г)) переменного Г постоянна и неравенство (1.12.6) можно проверять при любам лругом значении Г(Г,.=,Г --Г,). при м е р 1,!2.1, Рассмотри задачу об оотимазьаом быстрозе(!стезю ззя «ез. ураененпя —..=-и, а, 1. е сзуча, когда ~ои гым озокеаае с.>м из. пие ' чало коорднмаг. В этом просторе «хз — =хи — — =- и, и ' «у «й! «т „ ГЗ=0! я.)-ря — - =-О, — = — — -', р =Сь р =Се -С,З, «) ' гп и есть дияейная ф>шкива ог и, ее ааибозьшее значение дос~игается зибо прн а= — 1 зибо пра и .— 1, !гргггеч а=- — 1 когда з(0, и и=). когда азжо погза б гг) О). Йо это заачпг, что и(т)= мкп фа [с! = юдп(ся — сгп. Оптимазьпое управление найде !о, это нусочно-постов!паз ф>-книна с днумя интер.
аадзмп постоянсгеа, на которых а(г! принимает зазчення — 1 и +1. «хз если и=1, то — =им 1(ыо) п,те есть еозрастаюп(а» ф>ньпнз ог г. 21. «хз Так как —, хя, то хг= — +СС т, е. нусон фаэоноп траектории, соот«хз ' 2 астстзующий им 1, есть парабоза. «хз Аназогично, прн аш — 1, — =-и= — 1( О) и хх есть убынающая функ. «г «л'г (хь)з ш!я от Г, — „= — хз, хз — —, + Сз. т. е.
кусок фазоаой траектории, «хе 2 соотнетстя>юпзон упраззенинз и = — 1, также есть парабола. Оптимазьная траектории, есза она сушестнует, состоит нз кусков двух парабол, прииадзенгашис укаэанным семейсгеам парабоз, причем етораз нара. база должна проходить через начало координат. Можно оокззать, что найденные фззоаые траенторин дейстиигезьно яа. зяютсн оптимазьнымш 1.12.3. Принцип максимума и вариациоииое исчисление.
Из принципа мансимумз могут быть получены все необходимые условил зкстрем) ма: уравнения Эйлера — Лагранжа, условие Лежандра, условия Всйерппрасса, правило множителей для задачи Лагранжа. Ниже дается краткий вывод условия Вейерп>трасса дая функционала, зависящего от песка.тькнх неизвестных функций у = — ) !"' (х', х', ..., х", и„..., и„) «г, гз «хз Пг =— «г !.Н.з! й !2 ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ Для этой зада и! яут (ф, х, и) =- ф,лг' (х, и) + ~Л~ ф;нн 1.= ! л олт' (ат х, з) — ";т" (ф, х, х') — ~~ ( . — х ') — '- (ь, х, л") .— ди. 1= — ! ! л „ув (л, г) —. ф,уэ (л, л') + ~Л ~фт (г; — ха)— — ~" (ат — ХН) (бэу,'.1 + йг) = ба!" (Х, Л)— 1=-! л -- фту'(х, х') — ф, ~ (а; —.г') у",.1 =-ф„й(т, ", ), где.Е(х, х', е) — функция Всйерштрасга.
если фуокцня .Я досгигаст максимума ари н=-х', являющихся внутреннилн! та !кани (у, то в этих !очках дРЯ ди; и, учитывая, по ф„(0, из неравенства оуг' (ф, л, л) — оЯ" (ф, х, х') = ф„Е (х, х', а) -- О след! ет, по вдоль оятнмальной траектории Е(х, х', л) ~ О. Это н ес!ь условие Всйерштрасса. Аналогично нол) чается условие Вейерштрасса для ф! нкциочала, завнсяще1о явно ат независимой перст!синай и нескольких неизвестных функций, а также в задачах Лагранжа, Майера, Богьца. Из дакного вывода следует, что когда множество допустимьш значений управляющих функций открыто, то принцип максимтма савгшдает с иеобходйь!ы(! условием Вейерштрасса.
Если же оцтимальное управление цонадаст ил грзшшу обласп! (ч та там, нааб!це !оворя, иронзводиые — в нуль нс обраша!отея н в дя,'т дит л разлажен!и! РД" (ф!, х, и+ Ьи) =оЯ (ф, х, и)+ т — — Ьн;+ дкг 1=! + члены второго н выше порядков относительна Ьн вблизи указанной точки ниеются члены первого иорядка малости относительно Ьи. В этом случае неотрицатсльнасть функцли Вейерштрасса, имеющей второй порядок малости, иерсстае! быть 84 гл. !. Бдрндционнок исчнслкнив П.12.4 НЕабХОДИМЫМ !СЛОВИЕМ МаКСиМаЛЬНОСП( фУННЦин огу'" — )СЛОВПЕ Вейерштрасса, вообще говоря,не выполняется, тогдз как принцип максимума остается верным.
Нзж жение, дашше выше, следует главе ! книги По~гтрягива, Болтянского, Гаинрелидзе, Мищенко (1!. Се. также Гельфанд н Фокин 11!. !.(2.4. Принцип оптимальности Веллмаиа (динамическое программирование). Пусть рассматривается фнзическан система Л, состояние ноторой ь любой момент времени определяется вектором р; компоненты зтого вектора называют фазовыми пгрежеинылш. Обычно р — конечномерный вектор. Кроме того, пусть пчестся семейство преобразований (г (р, г))), где векторная переменная д играет роль параметра и называется решением. В общем с,т)чзе д есть функция р. Выбор решения 4 изменяет состояние физической системы 5, а именно, изменяется определяющий ее вектор р, переходящяй в рй р = т(р, а). Процесс, состоящий из выбора )(с решений, называется )(1-шаголыш процессом. Свяжсм с ним скалярную фьнииню г (Р( Рш '" Рл 41 Чз " рл) П р н и е р 1.!2.2.
Функции крятерня; л(р„д ), р =Т(р. „ Л-1 У =- 2, 3, ..., М. Бели принять решение дг. то рг переловит е Т(рс, ш), з (У шагояыа процесс — в (Л( — 1)-шагоаыа. Мзксиивльиое знаяеии. критерия от остазсиияся (Лг — 1(-шагов с помощью которой оценивается ноикретная последовзтсльность Решений ди Рм ..., д . и состоаний Рр Рш ..., Рлс, ЭтУ фП!кц!по называ(от критерием или функ!(ией доходи. Ставится задача выбрагь рн так, чтобы максимизировать зги функции р( и дь Последоватеаьность лоп! стим ых решений (й(, яя, ..., Чч) называют политиков (стратегией).
Политика, доставляющая макскмальное значение функции критерия, называется оптимальной, Предпололгим, что после й шагов принятия решений вдияние оставшихся ((г — й шагов процесса на функцию критерия зависит только от состоиння системы в ко!ще й-го решения и от послсдУющих Решений )г, н 4, ..., йдя Имеет место: Принцип оптимальности. Оптимальнзя политика обладает тем свойством, что, каковы бы ни были начальное состояние и начальное решение, последующие решения должны составлять оптимальную политику относительно состоянкя, являющегося результатом применен!)я первого решения.
!.гд.б1 !д ОПТИМАЛЪНЫЕ ПРИНЦИПЫ будет У, гтгр, д и. Таща, при некатеран д, ух(р1) -л(рг'г)+ у ['(р 'г)] Скедевктеььна, дт выбнраетек так, чти 1,(рг) = ювк [к (рг, дг) ьг(Х , [ г(рт, д,)[]. 1.12.б. Вариациоиное исчисление н принцип оптимальности Беллмана. Задача минимнзапии функционала У (у) = ~ Р (х, у, у') г<х, у (а) = с (1.12.7) а сводится к рассмотрению минимального значения функционала в качестве фуннини начального значения переменной а я заданного значения г: т"(а, е) —.—.ш<пк'(у) ( — со-..а.сб, — оо -,с -.ж). (1.!2П) При любом Л 1=[+1 и из принципа оптимзльности следует уа ьь г(. )= '[1 ксптт> ьт( ьк ть[.
ппи У т Здесь у=-у(х), а~х~а+ь), у(а) =с, с<у) =у(а+д). Боот- ношение (1.12.9) получается из следующих соображений; при любом выборе Ь наименьшее значение суммы аьсь ь с'(х, у, у') т<х + ) Р'(х, у, у') бх а а+Ь будет получено, если минимизировано второе слагаемое, после чего подученная сумма миннмизируется по всем у, определенным на отрезке [а, а+А]. При малых д а 1 Р (х, у, у ) г<х = р'(а, с, у' (а)) Л -]- о (Ь), а с (у) = а + у' (а) д + о <Ь) и при обозначении у'(а) = о д <а, с) = шш ((т (а, с, о) Л -[-р'(а -]-Ь, с-]-ол)] -(-о (д), 86 !Рн !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
