Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 7
Текст из файла (страница 7)
14.3. Случаи понижения порядка уравнения Эйлера— Пуассона. а) Есаи Р не зависит от у, Рт = О, то уравнение Эйлера — П>ассака принимает вид ««и «л — — Ру+ — Р-+...+ ( — !).— Р ш,=о, «х у' «хл «х~ откуда, после интегрирования, получим а' «л-! Р— — Р-+...+( — 1)»- =Р!.,=С. «х «хл ' к б) Если Р не зависит от х, то, считая х функцией от у, можно привести рассматриваемый функционал к виду у! ~ Ф (у, х', х', ..., х'л') ну Уе и тогда (см. случай а)) ггл ! Ф "+" +( — 1)л ' = Ф !л) =С.
х г х" «у -! х 1.4.4. Сведение рассматриваемой задачи к задаче на условный зкстремум. Дальнейшие необходимые условия. Если в (!.4Л) положить У =гг, У =с!=ге У =ге=с,,ул'=(гл,)'=гл, то задача, сформулированная з п. 1сй1, примет следующий вид. Изйти условия, которым удоваетзоряет вектор-функция (у, гн г„..., гл,) доставляющая минимум функционалу л ~ Р (х! Р г1 гл л ! ел 1) «х х! 28 ГЛ. !. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 11,4,О при дифференциальных условиях У'=хэ а! =аз, ..., хн в=а„, и граничных условиях у(х,) = Аы а, (х,) =- Ао ..., х„, (л,) = А„ы У(хя) з Во дэ (.тз) = Вг " лн-г (хв) =Вн-ы Так сформулированная задача есть задача Лагранжа на условный зкстремум (см.
Э !1; таи же сэ|, дальнейшие необходимые условна зкстремума). 1.4.5. Условии траисверсальности. Залача о минимизации функционала — В(т у у у~и) хт лг когда за класс линий сравнения принимаются линии, концы которых удовтетворлют соотношениям о(х„у„у,',..., У(" ') =О, ф(хы уз, у.',.„, У.„(" ') О, сводится к общей вариационной задаче на усдовный зкстремтм, й)оя(но, однако, решить ее по схеме, примененной в п.
1,3.7, чго кратко показано в слелующеи примере. П р н м е р (Л,(. Вывестн условии трансвврсвльности дли фуннцнонала хз .Г = ( Л (х, У, У', Уь) дх О .4.б) хг при условиях (1.4.7) Пусть функция у= э(х) доставляет решеняе постэвленнои звтвчи; тогда онв удовлетворяет уравнению Эйлера — Пуяссопз.
Если ее включить в семейство экстремвлей, однознзчна опрелеляе ыт величнивип хг, уг, у', хз уз. у' э, то на этом семействе данныи функционал преврвшвется в функцию переменныл хь уь уп хэ, у, у;, в взривцня функплонзлв — в дифферемциал последней т' функлниг яд= (( Л вЂ” у' Ру — — Л л ) — у ли .1д. + -1.
(Л,— — Л „,) дУ+ Л л ду ~ . (1 4 8) д. У",) Ул' ! Ш' Первонвчвльнзв зэдячв принимает следуюшкй вид, Найти минимум (максимум) функции у у(л, у . у', х . у , у„') при условнвз (1.4.7), Соглесно правилу множителей Лагранже суюествугот такие постоянные !т и )... что дтз любыз знв егшй дифференциалов дхг, дуь ду', 3 дх,, дую ду д(У+! Э(х, Уд У')+1 Р(х У У')(=О. (1.4,О) р (хг, уг.
у;) О, —.ФО дэ ду', Ф(хж уз, у') О, др —,~О. ду' !.5.21 5 5. ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 29 Ив (1.4.81 м 11.4.2) следуют условия трапсвсрсальпостп рх! туг ,С и ') м ! л Пх 1,1 > (21 -" с!* -К (2) Яум )(2) ф!ы фг ' я )гк яснзяссгпыя вслпчппы к Услсвмя 11.4.7) и (1.4 (О) позволяют ва! !' у, !',. опрсдсдяющпс концы цска оп ьксгрсмяд~. В с.учяс, погдя фупкцпоппл (1.4.5) расс. ягрмпасгся на мцпжссгяс ппвяа, со дцпяюпыг дв данные гочкп .4 (к, 1г) и П (хг.
гя), ддк опрсдслявпя носы( яг!пыг в обп(см рсшспця у(аявсппя Эплпра — П) кссояп служат услов х г(хи= !. У(я1=Ус, Ес,' .=О, Е, ° ' О, 1 .!я'1 к Об гол в г тра спор.вльпостп в рвссмагр вас» ! задачах см.!'юнгер(1), Лаяревгьгп и Люсгсрвкп (1(. В 5. Вариациоииые задачи в параметрической форме 1.5.1. Параметрическое задание линий. Во мною!х зздачах болыпие удобства, и иногда и единственную возможность рас- сцотрения иредстввзнет параметрическое задание ливий. !(ри этом след)ст иметь в виду, что каждан линия допускает бесчис- ленное множество паравстрическпх представлений.
П р я м с р 1.5.\. Ураввсппя яялпцсп х - пгояс, !'=Ек!пс ( — г Г (!.5.1) Этот жс оыппс можсс быть ввлпн уравпспяямв а (1 — ся) 2аы х,, у — (- сс < х щ+ со). (1 5 2) 1+ гс 1, хд уравцсвпв (1.5 2) получя~атс» яз (1.5.1) посрслсгвом прсобрязовяппя Г = 2 агс(х к, усгяоявлмвяющсго взяпмво олпозпячп)ю связь пожду к и Г. Кроме гого, бляго- дпря мопогопносгп возрвсгяц ы функции 1=-2 агс(л к пря возрясгапяп обоих па! амсгрсв лпппя протопятся в олма я том жс паправяевпп, Ниже рассматриваютсн линни, задвваеыые уравнениями х=т(С), У=г!С(С), С,~С~(я, где т(с), ( (с) — нспрерывныс Функции с кусочно-непрерывными производными, не обращающимися в нуль одновременно: р'я П) + +о(ы(С)-„бо. Прн этоы С возрастает, когда точка (х, у) пробегает линию в заданном направлении.
((рн переходе от парпыстризации (1.5 3) к другой параыет- рнзации посредством преобразования С = у (с) будем считать, что у(т) обладает непрерывной производной, причем у'(т) ) о. Тогда, при возрастании параметра, в любой нарамстризации точка (х, у) пробегает линии в одном и том жс направлении. 1 5.2. Функционалы от линий.
Сильные и слабые окрест- ности. Пусть дан Функционал У =~ Р(С, х, у, л, у) г(С = ~ Р'(С, л, у,.к, у) г(С, (1,5,4) 80 1Л !. НАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 11.в,а Здесь йх ' йу х= — р= —. игс =йг Для того чтобы функционал (!.5А) зависел от линии, а не от ее параметрнзации, подынтеградьная функция не лолжна зависеть от параметра явным образои н должна быть положительно однородной первой степени по второй паре арг)ментов: Г(х,у, йх, йу)в ЛГ(х;у,х,р), й)0.
(!.5.5) Лифферснцнруя (1.5.5) по й н полаган затем А = 1, получим Г. (х, у, д, Р) Х+ Р. (х, у, х, Р) Р = Г (х, у, х, Ф). (1.5.6) )(нфференцнр) я (1,5.6) по х н по у, получим хГ.. -(-уР.. =О, «Г.. +уР.. =О, (1.5.7) хх ау ху уу что дает Г.. Р . — ху х" ' (1.5.8) откуда Г., =ЛЯГ„Г.. = — хРГо Г.. = х'Го (!.5.9) «х ха' э'.1 гле Г,— общее значение отношений (1,5.8). О своастваы нотарым должна удовлетворять нодынтегральнан функнн» в цд.а).
см. Акнеаер !11, Блнсс !1!. Сильной е-окрестняостью линии (, называется множество линий т таких, что между всеми точкаыи та и ) можно установить взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие тас, чтобы расстояние между соответствующими точками не превосходило а, Слабой е-окреетнноеглью ликии тя называется множество линий т'таких, что между всеми точками та и т можно установить взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие так, чтобы расстояние между соответствующими точками и угол между касательными (меньший я(2) к т и ты проведенными в соответствующих друг другу точках, не превосходили я. Определение сильной и слабой в-окрестностей дает возможность дать классификацию экстремумов, как и на стр.
!2. 1.5«й Первое необходимое условие экстремума. Уравнения Эйлера — Лагранжа. Если линия Стхс р(Г), у =ф(Г), г, (а ( г„дает функционалу Ус экстремум в классе линий С, идущих из заланной точки (ан Ь,) в заданную точку (а„бя), то они удовлетворяют уравнениям т Г. — ~ Г асс= А, Ä— ~ Гудет=В, (1.5.10) где А и  — константы. Э а. Зддянн В Пярдынтомииплпй агОПМИ з! Это — уравнения Эйлера — Лагранжз в интегральной форме. В дифференциазьной форме они имеют вид — г'ч — Р =О, — г' — Р' =О. с( ус х х гг у у г — й Е" = ((оГД лгуг„т) — (х,о ' + уст'.
+ +хУ", +уГ„в) =уз [Г„) — ń— Р, (хр — Ху)), Р, — — Г т = — »» [Е ч — Р;, — Г (хр — ХУ) [. т г(т т х \' . т' (1.5.12) 1.5.4. Вейерштрассова форма уравнений Эйлера — Лагранжа. Экстремали. Из уравнения' (!.5.12) получается вейерштрассова форма уравнений Эйлера — Лагранжа: ~:.; — Е-„„— Е, (»оу — ХЭ) = О, (!.5.13) или, учитывая, что радиус кривизны г выражаетсн для параметрическн заданной линии формулой 1 ху — УЭ (х'+рв)юв получим ~хв ~ух (1.5.!4) Рг(х' -)-у!в)' -' Вейерштрассова форма уравнения 5)йлера — Лагранжа остаетсн инвариаптной по отношенша к ггреабразованию параметра.
Теоаггю Неаермттасса иаааиетричесаи» вввач ввсиацнониого нсчнсвенив си, Гурса (Ц, Бвнсс (Г!. 1.5.5, Условия Вейерштрасса — Эрдмана. Если в качестве параметра взята длина д)ти, то пх ду х= — =сова, у= — =Ми Э, сгз ' стз где Э вЂ” угол между касательной к кривой и осью Ох. При атом на каждом гладком куске минимизирующей (максимизирующей) линии а' — Š— Г =О, ,га х х — Š— Г =О, (1515) г(з .' у а в кагкдой угловой точке а=а, выполняются условия Вейерштрасса — Эрдмана =та+о а ге+О в=торо О (1516) з[ [ а+о Одно из этих уравнений есть следствие другого.
Действительно, ГЛ. !. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Н,а. 6 Гладкое решение уравнений (15.!5) называют знсшрелгалыо. Условия (1Л16) получшотсл из интегральной формы урввнений Эйлера — Лагранжа. 1Л.б. Второе необходимое условие экстремума (аналог условии Лежандра), Вторая вариапня в рассматриваемой задаче имеет внд ВлУ=.в ~ ~ГЧ ~ —,) + Рвш'~ ПГ, (1.5.17) то где Я=у ВЭ вЂ” х Щ а Рв — непрерывная функпил параметра.
Формуяа (1.5.!7) принадлежит Вейерштрассу. Из нее вьлекает необходимое условие минимума (если Вву»О) Р,»О и необходимое условие максимума (из Эту~О)— Р,~О. Вывод формулы О,Ь,!7) см, Гуров Н!. 1.5.7. Третье необходиагое условие экстремума — условие Вейерштрасса. Функция Всйерштрасса Е (х, у; р, с); р', с)') определяется как Е (х, у; р, с); р', с)') = Р(х,У; Р', с)') — РР'(х У;Р, с)) — с)'Рв(х,У;Р, ЭЬ <15ЗВ) В силу однородности функпин р фореулу (1,5,18) можно записать в следующих видах: Е(х, у; р, д; р', с)') = — Г<х, у; р', о') — Г(х, у, р, л)— — (Р' — Р) Р;(х, У,Р, 9) — (В' — Э) Р';,(х, У, Р, с)), (1.5З9) Е (х, у; р, о; р', с)') = р' [ р„; (х, у, р', с)') — р; <.с, у, р, о) ) + + с)'(Г' (х, у, р',ч)') — Р';,(х, у, р, с))!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
