Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Теорема Э. Нбтер. Пусть дано семейство обратимых преобразований, зависящее от параметра а: х =ЕО[х,у уа," у,"), (1.7.13) где функцпи Е, и 71 лифференцируемы, причем значению а а й соответствует толтдествспное преобразование еи(х, уо ум ...,у„, 0) =х, „(х, у, уа ", уйо б) = ус. Функционал ь Е (У) = ~ Г(х,УоУН ...,Уса У,', У', ...,У'„) ак, а рассматриваемый на линии Е: у;=у; (х) (1 =1, 2, ..., и), называется пнаорпатпкыж относительно преобразования хв = =7,(х,уоу„...,у„,а,), ув=рг(х,уоую...,у„,а,), переводящего линию Е в линию Еч: у,": =у,".
(хв), если ь й' ПУ '! Р ~х,уо ...,ура —, ..., — ", тх = ' бх' ' Ых) а буа 1(увт = ~ Р(ха,уч,." у* — ' лг.га/ а' Каждому преобразованию (1.7.16), оставляющему рассматриваемый интеграл инвариантным, соответствует некоторый первый интеграл канонической системы уравнений Эйлера — Лагранжа (теорема Э. Натер). 44 ГЛ. !. ВАРИАПИОННОС ИСЧИСЛЕНИЕ 11.7.4 П р и м ар 1.7.Л. Если в функционале Ь ) р(х, у, у'!ах о Р не зависит от х, то функционал иивариантен относительно преобразовании х'=»4 и 1 =!с Следовательно, долмеи существовать первыб интеграл каноническое систе- мы, соотаюствующиа указанному преобразованию. Этим первым интегралом кнлаегся 11 сам! !ср.
!!.1.131). Па поводу теорем Э, Нетер см, Курант в Гильберт !11, т,1,Гельфанд нфомин!11,«такнщвкниге Полака 111, 1.7.4. Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби. 1(зионическаи система (1.7.7) ивляетсн системой уравнений Эйлера — Лагранжа лли функционала л'= ~ ~ ~ рьр; — ))(х у "° уыр, р " р„) дх, (17.!7) хг 1=! если уи р; рассматривать как неизвестные функции, Так как и хз бУ= — О их+ ~ рт дуг (1.7.!8) 1=1 л! то при фиксированном л „ опуская иплекс 2, бл' = — )т д.г, ~ Рг дУ1 (! .7.19) с =-! откуда дл' дх = — Н(х,у! р) (1пы1, 2,..., и). (1.7.20) дл' д дуг Путем исключения рт в (1.7,20) иолучаетси уравнение в частных произволных первого порядка, называемое уравнением Гад!ильи!она — Якоби: дУ ( дУ дУ дУ 1 дх ( ' " "' "'' и дУ!' дУа' ' дУл! — +У)(х У,У, ...,У,— —, ..., — 1=0.
(1дый) Полнылс инвчегралон уравнения в частных произволных первого порядка иазывветси его рещение, содержащее столько произвольных постоянных, каково число неззвисимых переменных. Дли уравнении Гамилыона — Якоби, учипииаи то, что оно не содержит неизвестной функции (а содержит только ее частные производные), полный интеграл можно взять в виде )г = У(х, Уи Ую, .., У„, ао а„..., а„) + а, (1.7,22) где а, аи ию,, и„— произвольные постоянные. $7. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 4б 1.7.61 Предполагается, что (с непрерывно диффе ре нц и ру ем а п о дК д(с параметрам ас и каждая частная производная —, (1=1,2ь..
дас ' оус ..., л) непрерывно дифференцируема по всем аргументам. При дополнительном предположении о том, что определитель (!.7Г23) где ал, Ьл (А=!, 2, ..., л) — произвольные постоянные, дают решение канонической снстеыы (1.7,7), зависящее от 2л произвольных нос!аниных. П р и м е р 1.7,3. Найти вкстремали функг!поняла Гамильтониан Н вЂ” 1'хе + У- "— РЯ; следовате.тыш.
уравнение Гамильтома — Якоби имеет вид ех У (ау) или ( — ) +(д-) =хя+уе. (1 7.76! Решесгие можно искать в виде 1 / = — (Ахт .!. 2вху + Сутс, 2 П.7.26! Подстановка регпения ((тйо( в уравнение П.7лв! дает АЯ+Вт=1, В(А+С!=а. ВЯ+Са 1, Палаша А — С еш В В = — соя а.
получим решение уравнения (1.7.261, в виде 1 С вЂ” (х" «!» Р— зху соя Р— уе ясп Н. 2 Обшил интеграл уравнения Валера — Лагранж» в силу теоремы Яноби ду 1 — =сопя(= — а или хесоеп+2хуе!пб — ут соя у а, де 2 По поводу приведенной выше теории см, Гантматер !11, а также Унтте.
кер Нр !.7.6. Канонические преобразования. Если преобразования )'с= ))(х, Ус, Уш сы Уш Рс Рт " Рп), ()=1,2, ..., л) Рс=Рс(х'Ус Уш " Ум Ро Ря," Рм) ) (1,7.27) иь!еет мес~о тгорелса Якоби: Если нзвестен полный интеграл у уравнения Гамильтона— Якоби, то равенства аа дК даа (1.7?4) 46 ГЛ. !. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1!.ал преобразуют каноническую систеьгу (1.7.7) в каноническую систему дУ! дН дР; дН вЂ” — — — — (1=1, 2, ..., п) дх дР,' дх д)! с новым гамильтонианом Й= Й(х, Уп У„..., У„, Ра Рп ..., Р„), то преобразование (1В.27) называется кононичегки.к.
Уравнения (1.7.23) являются уравнениями Эйлера — Лагранжа для функпионала ~ — Йдх+ тг',Р; дУР хт г=\ Вариацпанная задача для функционала (1.7.29) эквивалентна вариационной задаче для функпионала х, я ') — Нд.г+ ~~ р; ду! лт ф 8. Некоторые сведения из теории поля эистремале)1 !.8.!. Геодезическое расстояние и его производные.
Значение интеграла 1гп У (у) = ~ Р (х, у, у') дх, !А1 (1.32) где у= (у, (х), ..., уп (х)), у'=-(у, '(х), ..., у„'(х)), взятого вдоль линии; от то !ки А до тачки В, называют У-длиной лиЕсли 7 — экстремаль, то У(у) пазываюг геодезичегкилг расстоянием между точками А и В, или же У-расстоянием, а саму экстремаль У-прямой. тогда и талька тогда, когда палынтегральные выражения этих функционалов отличаются на полный дифференциал некоторой функции я И л,' р; ду! — Н дх = ~ Р! дУ! — Йдх+ г=! + дФ (х, уо ..., у„рп ..., р„), Ид.зо) В этом случае функция Ф (х, уа .,., у„, ра ..., р„) называется производящей Функ!(ией данного канонического преобразования.
Из (1.7.30) следует, что дФ дФ - дФ р;= —, Р;= — —, Н=Н+ . (1.7,31) !АА! й 8. свклбиия из тнории поля экстремйлки 47 Если тачка А фиксирована, то длл изриации функционала (1.8.1) имеет место формула (1.7Л9), а длл производных геодезического расстояния формулы (1.7.20). Из (1.7,21) следует, что геодезическое расстояние, атсчитыиаемое от точки А, как фуннцил каорлипат переменной точки В, удовлетворяет уравнению 1амнтьтона — Якоби. Если в (и + 1)-мерном пространстве дана гнперповерхность В й(х у, у„... у)=0 то геодезическим расе!покинем пщчкн В, лежащей вне 8, до этой поверхности, назына!От геодезическое расстояние точкк В до точки А, принадлежащей 5, такое, !та ф) нкцианал (1.8.1) принимает стационарное значение (бл'=О).
Это значит, что функционал (1.8.1) иьщпс»нстсл вдоль экстрема»н 7, соединлющей точки В и А, причем ( пересекает поверхность Л н точке А трвнсвсрса»ьно. Геодезическое расс»оникс, отсчитываемое от поиерхиости Л, также !дон»етиорнст уравнению Гамильтона — Якоби, а произио ц!ые геодезического рагстолннл от поверхности 8 также находнтсл по форм)лам (1 7.20). П р им ер 1.8.1 (сг.
прим р !,бел). Пусть геодезическая длина и геоде. зическое рвсстоииие апредслкютсв с помощью функционала у(у) = (улучим. геодезическое рвссталние ат тачки А (О. О) до точи,! В (1, 1) есть значение »энного функционала пв вкстремзли, соеди !зющей эти зачин. Такой вкст. рема, ью является параболе уй = х, И такам случае 2уу' = 1, уу' =1(2. узу'г 1!4 и геодезическое рвсстаеоие между тонкими А и В 1 у(А. В) ) — Ех г 1 )1 4' о Пример ).бд паквзывзет. по геодезическое расставнио начала коарди- 1 наг ат рвмой " =- †, (3 — .е) не апределнетсз однозначно и, следовательно, ие ! =- существует. Оливка сели рлссматреть отрезок этой прямой, нзпрпмср, — 2 х 2. то геодезическое расстозние ат ивчвлз координат до двиной ирз ав равно — 4.
П р и м с р 1 8.2. Найти уравнении ~содезнчеснид окружносген — линий, тачки катар*ы ната»итси вв одинаковом геодезическом расстонаии от заданной точки, рваном Га г!усть этой точкой ив»летел начала «оардвнвг 10, О), а геадезнчеснае рас. станине измериет з посрелством минимзльвога значении функционала ) узу'щх от ивчв.ы координат до рзссизтрннвемой тачки. Эксгремали фуакционилв перосеквют геодезическую пкружность трвнсвер.
у свлыю, Дтз энстремвзен ичееч ус=2рх, !(!'=р и. слндонзтел но. у'=,—. 2х' из условия грвпсверсвзьности узу'(2уе — у') О нытгкзег, чта угловой коэф. фициент касательной к геалезическол окружности ую = )Е(2 и, значит, днффе. ренцигыьнае уравнение гсал зической окружности есть у' = †, откуда уравне>' 4х' ние геодезической окружиоспг есть ус — Сг. Длз отьпквниз вьдичины С заметим. что нз геодезической окружности у' = Ск лежит точка !СЗ, Си уравнение 48 ГЛ. 1.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 11.а.з 1 геодезического радиус», проходящего через ету итаку, есть уз= — х. Отсюда С Сз С (уу')з Ех — П. 4 о 1 УУ' лС' Следоеателыю. С=ай и геодезические окрущность радиуса и с центром н на.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
