Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В'. Вели на Е имеет место неравенство 58 Гл. 1. ВАРНА)1ион)тое исчисление !!.)Э.1 Э 1 О. Вариационные задачи с частными производными 1ПО.!. Первое необходимое условие. Уравнение Эйлера— Остроградского. Рассматривается интеграл )" (и)=(~ Р(х, у, и, и„, и )г(хду, (!.10.1) 1) где Р(х, у, и, р, д] дважды непрерывно дифферснцируемз по совокупности своих аргументов для щобых конечных р, д, когдз точка (х, у, и) прннаятежнт заданной пространственной области О. В этой области ГУ дана некоторая непрерывная замкнутая пространственная линия 1., различным точкам которой соответствуют различные проекции на плоскость х, у.
Проекция этой зинин нэ плоскость х, у есть кусочно-гладкая линия 1, ограничивающая обтасть (У. Требуется найти функпию и(х, у), непрерывную вместе со своими частными производными первого порядка в области )',), имеющую заданпыс значения на контуре в этой области и дающую экстремум этому функционалу. Если функция и = и (х, у) доставляет экщремум функционалу (!.10.1), то из варьирования этого функционала на семействе ф)нкцнй сравнения П=и(х, у)+»я(х, у), «(х, у) >)=0, следует Зу= (((у»П+р„„т +р„~т )дхду, и В прсдположенни, что и (х, у) имеет непрерывные производные второго порядка, применение к (1.!0.2) формулы !'рина — Острогрзлского дает ЗУ = !' З и (Р„„ду — Р» «и ), + ~ ~ ~)~» ) Е»» д р»у, Ви их ду, (1.!03) д д где Зи = а«(х, у), а 1 — конт)р области (), Из условия «(х, у) ! ) =0 и (1.!03) вытекает первое яеобходимог условие: $ ~ 㻠— 㻠— Р» ) ли )ух гуу = 0 (1,10,4) д д дх ".
и и, наконец, уравнение Эйлера — Остроградского р» — — р» — — р„= О, д д дх "л ду "У (1.10.5) которому должна удовлетворять функция и = и (х, у), доставляющая экстремум функционалу (1.10.1). !.ю.т! й ю. зйдйчи с чйстными производными 59 Имя Остроградского присвоено последнему уравнению в свя- зи с его важным мемуаром 1834 ге посвященным вариационному исчислению кратных интегралов, и р и и е р 1 16.1.
Лан функционал 1интеграа дирих.>е! )" )'(па+ а',,) дх ду. О Уравнением Эйлера-Остроградского ллн нега ивлев«си и .+ „з — т. е. ураемехие .там»пса. По поводу возможиосо! построения функций сравнения дая рассмотренной вариапионной задачи см йтиезер 11!. Дополнения, За, Обман постановка вариационной задачи лля и-кратвого интеграла сатер- жится у .1авреитьева и Лыс«ерника 111, а так>хе у Гельфанла и Фомина !и 1.102. Инвариантность уравнения Эйлера-Остроград- ского. Если в !рункционале ))Е(х, р, и, пх, п)с(хс(у О произвести замену переменных х = х (с, «), у=у(с, «), где написанные функции имеют непрерывные чзстные производные и д(х, у) ~0, то зкстремали преобразованного функционала полуд(1, «) чаются из экстремален данного ф) нкционала посредством указанной замены переменных.
Можно одновременно преобразовывать функцию и независимые переменные н при зтом уравнение Эйлера †Остроградско данного функционала оказываетси равносильным уравнению Эйлера †Остроградско полученного функционала. П р и м е р 1.1ад. Коли х р соз 8. >' = р оп 8, то др да 1 др да 1 — сова, — = — — ып8, — = ып 8, — — сова д» ' дх р ' дт 'дУ Р и ( ((>л',. + п;",) дх ду О -~ ~ ~(>~р — „",+и, — д"„) ф(ард' — '+>са',-„) ~ рдрда- О ~ ~ (Ура + — п$) Лзяр. О! Урзвиеипе Эйлера-Острогралского хзя падследнего функциоиала есть ие что иное, как уравнение Лапласа в полярных аоординатат ! ь +та +-п„=а. р Рр р 1.10.3. Второе необходимое условие для зкстремума двойного интеграла (аналог условия Лежандра).
Лля того чтобы функция и(х, у) доставляла хотя бы слабый экстремум функцйонаау -1(п) = Я~ Р'(х у, и, паа и )сух с(у, 60 ГЛ. 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Н лам и",(х*, у*, «)] дхв дуе (1.106) при «=0 дает исходный функционал, Последнее выражение можно преобразовать посредством замены переменной в «'(«) = Ц У[Х, У, и*(Х, 1; «), ие,(Х, У, «), и", (Х, 1; «)] Х Х ' дх ду, (1,10,9) д(Х, У) д(х, у) гле интеграл рзспространеи по неизменной (исходной) области 1), Положив «)) (дивт,„(Х, У, а)) Ьх=~ — ) «, ~ил=~ необходимо выполнение нерзвенства г' г" — г'е эО в кажлой внутренней точке области 1). При атом лля минимума иеобхолимо еще выполнение неравенства грр~ О, а лля максиди ди мума ГрреаО.
Злесь использованы обозначения р= —, 9= —. дх ' ду' Доказательство см, Аквевер 11!. 1.10.4. Вариация функционала с переменной областью интегрирования. В п. 1.10.1 взрьнровалась лишь функция и (х, у), область же интегрирования оставалась неизменной. Пусть лано взаимно однозначное и непрерывно дифферен- цируемое преобразование: х«=Х(х, у, «), у«= 1'(х, у, «), (110,6) содержащее параметр * тзк, что хе =Х(х, у, 0) =х, у*= = У(х, у, 0) =у.
Отсюда следует, что якобиан ' =ГО и д(Х, У) д(х, у) для малых «имеет значение, сколь угодно близкое к единице. Преобразование (1.10.6) переводит область Р в некоторую область (к™ и новая функция сравнения имеет внд ив=ив(х*, у*, «), (1.10.7) или, в ясходных переменных, и" =(7(х, у, а), ие(Х, У, «)=()(х, у, «). Рассмотрим- функционал (1.!0.1). Пусть исходная функция есть и = и (х, у) (х, ур 0).
Будем полагать, что поверхность и = = и(х, у) содержится в однопараметрическом семействе поверх- ностей (1.10.6), (1.10.7) при значении параметра «=О. Функционал «'= ~ ~ г" [х*, у'", и*(х", у*, «), и„*,(х*, уе, «), пе !.!а.ы ь ю. злдлчн с члстнымн-производнымн 01 получаем иском?'ю вариацию в виде ЬУ= Ц [ахах+ Руьу+ Р«ЬИ+ гюнхьих+ + Г«ьиу+ Р(вх)х+ Г'(Ьу)у[ ихду.
(!.10.10) — /дие (х, у, а)1 Обозначая через Ьи= ! ' ' ~ «(х и у неизменны, д«)а=о изменяется лишь «), получим Ьи =Ьи+ иль»+ иуьу, Ьих= (Ги) . + ихнах+ их Ьу, Ьи„=(ГИ)у + и Ьх+ и Ьу, после чего (1.!0.10) принимает вид или, применив формулу Грина — Остроградского, ЬУ= ~ ~ ((Рн — — Р— — Р' )Ги ихду+ г! д д и дд мх ду ну) о + !ń— +Ен — )~вида+ Е (Ьх — +Ьу.— !Иа.
(1.10д1) ') ~ " ди ггрдгг) дп дгг) Формулы (1.10.3) н (1.10.4) являются частными случаями последней формулы. Если и = и (х, у) — экстремаль, то первый член формулы (1.10.11) исчезает и вариация Ьл принимает вид — тт,н) Е Г( ГЕ гаги) (1.10.12) Приведеиныа вывге вывод садержитса в иниге Куравта-Гильберта РЬ т. !.
Геометрический вывод формулы 1!.!О.!й и следствиа ии нее дан у гюнтера 01. Вывод формулы дле вариации и-вратного интеграла см, у Гельфанда и Фомина 111, 1.10.5. Инварнантиые вариациоиные задачи. Теорема Э. Нетер. Рассматривается преобразование х" = Хв (х, у, и, «), ) уе =?""(х, у, и, а), ив=(ув(х, у, и, «), (!.!0. Гд) ьу= ~ ~ ((Р— — г — — р'„~ьи+(Е„ГИ) + д д «у ) и» о' + (дарьи)„+ (ГЬх)„+ (Гоу)„~ дх ду б2 ГЛ.
1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ !!.сэ.б зависящее от параметра «. Каждой поверхности и = и (х, у) пр еобразование ( 1 . 1 О. 1 3 ) относит семейство поверхностей, зависящее от «, х* = Хе [х, у, сс (х, у), а] = Х (х, у, а), уе = Р* [х, у, сс (х, у), а] = Р (х, у, а), и*= (/" [х, у, и (х, у), «] = (/(х, у, а). Прелполагается, что ха=Х(х, у, 0)=х, у*= Р(х, у, 0)=у, иа = (/(х, у, О) = и.
Пусть прн преобразовании (1.1О.!3) /' = г]] Р (х', у", и", и„"ы и*,„) с(хв луе = ]] Р с(х ду (1.! 0.14) (в этом заключается инвариантность вариационной задачи), тогда (1.10.15) Из (1.!0.15) и (1.10.П ) в силу произвольности // следует, что д д ' — д Р— — Р— — Г ! ли+ — (Р ли+ Рах) + дх "" ду пу/ дх + — (Г, Ви+ Гау) =О. (1.!0.18) д Здесь лх=( — ) а=~ — ~ а, ву=( — ~ «=Я а, Ли — [ — ] — ((/„" + (/„" и„) оех — ((/у + (/„' и ) еву.
/д(/) Вывод соотношения (1.10.18) из свойства инвариантности вариационной задачи и сошавляет содержание теоремы Э. Нйтер (1918 г./ Прввеленныа адель вывод теоремы Натер садержнтса в книге КурантаГвльберта 11!. Вовсе обснва рассмотренна н приложения см. Гельфаад н фомнн !11. См. такнсе Полак !11. 1.1Об. Разрывмам задача первого рода. Рассматривается функционал /( ) = Ц Р(х, У, и, „иу) дх дУ. (! 10 !Т) П Требуется найти функцию и, принимающую на контуре ( области (/ данные значения и доставляющую экстремум функционалу (1.10.17), причем частные производные искомой функции могут иметь разрывы на некоторой линии АВ, делящей область Р на две подобласти, /лс и (/а.
!Ааи] ь ю. зддячи с чдстыыми производными 68 Ьи =р эх+и ау+ли, Ьи,=р„.эх+а,зу+Ьи,. (1.1018) Поскольку на АВ функция и(х, у) непрерывна, то Ьи Ьи,. )(злее, обозначая через дз элемент дуги АВ, Ьп — длину норма.чи к ЛВ между АВ и А,Вь и„=р, и,=-ф и учитывая, что — =соаФу, ду дп дх ди — = соа (тх, подучим из (1.10.12) выражения для вариации функционала (1.
1О. 17] (др дГ ьу(и) = ~ ~(à — Гы) ьп+ — сов)(гх+ — сев Агу ьи (др дг) /' Ан (дГ др — ~ — соз Мх+ — соз !т'у~ Ьи,4! дз, (,др, дг(„ (1.10.19) которое в случае экстремума должно быль равным нулю: Ьу(и) =0. (1.10.20) Используя (1.10.18), получим Ьи = ли — (р сов Фх+ г) сов Фу) Ьп, Ьие= ам, — (Р сов Жх+ г(„соа(тгУ) Ьп, и (1.10.20) принимает вид 1(- ('др дР ~(Р' — Г,) — ( — соа )]гх + — соз тЬгу1(р сов дгх+ 7 соа Агу) (- (др дг) (дГ др + ~ — соз (тгх+ — оси (тгу] (р сов дгх+ г) сгм)(гу)) Ьп+ + ~Я вЂ” Омйгх+ — сов Агу)— (дГ др — ~ — созЖх+ — созФу)~ Ьи ~да=0 (1,10,21) ~др, ддь Ввиду произвольности Ьп и Ьи из (1.10.21) следует, что подынтегральные вырзжения в (1.10.21) равны нулю.
функция, доставляющая экстремум функцяоналу (1.!0.17) в каждой из областей П, и Е)„удовветворяет уравнению Эйлера — Остроградского. Если и — функция сравнения с частными производными, имеющими разрыв на линии Л'В', го, обозначая через у и уэ значения функции, определенной в области с] соответственйо для левой и правой подобласти, будем иметь на лиани АВ (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
